微分方程數(shù)值解法.ppt

第6章常微分方程數(shù)值解法 6 1引言 6 2歐拉方法 6 3龍格 庫塔方法 6 1引言 微分方程數(shù)值解一般可分為 常微分方程數(shù)值解和偏微分方程數(shù)值解 自然界與工程技術(shù)中的許多現(xiàn)象 其數(shù)學(xué)表達(dá)式可歸結(jié)為常微分方程 組 的定解問題 一些偏微分方程問題也可以轉(zhuǎn)化為常微分方程問題來 近似 求解 Newton最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問題 其中需要求解的運(yùn)動(dòng)方程就是常微分方程 許多著名的數(shù)學(xué)家 如Bernoulli 家族 Euler Gauss Lagrange和Laplace等 都遵循歷史傳統(tǒng) 研究重要的力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型 在這些問題中 許多是常微分方程的求解 作為科學(xué)史上的一段佳話 海王星的發(fā)現(xiàn)就是通過對(duì)常微分方程的近似計(jì)算得到的 本章主要介紹常微分方程數(shù)值解的若干方法 1 常微分方程與解 為n階常微分方程 如果函數(shù)在區(qū)間 a b 內(nèi)n階可導(dǎo) 稱方程 為方程滿足定解條件的解 一 初值問題的數(shù)值解法 解的圖示 本教材重點(diǎn)討論定解問題 初值問題 定解條件 初始條件 是否能夠找到定解問題的解取決于 僅有極少數(shù)的方程可以通過 常數(shù)變易法 可分離變量法 等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解 絕大部分方程至今無法理論求解 2 數(shù)值解的思想 1 將連續(xù)變量離散為 2 用代數(shù)的方法求出解函數(shù)在點(diǎn)的近似值 如果找不到解函數(shù)數(shù)學(xué)界還關(guān)注 解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動(dòng)性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性 求函數(shù)y x 在一系列節(jié)點(diǎn)a x0 x1 xn b處的近似值的方法稱為微分方程的數(shù)值解法 稱節(jié)點(diǎn)間距為步長 通常采用等距節(jié)點(diǎn) 即取hi h 常數(shù) 稱為微分方程的數(shù)值解 所謂數(shù)值解法 稱在區(qū)域D上對(duì)滿足Lipschitz條件是指 記 3 相關(guān)定義 2 一般構(gòu)造方法 離散點(diǎn)函數(shù)值集合 線性組合結(jié)構(gòu) 近似公式 4 迭代格式的構(gòu)造 1 構(gòu)造思想 將連續(xù)的微分方程及初值條件離散為線性方程組加以求解 由于離散化的出發(fā)點(diǎn)不同 產(chǎn)生出各種不同的數(shù)值方法 基本方法有 有限差分法 數(shù)值微分 有限體積法 數(shù)值積分 有限元法 函數(shù)插值 等等 3 如何保證迭代公式的穩(wěn)定性與收斂性 5 微分方程的數(shù)值解法需要解決的主要問題 1 如何將微分方程離散化 并建立求其數(shù)值解的迭代公式 2 如何估計(jì)迭代公式的局部截?cái)嗾`差與整體誤差 二 初值問題解的存在唯一性 考慮一階常微分方程的初值問題 Initial ValueProblem 則上述IVP存在唯一解 只要在上連續(xù) 且關(guān)于y滿足Lipschitz條件 即存在與無關(guān)的常數(shù)L使 對(duì)任意定義在上的都成立 三 初值問題的離散化方法 離散化方法的基本特點(diǎn)是依照某一遞推公式 如果計(jì)算需用到前r步的值 則稱這類方法為r步方法 6 2Euler方法 第一步 連續(xù)變量離散化 第二步 用直線步進(jìn) 1 Euler格式 18世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一 13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué) 15歲大學(xué)畢業(yè) 16歲獲得碩士學(xué)位 1727年 1741年 20歲 34歲 在彼得堡科學(xué)院從事研究工作 在分析學(xué) 數(shù)論 力學(xué)方面均有出色成就 并應(yīng)俄國政府要求 解決了不少地圖學(xué) 造船業(yè)等實(shí)際問題 24歲晉升物理學(xué)教授 1735年 28歲 右眼失明 1741年 1766 34歲 59歲 任德國科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長 任職25年 在行星運(yùn)動(dòng) 剛體運(yùn)動(dòng) 熱力學(xué) 彈道學(xué) 人口學(xué) 微分方程 曲面微分幾何等研究領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的工作 1766年應(yīng)沙皇禮聘重回彼得堡 