格林公式習題課.pdf

習題課習題課 1 1 1 1 格林公式格林公式格林公式格林公式 L yQxPdd 2 2 2 2 等價條件等價條件等價條件等價條件 在在在在 D D D D 內與路徑無關內與路徑無關內與路徑無關內與路徑無關 y P x Q 在在在在 D D D D 內有內有內有內有yQxPuddd yx y P x Q D dd L yQxPdd 對對對對 D D D D 內任意閉曲線內任意閉曲線內任意閉曲線內任意閉曲線 L L L L 有有有有0dd L yQxP 在在在在 D D D D 內有內有內有內有 設設設設 P P P P Q Q Q Q 在在在在 D D D D 內具有一階連續(xù)偏導數(shù)內具有一階連續(xù)偏導數(shù)內具有一階連續(xù)偏導數(shù)內具有一階連續(xù)偏導數(shù) 則有則有則有則有 為全微分方程為全微分方程為全微分方程為全微分方程0dd yQxP 積分與積分與積分與積分與路徑無關路徑無關路徑無關路徑無關 計算計算計算計算 QPQPQPQP xyxyxyxy 成立成立成立成立 不成立不成立不成立不成立 添輔助線添輔助線添輔助線添輔助線 曲線曲線曲線曲線L L L L 為閉曲線為閉曲線為閉曲線為閉曲線 曲線曲線曲線曲線L L L L 不是閉曲線不是閉曲線不是閉曲線不是閉曲線 解題步驟 解題步驟 解題步驟 解題步驟 GreenGreenGreenGreen公式公式公式公式 換路徑 一般換成換路徑 一般換成換路徑 一般換成換路徑 一般換成 平行坐標軸的折線平行坐標軸的折線平行坐標軸的折線平行坐標軸的折線 例例例例1 1 1 1 計算計算計算計算 d d d d AB ABABAB y y y yx x x x 其中曲線其中曲線其中曲線其中曲線 ABABABAB 是半徑為是半徑為是半徑為是半徑為 r r r r 的圓在第一象限部分的圓在第一象限部分的圓在第一象限部分的圓在第一象限部分 解解解解 設設設設 D D D D 是半徑為是半徑為是半徑為是半徑為 r r r r 的圓域的圓域的圓域的圓域 A A A A B B B B D D D D O O O Ox x x x y y y y 在第一象限部分 設其邊界為在第一象限部分 設其邊界為在第一象限部分 設其邊界為在第一象限部分 設其邊界為 L L L L 記記記記 L L L L 為邊界的順時針方向 為邊界的順時針方向 為邊界的順時針方向 為邊界的順時針方向 OAOAOAOABOBOBOBOL L L L y y y yx x x xy y y yx x x xy y y yx x x xd d d dd d d dd d d d AB ABABAB y y y yx x x xd d d d L L L L y y y yx x x xd d d d D D D D d d d d 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 1 r r r r 應用格林公式有應用格林公式有應用格林公式有應用格林公式有 例例例例 2 2 2 2 計算 計算 d d d dsinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x xI I I I L L L L x x x x 其中其中 L L L L 是擺線是擺線 x x x x t t t t sin sin sin sin t t t t y y y y 1 1 1 1 cos cos cos cos t t t t 從點 從點 A A A A 2 2 2 2 0 0 0 0 到點到點 O O O O 0 0 0 0 0 0 0 0 的一段弧的一段弧 解解解解 顯然 用這段路徑來計算是很復雜且困難 顯然 用這段路徑來計算是很復雜且困難 x x x x Q Q Q Q y y y y P P P P 為此計算為此計算 2 2 2 2 x x x x Q Q Q Q x x x x y y y y P P P P 再選一條路徑再選一條路徑 L L L L1 1 1 1 由由 A A A A 2 2 2 2 0 0 0 0 沿沿 x x x x 軸到原點軸到原點 x x x x y y y y O O O O L L L L1 1 1 1 L L L L A A A A y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x x L L L L x x x x d d d d sinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 d d d d sinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 32 2 2 2 y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x x L L L L x x x x 因為因為 L L L L1 1 1 1 上上 d d d dy y y y 0 0 0 0 y y y y 0 0 0 0 所以上式為所以上式為 y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x x L L L L x x x x d d d d sinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 32 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 21 1 1 1 e e e e3 3 3 3d d d de e e e3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x x xx x x x x x x x 即即 y y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x xy y y yx x x x L L L L x x x x d d d dsinsinsinsin 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d d e e e e3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 21 1 1 1 e e e e3 3 3 3 2 2 2 2 解解解解 23232323 15151515 例例例例3 3 3 3 由點由點 0 0 0 0 0 0 0 0 O O O O到點到點 1 1 1 1 1 1 1 1 B B B B的曲線弧的曲線弧 sin sin sin sin 2 2 2 2 x x x x y y y y 其中其中L L L L為為 x x x x Q Q Q Q y y y y P P P P 原積分與路徑無關 原積分與路徑無關 x x x x y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 B B B B 1 0 1 0 1 0 1 0 C C C C O O O O P P P P y y y y x x x xy y y yx x x x x x x xx x x x Q Q Q Q 2 2 2 2 4 4 4 42 2 2 2 224224224224 2 2 2 2 L L L L xxy dxxy dyxxy dxxy dyxxy dxxy