等比數(shù)列性質(zhì)習題.doc

等比數(shù)列性質(zhì)一、選擇題1.已知數(shù)列成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列，則的值為( )A、 B、 C、或 D、2.等比數(shù)列中，為方程的兩根，則的值為（ ） 5.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且18，則( ) A12 B10 C8 D26.是公差不為0的等差的前項和，且成等比數(shù)列，則等于 （ ）A. 4 B. 6 C.8 D.107.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若是與的等比中項，則等于A、28 B、32 C、36 D、408.等比數(shù)列的前項和為，若，則公比為（ ） A.1 B.1或1 C.或 D.2或29.已知等比數(shù)列an 的公比為2，前4項的和是1，則前8項的和為 A 15 B17 C19 D 21二、填空題13.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為。若，則= 15.等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前4項和= 16.等比數(shù)列的前項和=，則=_.三、解答題20.在等比數(shù)列中，公比，設(shè)，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和及數(shù)列的通項公式；（3）試比較與的大小.3.（2006全國卷理）設(shè)數(shù)列的前項的和，（）求首項與通項；（）設(shè)，證明：3.解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而數(shù)列 an+2n是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()將an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 8.（2006安徽理）數(shù)列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和。8.解：由得：，即，相加得：，又，所以，當時，也成立。（）由，得。而，所以，對成立。由，10.（2005山東文）已知數(shù)列的首項前項和為，且（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）令，求函數(shù)在點處的導數(shù)10.解：由已知可得兩式相減得，即從而當時,，所以又所以，從而故總有，又，從而,即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列；（II）由（I）知因為所以從而=-=.例題2. （2007年二次月考）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，若是首項為1，各項均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）試比較的大小，并證明你的結(jié)論.解析：（）是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列. 當n=1時，a1=1， 當。（）當n=1時， 當當q=1時，當當綜上可知： 當n=1時，當 若 若點評：本題考查了等比數(shù)列的基本知識，還要注意分類討論?？键c二：求數(shù)列的通項與求和例題3. （2007年5月湖北省十一校）.已知數(shù)列中各項為：個個 12、1122、111222、 （1）證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積. （2）求這個數(shù)列前n項之和Sn . 解析：先要通過觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項，進一步再求和。答案：（1） 個記：A = , 則A=為整數(shù) = A (A+1) ， 得證 (2) 點評：本題難點在于求出數(shù)列的通項，再將這個通項“分成” 兩個相鄰正數(shù)的積，解決此題需要例題4. (云南省2007年第一次高中畢業(yè)生復習統(tǒng)一檢測) 已知是數(shù)列的前n項和，并且=1，對任意正整數(shù)n，；設(shè)）. （I）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式； （II）設(shè)的前n項和，求.解析：（I）兩式相減：是以2為公比的等比數(shù)列， （II）而 點評：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項，第二問求和用到裂項的辦法求和。考點三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系例題5.（2007年5月莆田四中）已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項. 求函數(shù)的表達式； 求證：； 求證：解析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。答案：解： 又為銳角 都大于0 , , 又 點評：把復雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式所給的式子更具有一般性。例題7.（2007年5月2007浙江省五校） 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（） （）若則當n2時,.解析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進行放縮。答案：解: ()先用數(shù)學歸納法證明,.（1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即.則當n=k+1時,因為0x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因為,所以,即0,從而() 因為 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因為, n2, 所以 = .由 兩式可知: .點評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導數(shù)的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意?？键c四：數(shù)列與函數(shù)、向量、概率等的聯(lián)系例題8.（四川省南充高級中學2008屆十月份月考）無窮數(shù)列的前n項和，并且（1）求p的值；（2）求的通項公式；（3）作函數(shù)，如果，證明：解析：（1），且p1，或若是，且p1，則由，矛盾故不可能是：，且p1由，得又，（2），當k2時，n3時有對一切有：（3），故又故點評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。例題8.（2007年5月徐州市）已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項數(shù)列滿足=l， (1)寫出、的值; (2)試比較與的大小，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當n2時,Sn(2n1)分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因為所以（2）因為所以,因為所以與同號，因為，即（3）當時，所以，所以 點評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。例題12. (2007年5月寧波市三中) 已知數(shù)列中， （1）求；（2）求數(shù)列的通項； （3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項和的形式出現(xiàn)，提示我們應該考慮anSnSn1(n2)解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：只需證若，則顯然成立若，則所以因此：所以所以 點評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中這種拆分方法是數(shù)學中較高要求的變形.答案一、選擇題1