高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)11__函數(shù)中的綜合問題

難點(diǎn) 11 函數(shù)中的綜合問題 函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣 握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力 . 難點(diǎn)磁場 ( )設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，對(duì)任意實(shí)數(shù) x、 y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng) x0 時(shí)f(x)0. (1)求 f(21)、 f(41); (2)證明 f(x)是周期函數(shù)； (3)記 an=f(n+求).(nn a命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù) 列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力 . 知識(shí)依托：認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件 f(x1+f( f(到問題的突破口 . 錯(cuò)解分析：不會(huì)利用 f(x1+f( f(行合理變形 . 技巧與方法：由 f(x1+f( f(形為 )2()2()2()22()( 是解決問題的關(guān)鍵 . (1) 解：因?yàn)閷?duì) x1, 0,21 ,都有 f(x1+f( f(所以 f(x)= )2()22( 0, x 0,1 又因?yàn)?f(1)=f(21+21)=f(21) f(21)= f(21) 2 f(21)=f(41+41)=f(41) f(41)= f（41） 2 又 f(1)=a0 f(21)=f(41)=(2)證明：依題意設(shè) y=f(x)關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱，故 f(x)=f(1+1 x),即 f(x)=f(2 x),x R. 又由 f(x)是 偶函數(shù)知 f( x)=f(x),x R f( x)=f(2 x),x R. 將上式中 x 以 x 代換得 f(x)=f(x+2)，這表明 f(x)是 2 是它的一個(gè) 周期 . (3)解：由 (1)知 f(x) 0,x 0,1 f(21)=f(nf(n 1) f( f(n 1)= =f( f( f(= f( n= f(a 又 f(x)的一個(gè)周期是 2 f(2n+f(因此 an=a .0) 2甲、乙兩地相距 S 千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過 c 千米 /小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本 (以元為單位 )由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為 b,固定部分為 (1)把全程運(yùn)輸成本 y(元 )表示為 v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； (2)為 了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 命題意圖：本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識(shí)，還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力 . 知識(shí)依托：運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法 . 錯(cuò)解分析：不會(huì)將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問題，易忽略對(duì)參變量的限制條件 . 技巧與方法：四步法： (1)讀題； (2)建模； (3)求解； (4)評(píng)價(jià) . 解法一： (1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為程運(yùn)輸成本為y=avS+(va+所求函數(shù)及其定義域?yàn)?y=S(va+v (0,c . (2)依題意知， S、 a、 b、 v 均為正數(shù) S(va+ 2S 當(dāng)且僅當(dāng)va= v=式中等號(hào)成立 c 則當(dāng) v= 若bac,則當(dāng) v (0,c 時(shí)，有 S(va+ S(ca+=S (va( =c v)(a c v 0,且 c a a S(va+ S(ca+當(dāng)且僅當(dāng) v=c 時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng) v=c 時(shí)，有 綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本 y 最小，當(dāng)c 時(shí)，行駛速度應(yīng)為 v=v=c. 解法二： (1)同解法一 . (2)函數(shù) y=x+xk(k0),x (0,+ ),當(dāng) x (0, k )時(shí)， y 單調(diào)減小，當(dāng) x ( k ,+ )時(shí) x= k 時(shí) y 取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為 y=Sb(v+,v (0,c . 當(dāng)c 時(shí)，則當(dāng) v=y 最小，若bac 時(shí)，則當(dāng) v=c 時(shí)， y 最小 錦囊妙計(jì) 在解決函數(shù)綜合問題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用 用多種知識(shí)和技能 須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件 . 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.( )函數(shù) y=x+a 與 y=圖象可能是 ( ) 2.( )定義在區(qū)間 ( ,+ )的奇函數(shù) f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù) g(x)在區(qū)間 0， + )的圖象與 f(x)的圖象重合，設(shè) ab0,給出下列不等式： f(b) f( a)g(a) g( b) f(b) f( a)g(b) g( a) f(a) f( b)0. 求證： )21()131()111()51( 2 . 7.