dyxxy dxxy dy 計算計算 2 2 2 2 2 2 2 2 xxyxxyxxyxxy y y y y 2 2 2 2x x x x 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 x dxx dxx dxx dx 故原式故原式 1 1 1 1 4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 1 1 y dyy dyy dyy dy 例例例例4 4 4 4 的弧段 的弧段 到到從從上上 為星形線為星形線求求 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 2 t t t tt t t ta a a ay y y y t t t ta a a ax x x xABABABAB y y y yx x x x ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy ABABABAB 解解解解1 1 1 1用參數(shù)法 用參數(shù)法 原式原式 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 23 3 3 32 2 2 23 3 3 3 3 3 3 33 3 3 33 3 3 33 3 3 3 sinsinsinsin coscoscoscos coscoscoscos sinsinsinsin sinsinsinsin coscoscoscos t t t ta a a at t t ta a a a t t t ta a a atd td td tda a a at t t ta a a atd td td tda a a a dt dt dt dt t t t tt t t t t t t tt t t t 2 2 2 2 0 0 0 0 6 6 6 66 6 6 6 3 3 3 33 3 3 3 sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsin 3 3 3 3 t t t td d d d t t t t t t t t t t t t tantantantan tantantantan1 1 1 1 tantantantan 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 6 6 6 6 2 2 2 2 tantantantan 為積分變量為積分變量 2 2 2 2 arctan tanarctan tanarctan tanarctan tan 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 tantantantan3 3 3 3 t t t t t t t t為積分變量為積分變量 解解解解2 2 2 2 原式原式 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos d d d d a a a ay y y ya a a ax x x xL L L L y y y y P P P P x x x x Q Q Q Q 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y yx x x x 上積分與路徑無關 上積分與路徑無關 在在 0 0 0 0 y y y yx x x xD D D D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 的弧段的弧段到到上從上從取取a a a aB B B Ba a a aA A A Ay y y yx x x xa a a ay y y yx x x xL L L L L L L L y y y yx x x x ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy 2 2 2 22 2 2 2 L L L L L L L L ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy a a a a 2 2 2 2 1 1 1 1 的方程的方程 2 2 2 2 例例例例4 4 4 4 的弧段 的弧段 到到從從上上 為星形線為星形線求求 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 2 t t t tt t t ta a a ay y y y t t t ta a a ax x x xABABABAB y y y yx x x x ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy ABABABAB 解解解解3 3 3 3改變積分路徑 改變積分路徑 原式原式 a a a a y y y ya a a a dydydydy a a a a 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 a a a aa a a aC C C CCBCBCBCBACACACACl l l l其中其中取取 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 a a a ay y y ya a a ax x x xACACACAC y y y ya a a a adyadyadyady 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 a a a ax x x xa a a ay y y yCBCBCBCB a a a ax x x x adxadxadxadx 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 a a a a a a a ax x x x dxdxdxdx a a a a a a a a y y y ya a a a dydydydy a a a a 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 積分 積分 到到順時針從順時針從能否沿能否沿 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 B B B BA A A Aa a a ay y y yx x x x 積分 積分 到到從從能否沿能否沿 B B B BA A A AOBOBOBOBAOAOAOAO 問 問 問 問 例例例例4 4 4 4 的弧段 的弧段 到到從從上上 為星形線為星形線求求 2 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 2 t t t tt t t ta a a ay y y y t t t ta a a ax x x xABABABAB y y y yx x x x ydxydxydxydxxdyxdyxdyxdy ABABABAB 解解解解 2 2 2 2 P P P P xyxyxyxy yyyyyyyy Q Q Q Q yxyxyxyx xxxxxxxx 2 2 2 2 xyxyxyxyy y y yx x x xP P P P Q xyyxQ xyyxQ xyyxQ xyyx 例例例例5 5 5 5 其中其中 具有連續(xù)的導數(shù)具有連