探究應(yīng)用新思維-數(shù)學(xué)7年級1-10.doc

1數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸解讀課標(biāo)數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”和“形”的一門學(xué)科，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.在日常生活中我們通常對有形的東西認(rèn)識比較快，而對抽象的東西認(rèn)識比較慢，這正是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，以形助數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要方法運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有力工具，主要反映在：1利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù)；2利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù)；3利用數(shù)軸解決與絕對值有關(guān)的問題；4利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小問題解決例1 (1)已知、為有理數(shù)，且，將四個數(shù)、按由小到大的順序排列是_（時代學(xué)習(xí)報數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）(2)已知數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，A、B之間的距離為，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為，那么點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是_（廣西競賽題）試一試 對于(1)，賦值或借助數(shù)軸比較大小；對于(2)確定、兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，充分考慮、兩點(diǎn)的多種位置關(guān)系.例2如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距個單位，點(diǎn)、對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)、，且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是( ) A.點(diǎn)B.點(diǎn)C.點(diǎn)D.點(diǎn)（江蘇省競賽題）試一試 從尋找與的另一關(guān)系式入手例3 已知兩數(shù)、，如果比大，試判斷與的大小.試一試 因、符號未定，故比大有多種情形，借助數(shù)軸可直觀全面比較與的大小例4電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一步從向左跳個單位到，第二步由向右跳個單位到，第三步由向左跳個單位到，第四步由向右跳個單位到，按以上規(guī)律跳了步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰是，試求電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù)（“希望杯”邀請賽試題）試一試 設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，把、點(diǎn)所表示的數(shù)用的式子表示例5 已知數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離為個單位長度，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，距離原點(diǎn)個單位長度，點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊(1)求、兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)(2)數(shù)軸上點(diǎn)以每秒個單位長度出發(fā)問左運(yùn)動，同時點(diǎn)以每秒個單位長度的速度向左運(yùn)動，在點(diǎn)處追上了點(diǎn)，求點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)(3)已知在數(shù)軸上點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，速度為每秒個單位長度，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，速度為每秒個單位長度，設(shè)線段的中點(diǎn)為 (為原點(diǎn))，在運(yùn)動的過程中線段的值是否變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由分析與解 對于(3)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動時間為秒，把用的式子表示(1)、兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別為；(2)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為；(3)(為什么？)，則，即的值不變生活啟示例6 李老師從油條的制作中受到啟發(fā)，設(shè)計了一個數(shù)學(xué)問題如圖，在數(shù)軸上截取從原點(diǎn)到的對應(yīng)點(diǎn)的線段，對折后（點(diǎn)與點(diǎn)重合），固定左端向右均勻地拉成個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如，在第一次操作后，原線段上的，均變成；變成；等等）.那么在線段上（除點(diǎn)、點(diǎn)外）的點(diǎn)中，在第二次操作后，求恰好被拉到與重合的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)字之和.（浙江省紹興市中考題）分析 捕捉問題所蘊(yùn)含的信息，閱讀理解“一次操作”的意義：將線段沿中點(diǎn)翻折，中點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)不動，中點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)翻折到左側(cè)的對應(yīng)位置上，由原來的一個等分點(diǎn)變?yōu)閮蓚€等分點(diǎn) 解 故在第二次操作后，恰好被拉到與重合的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)字之和是數(shù)學(xué)沖浪知識技能廣場1.