( )某工廠擬建一座平面圖 (如下圖 )為矩形且面積為 200 平方米的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過 16 米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米 400 元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米 248 元，池底建造單價(jià)為每平方米 80 元 (池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋 ). (1)寫出總造價(jià) y(元 )與污水處理池長 x(米 )的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域 . (2)求污水處理池的長和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求最低總造價(jià) . 8.( )已知函數(shù) f(x)在 ( ,0) (0,+ )上有定義，且在 (0,+ )上是增函數(shù)，f(1)=0,又 g( )= 2m, 0,2 ,設(shè) M=m|g( )0,f( f(f ( f(f(f( f( f(因?yàn)?x0 時(shí) f(x) 0, f( f(0 f(x)在 9， 9上是減函數(shù) 故 f(x)的最大值為 f( 9),最小值為 f(9). 而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)= 12,f( 9)= f(9)=12. f(x)在區(qū)間 9， 9上的最大值為 12，最小值為 12. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 類討論當(dāng) a1 時(shí)和當(dāng) 0 a 1 時(shí) . 答案： C 特值法，根據(jù)題意，可設(shè) f(x)=x,g(x)=|x|,又設(shè) a=2,b=1, 則 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a) f(b)=f(2) f( 1)=2+1=3. g(b) g( a)=g(1) g( 2)=1 2= 1. f(a) f( b)g(1) g( 2)=1 2= 1. 又 f(b) f( a)=f(1) f( 2)=1+2=3. g(a) g( b)=g(2) g(1)=2 1=1, f(b) f( a)=g(a) g( b). 即與成立 . 答案： C 二、 2x=t0，則原方程可變?yōu)?t2+at+a+1=0 方程有兩個(gè)正實(shí)根，則0100)1(421212解得： a ( 1,2 2 2 . 答案： ( 1， 2 2 2 三、 (1)當(dāng) a=0 時(shí)，函數(shù) f( x)=( x)2+| x|+1=f(x),此時(shí) f(x)為偶函數(shù)；當(dāng) a 0 時(shí)，f(a)=,f( a)=|a|+1,f( a) f(a),f( a) f(a)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶 函數(shù) . (2)當(dāng) x a 時(shí)，函數(shù) f(x)=x+a+1=(x21)2+a+43,若 a21,則函數(shù) f(x)在 ( ,a 上單調(diào)遞減，從而，函數(shù) f(x)在 ( ,a 上的最小值為 f(a)=. 若 a21,則函數(shù) f(x)在 ( ,a 上的最小值為 f(21)=43+a,且 f(21) f(a). 當(dāng) x a 時(shí)，函數(shù) f(x)=x2+x a+1=(x+21)2 a+43;當(dāng) a21時(shí)，則函數(shù) f(x)在 a,+) 上的最 小值為 f( 21 )=43 a,且 f( 21 ) f(a).若 a 21 , f(x)在 a,+ )上單調(diào)遞增，從而，函數(shù) f(x)在 a,+上的最小值為 f(a)=. 綜上，當(dāng) a21時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值是43 a,當(dāng)21 a21時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值是 ;當(dāng) a21時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值是 a+43. 5.(1)證明：由02011得 f(x)的定義域?yàn)?( 1， 1)，易判斷 f(x)在 ( 1， 1)內(nèi)是減函數(shù) . (2)證明： f(0)=21, 1(21)=0,即 x=21是方程 1(x)=0 的一個(gè)解 1(x)=0 還有另一個(gè)解 1,則 1(0,由反函數(shù)的定義知 f(0)=1,與已知矛盾，故方程 1(x)=0有惟一解 . (3)解： f x(x21)21,即 f x(x21) f(0). 512104 1510)21(1)21(1 f(x)+f(y)=f(1)中的 x,y,令 x=y=0,得 f(0)=0,再令 y= x,又得 f(x)+f(x)=f(0)=0,即 f( x)= f(x), f(x)在 x ( 1,1)上是奇函數(shù) 1 0,則 f( f(f(f(f(21211 ), 1 0, 0,1 .21211 0,于是由知f(21211 ) 0,從而 f( f(0,即 f(f(故 f(x)在 x ( 1,0)上是單調(diào)遞減函數(shù) f(x)在 x (0,1)上仍是遞減函數(shù)，且 f(x) 0. .),21()21()21(,0)21(,1210),21()21()21()11()41()31()31()21()131()111()51()21()11()211112111()2)(1(11)2)(1(11)2)(1(1)131(22故原結(jié)論成立有時(shí)(1)因污水處理水池的長為 寬為造價(jià) y=400(2x+22482+80 200=800(x+1600,由題設(shè)條件 162000,160 解得 x 16,即函數(shù)定義域?yàn)?16 . (2)先研究函數(shù) y=f(x)=800(x+16000 在 6上的單調(diào)性，對(duì)于任意的 x1, 6 ,不妨設(shè) f( f(800 (324(1211 ) =800(121324, 16. 0 162 324,213241,即 121324 0.又 , f( f( 0,即 f( f(故函數(shù) y=f(x)在 6上是減函數(shù) .當(dāng) x=16 時(shí)， y 取得最小值，此時(shí)，00(16+16324)+16000=45000(元 )，16200200 x= 綜上，當(dāng)污水處理池的長為 16 米，寬為 時(shí)，總造價(jià)最低，最低為 45000 元 . f(x)是奇函數(shù)，且在 (0,+ )上是增函數(shù)， f(x)在 ( ,0)上也是增函數(shù) . 又 f(1)=0, f( 1)= f(1)=0,從而，當(dāng)