2012年高考數(shù)學(xué) 沖刺60天解題策略 專題八 運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略 第三節(jié)運(yùn)用分類討論思想解題的策略

用心 愛(ài)心 專心1 運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略 分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法 也是一種數(shù)學(xué)思想 這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì) 象 發(fā)展人的思維有著重要幫助 因此 有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要 位置 在選擇題 填空題 解答題中都會(huì)涉及到分類討論的思想方法 其難度在 0 4 0 6 之間 考試要求 考試說(shuō)明 強(qiáng)調(diào) 對(duì)于數(shù)學(xué)思想和方法的考查要與數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合 進(jìn)行 通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查 反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法理解和掌握的程度 考查時(shí) 要 從學(xué)科整體意識(shí)和思想含義上立意 注意通性通法 淡化特殊技巧 有效地檢測(cè)考生對(duì)中 學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度 題型一題型一 由概念引起的分類討論由概念引起的分類討論 例例 1 1 平面直角坐標(biāo)系中 直線 與拋物線相交于 兩點(diǎn) xoyl 2 2yx AB 求證 如果直線 過(guò)點(diǎn) 那么 是真命題 l 3 0 T3OA OB 點(diǎn)撥 點(diǎn)撥 1 聯(lián)立直線和拋物線 根據(jù)向量數(shù)量積定義 利用根與系數(shù)的關(guān)系 可求得 2 設(shè)直線方程時(shí)須考慮直線斜率是否存在 3OA OB 證明 證明 設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線 交拋物線于點(diǎn) 3 0 Tl 2 2yx 1122 A x yB xy 1 當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí) 直線 的方程為 此時(shí) 直線 與拋物線相交于ll3x l 3 6 3 6 AB 3OA OB 2 當(dāng)直線 的斜率存在時(shí) 設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線 的方程為 l 3 0 Tl 3 yk x 由得 2 2 3 yx yk x 2 12 2606kyyky y 又 22 1122 11 22 xyxy 2 12121212 1 3 4 OA OBx xy yy yy y 綜上所述 命題 如果直線 過(guò)點(diǎn) 那么 是真命題 l 3 0 T3OA OB 易錯(cuò)點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn) 1 在本例中 非常容易遺漏當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)對(duì)命題的論證 習(xí)慣性l 地設(shè)直線 的方程為 直接求得 從而證明命題是真命題 顯然這l 3 yk x 3OA OB 種證法是不嚴(yán)密的 2 此題是由概念引起的分類討論 相關(guān)的題目很多 如集合是否為 空集的討論 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的討論 公比 斜率的討論等 qk 變式與引申變式與引申 1 1 已知集合 若 2 9180 12Ax xxBx axa 時(shí) 則實(shí)數(shù)的取值范圍是 BA a 題型二題型二 由參數(shù)引起的分類討論由參數(shù)引起的分類討論 用心 愛(ài)心 專心2 例例 2 2 2011 全國(guó)課標(biāo)卷理科第 21 題 已知函數(shù) 曲線在點(diǎn) ln 1 axb f x xx yf x 處的切線方程為 1 1 f230 xy 求 的值 ab 如果當(dāng) 且時(shí) 求的取值范圍 0 x 1x ln 1 xk f x xx k 點(diǎn)撥 點(diǎn)撥 1 此題是與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的一類問(wèn)題 思路為 求導(dǎo)函數(shù) 再利用 f x 和求出的值 2 由于該題存在參數(shù) 因此應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分 1 1f 1 1 2 f a bkk 類討論 解解 