數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，若點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是，且、兩點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)對 應(yīng)的數(shù)是_.2.電影哈利波特中，小哈利，波特穿墻進(jìn)入“站臺”的鏡頭（如示意圖中的站臺），構(gòu)思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象，若、站臺分別位于，處，則站臺用類似電影中的方法可稱為“_站臺”（“時代學(xué)習(xí)報數(shù)學(xué)文化節(jié)”試題）3.已知點(diǎn)、在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為，那么點(diǎn)表示的數(shù)是_4.如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個圓（該圓周長為個單位長，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字、）上：先讓原點(diǎn)與圓周上數(shù)字所對應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上、所對應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上、所對應(yīng)的點(diǎn)重合.這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應(yīng)關(guān)系(1)圓周上的數(shù)字與數(shù)軸上的數(shù)對應(yīng)，則_；(2)數(shù)軸上的一個整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周圈（為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字所對應(yīng)的位置，這個整數(shù)是_（用含的代數(shù)式表示）（江西省中考題）5.有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示：，則下列各式正確的是( )A.B.C.D.（2012年湖南省常德市中考題）6.文具店、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西米，玩具店位于書店東米處小明從書店沿街向東走了米，接著又向東走了米，此時小明的位置在( )A.文具店B.玩具店C.文具店西邊米D.玩具店東米7.將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是），刻度尺上的“”“”分別對應(yīng)數(shù)軸上的和，則( )A.B.C.D.（浙江省紹興市中考題）8.在數(shù)軸上任取一條長度為的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個數(shù)是( )A.B.C.D.（重慶市競賽題）9.一個跳蚤在一條直線上，從點(diǎn)開始，第次向右跳個單位，緊接著第次晾左跳個單位，第次向右跳個單位，第次向左跳個單位依此規(guī)律劇下去，當(dāng)它跳第次落下時，求落點(diǎn)處離點(diǎn)的距離（用單位表示）（江蘇省無錫市中考題）10.已知數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，、之間的距離為，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為，求所有滿足條件的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的和（北京市“迎春杯”競賽題）-思維方法天地-11.在數(shù)軸上，點(diǎn)、分別表示和，則線段的中點(diǎn)所表示的數(shù)是_.12.在數(shù)軸上，表示數(shù)，的點(diǎn)與表示數(shù)，的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的值為_13.數(shù)形相伴(1)如圖所示，點(diǎn)、所代表的數(shù)分別為,，在數(shù)軸上畫出與、兩點(diǎn)的距離和為的點(diǎn)（并標(biāo)上字母）(2)若數(shù)軸上點(diǎn)、所代表的數(shù)分別為、，則、兩點(diǎn)之間的距離可表示為，那么，當(dāng)時，_；當(dāng)時，數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置是在_（時代學(xué)習(xí)報數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）14.點(diǎn)、分別是數(shù)、在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)，使線段沿數(shù)軸向右移動為，且線段的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是，則點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是_，點(diǎn)移動的距離是_.（江蘇省競賽題）15.點(diǎn)、（為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且;點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，依照上述規(guī)律，點(diǎn)、所表示的數(shù)分別為( )A., B.,C.,D.,（福建省泉州市中考題） 16.如圖：，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距個單位，點(diǎn)、對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)、，且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)是（ ）.A.點(diǎn)B.點(diǎn)C.點(diǎn)D.點(diǎn)17.有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖，式子化簡結(jié)果為( )A.B.C.D. 18.不相等的有理數(shù)、在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別為、,若那么點(diǎn)( )A.在、點(diǎn)右邊B.在、點(diǎn)左邊C.在、點(diǎn)之間D.以上均有可能(“希望杯”邀請賽題)19.在數(shù)軸上，點(diǎn)與點(diǎn)的距離是點(diǎn)與所對應(yīng)點(diǎn)之間的距離的倍，那么點(diǎn)表示的數(shù)是多少?(“CASIO杯”河南省競賽題)20.已知數(shù)軸上有、三點(diǎn)，分別代表、,兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點(diǎn)同時相向而行.