在1771年 64歲 左眼失明 Euler是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家 平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文 他去世后 人們用35年整理出他的研究成果74卷 在假設(shè)yi y xi 即第i步計(jì)算是精確的前提下 考慮的截?cái)嗾`差Ri y xi 1 yi 1稱為局部截?cái)嗾`差 localtruncationerror 定義2 2 若某算法的局部截?cái)嗾`差為O hp 1 則稱該算法有p階精度 定義2 1 2 歐拉法的局部截?cái)嗾`差 歐拉法的局部截?cái)嗾`差 Ri的主項(xiàng) leadingterm 歐拉法具有1階精度 例1 用歐拉公式求解初值問題 取步長 解 應(yīng)用Euler公式于題給初值問題的具體形式為 其中 計(jì)算結(jié)果列于下表 可用來檢驗(yàn)近似解的準(zhǔn)確程度 進(jìn)行計(jì)算 數(shù)值解已達(dá)到了一定的精度 這個(gè)初值問題的準(zhǔn)確解為 從上表最后一列 我們看到取步長 3 歐拉公式的改進(jìn) 隱式歐拉法 implicitEulermethod 向后差商近似導(dǎo)數(shù) 由于未知數(shù)yi 1同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊 不能直接得到 故稱為隱式 implicit 歐拉公式 而前者稱為顯式 explicit 歐拉公式 一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值 再迭代求解 隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差 即隱式歐拉公式具有1階精度 梯形公式 trapezoidformula 顯 隱式兩種算法的平均 注 梯形公式的局部截?cái)嗾`差 即梯形公式具有2階精度 比歐拉方法有了進(jìn)步 但注意到該公式是隱式公式 計(jì)算時(shí)不得不用到 迭代法 其迭代收斂性與歐拉公式相似 中點(diǎn)歐拉公式 midpointformula 中心差商近似導(dǎo)數(shù) 假設(shè) 則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式具有2階精度 簡單 精度低 穩(wěn)定性最好 精度低 計(jì)算量大 精度提高 計(jì)算量大 精度提高 顯式 多一個(gè)初值 可能影響精度 改進(jìn)歐拉法 modifiedEuler smethod Step1 先用顯式歐拉公式作預(yù)測 算出 注 此法亦稱為預(yù)測 校正法 predictor correctormethod 可以證明該算法具有2階精度 同時(shí)可以看到它 是個(gè)單步遞推格式 比隱式公式的迭代求解過程 簡單 后面將看到 它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法 改進(jìn)的歐拉法 在實(shí)際計(jì)算時(shí) 可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合 計(jì)算公式為 應(yīng)用改進(jìn)歐拉法 如果序列收斂 它的極限便滿足方程 改進(jìn)歐拉法的截?cái)嗾`差 因此 改進(jìn)歐拉法公式具有2階精度 解 對(duì)此初值問題采用改進(jìn)Euler公式 其具體形式為 計(jì)算結(jié)果列于下表 例1 用歐拉公式求解初值問題 改進(jìn)的Euler法 Euler法 通過計(jì)算結(jié)果的比較可以看出 改進(jìn)的Euler方法 的計(jì)算精度比Euler方法要高 歐拉法誤差概述 6 3龍格 庫塔方法 對(duì)許多實(shí)際問題來說 歐拉公式與改進(jìn)歐拉公式精度還不能滿足要求 為此從另一個(gè)角度來分析這兩個(gè)公式的特點(diǎn) 從而探索一條構(gòu)造高精度方法的途徑 改進(jìn)歐拉法 三階龍格 庫塔方法 三階龍格 庫塔方法是用三個(gè)值k1 k2 k3的線性組合 要使三階龍格 庫塔方法具有三階精度 必須使其局部截?cái)嗾`差為O h4 將k1 k2 k3代入yn 1的表達(dá)式中 在 xn yn 處用二元泰勒公式展開 與y xn 1 在xn處的泰勒展開式比較 類似二階龍格 庫塔方法的推導(dǎo)過程 8個(gè)待定系數(shù)c1 c2 c3 a2 a3 b21 b31 b32應(yīng)滿足 8個(gè)未知參數(shù) 6個(gè)方程 有無窮多組解 三階龍格庫塔公式 四階Runge Kutta方法 附注 二階Runge Kutta方法的局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到 五階Runge Kutta方法的局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到 四階Runge Kutta方法的局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到 三階Ru