甲的速度為個單位/秒.(1)問多少秒后甲到、的距離和為個單位? (2)若乙的速度為個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點(diǎn)同時相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點(diǎn)相遇?(3)在(1)、(2)的條件下，當(dāng)甲到、的距離和為個單位時，甲調(diào)頭返回，問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎?若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請說明理由.21.操作與探究對數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)表示的數(shù)乘以再把所得數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)向右平移個單位，得到點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn).點(diǎn),在數(shù)軸上，對線段上的每個點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段,其中，點(diǎn),的對應(yīng)點(diǎn)分別為,如圖所示，若點(diǎn)表示的數(shù)是,則點(diǎn)表示的數(shù)是_；若點(diǎn)表示的數(shù)是,則點(diǎn)表示的數(shù)是_；已知線段上的點(diǎn)經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)表示的數(shù)是_.2012年北京市中考題22.動點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向以每前進(jìn)個單位、后退個單位的程序運(yùn)動.已知點(diǎn)每秒前進(jìn)或后退個單位，設(shè)表示第秒點(diǎn)在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)(如，)，求所對應(yīng)的數(shù).2.聚焦絕對值絕對值是數(shù)學(xué)中的一個基本概念，這一概念是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算、算術(shù)根的基礎(chǔ)；絕對值又是數(shù)學(xué)中的一個重要概念，絕對值與其他知識融合形成絕對值 方程、絕對值不等式、絕對值函數(shù)等，在代數(shù)式化簡求值、解方程、解不等式等方面有廣泛的應(yīng)用，理解、掌握絕對值應(yīng)注意以下幾個方面：1.脫去絕對值符號是解絕對值問題的切入點(diǎn)脫去絕對值符號常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識方法.2.恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離.3.靈活運(yùn)用絕對值的基本性質(zhì)；例1已知: 其中,，那么的最小值為_.(“CASIO杯”河南省競賽題)試一試 結(jié)合已知條件判斷出每一個絕對值符號內(nèi)式子的正負(fù)性，再去掉絕對值符號.例2式子的所有可能的值有( ).A.個B.個C.個D.無數(shù)個試一試根據(jù)、的符號所有可能情況，去掉絕對值符號，這是解本例的關(guān)鍵.例3 (1)已知,求的值.(“華羅庚杯”香港中學(xué)競賽題) (2)設(shè)、為整數(shù)，且，求的值.(“希望杯”邀請賽試題)試一試 對于（1),由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先導(dǎo)出、的值;對于(2)，寫成兩個非負(fù)整數(shù)的和的形式又有幾種可能?這是解(2)的突破口.例4閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|時，可令：和，分別求得， (稱，分別為與的零點(diǎn)值)在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下種情況：(1)；(2)；(3).從而化簡代數(shù)式可分以下種情況：(1)當(dāng) 時，原式;(2)當(dāng)時，原式；(3)當(dāng)時，原式.綜上討論，原式通過以上閱讀，請你解決以下問題：(1)分別求出和的零點(diǎn)值；(2)化簡代數(shù)式.(云南省中考題)試一試 在閱讀理解的基礎(chǔ)上化簡求值.例5 (1）當(dāng)取何值時，有最小值?這個最小值是多少?（2）當(dāng)取何值時，有最大值?這個最大值是多少?（3）求的最小值.（4）求的最小值.分析對于（3）、（4）可先運(yùn)用零點(diǎn)分段討論法去掉絕對值符號，再求最小值;也可利用絕對值的幾何意義，即在數(shù)軸上找一表示的點(diǎn)，使之到表示、的點(diǎn) (:或表示、的點(diǎn)）的距離和最小.解(1）當(dāng)時，原式有最小值，最小值為.（2）當(dāng)時，原式有最大值，最大值為.（3）當(dāng)時，原式有最小值，最小值為.（4）當(dāng)時，原式有最小值，最小值為.對于（3），給出另一種解法：當(dāng)時，原式，最小值為；當(dāng)時，原式，最小值為；當(dāng)時，原式,最小值為.綜上所述，原式有最小值等于.以退求進(jìn)例6少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后 再取絕對值的運(yùn)算，其運(yùn)算過程是:輸人第一個整數(shù)，只顯示不運(yùn)算，接著再輸人整數(shù)心后則顯示的結(jié)果，此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對值的運(yùn)算.現(xiàn)小明將從到這個整數(shù)隨意地一個一個地輸人,全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為，試求出的最大值，并說明理由.分析 先考慮輸入個數(shù)較少的情形，并結(jié)合奇偶分析調(diào)整估值，一步步求出的最大值.解 由于輸入的數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng),時，不超過、中最大的數(shù)，對，,則不超過工、中最大的數(shù)，設(shè)小明輸入這個數(shù)的次序是,.相當(dāng)于計算: ，因此的值.另外從運(yùn)算奇偶性分析，、為整數(shù)，與奇偶性相同，因此與的奇偶性相同，但偶數(shù).于是斷定，我們證明可以取到.對 ,按如下次序：，,對于均成立.因此，可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為,而后，故的最大值為.數(shù)學(xué)沖浪知識技能廣場1.數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且,則_.2.已知，,且，那么_.3.化簡_. (北京市競賽題）4.已知有理數(shù)、