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直線的斜率為 且過(guò)點(diǎn) 故即230 xy 1 2 1 1 1 1 1 1 2 f f 解得 1 1 22 b a b 1a 1b 由 知 所以 ln1 1 x f x xx 2 2 ln1 1 1 2ln 11 xkkx f xx xxxx 考慮函數(shù) 則 2lnh xx 2 1 1 kx x 0 x 2 2 1 1 2 kxx h x x i 設(shè) 由知 當(dāng)時(shí) 而 故0k 22 2 1 1 k xx h x x 1x 0h x 1 0h 當(dāng)時(shí) 可得 0 1 x 0h x 2 1 0 1 h x x 當(dāng)x 1 時(shí) h x 0 2 1 1 x 從而當(dāng)x 0 且x1 時(shí) f x 0 即f x 1 ln x x x k 1 ln x x x k 用心 愛(ài)心 專心3 ii 設(shè) 由于當(dāng)x 1 時(shí) k 1 x2 1 2x 0 故 而01k k 1 1 0h x h 1 0 故當(dāng)x 1 時(shí) 可得 與題設(shè)矛盾 k 1 1 0h x 2 1 1 x 0h x iii 設(shè) 此時(shí) 而h 1 0 故當(dāng)x 1 時(shí) 可得1k 0h x 0h x 與題設(shè)矛盾 2 1 1 x 0h x 綜合得 k的取值范圍為 0 變式與引申變式與引申 2 2 1 解關(guān)于的不等式 x 2 10axxa 2 設(shè)為實(shí)常數(shù) 問(wèn)方程表示的曲線是何種曲k 4 8 4 8 22 kkykxk 線 題型三題型三 由自變量引起的分類討論由自變量引起的分類討論 例例 3 3 若不等式在內(nèi)恒成立 求實(shí)數(shù)的取值范圍 2 1 1a xx 2 1 x a 點(diǎn)撥 點(diǎn)撥 該題是恒成立問(wèn)題 其實(shí)就是求最值問(wèn)題 由于 的符號(hào)不確定 2 1 x 1x 因此在參變量分離時(shí)應(yīng)對(duì)范圍進(jìn)行分類討論 x 解 解 令 則 2 1 1 x f x x 2 1 2 1 22 1 2 11 xx f xx xx 1 當(dāng)時(shí) 則 而此時(shí) 11x 012x af x 2 22f x 2 22a 2 當(dāng)時(shí) 則 而此時(shí) 21x 110 x af x 5f x 5a 3 當(dāng)時(shí) 原不等式化為恒成立 1x 02 綜上所述 的取值范圍是 a 5 2 22 易錯(cuò)點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn) 1 該題在參變量分離時(shí)經(jīng)常會(huì)不考慮自變量的取值范圍 直接化為x 求得 2 在分類討論后 往往沒(méi)有把最后結(jié)果取交集 審題時(shí) 2 1 1 x a x 2 22a 一定要分清討論的目標(biāo)是自變量還是參數(shù) 當(dāng)討論自變量時(shí)結(jié)果取交集 當(dāng)討論參數(shù)時(shí)注 意分情況寫出 用心 愛(ài)心 專心4 變式與引申變式與引申 3 3 1 設(shè) 則不等式的解集為 f x 1 2 3 2 2 log 1 2 x ex xx 2f x A B C D 1 2 3 10 1 2 10 1 2 2 已知是不為零的實(shí)數(shù) 則 x nN 23 23 n xxxn x 題型四題型四 由運(yùn)算引起的分類討論由運(yùn)算引起的分類討論 例例 4 4 已知函數(shù) 32 3 36 124f xxaxa xaaR 證明 曲線 0yf xx 在處的切線過(guò)點(diǎn) 2 2 若求a的取值范圍 00 f xxxx 在處取得最小值 1 3 點(diǎn)撥點(diǎn)撥 第 I 問(wèn)直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 求出切線的斜率 然后易寫出直接方程 II 第 II 問(wèn)是含參問(wèn)題 關(guān)鍵是抓住方程的判別式進(jìn)行分類討論 0fx 解 I 2 3636fxxaxa 由得曲線在 x 0 處的切線方程為 0 124 0 36fafa yf x 36 124ya xa 由此知曲線在 x 0處的切線過(guò)點(diǎn) 2 2 yf x II 由得 0fx 2 21 20 xaxa i 當(dāng)時(shí) 沒(méi)有極小值 2121a f x ii 當(dāng)或時(shí) 由得21a 21a 0fx 22 12 21 21xaaaxaaa 故 由題設(shè)知 02 xx 2 1213aaa 當(dāng)時(shí) 不等式無(wú)解 21a 2 1213aaa 當(dāng)時(shí) 解不等式得21a 2 1213aaa 5 21 2 a 綜合 i ii 得的取值范圍是 a 5 21 2 用心 愛(ài)心 專心5 易錯(cuò)點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn) 1 首先該題不知道對(duì)方程的判別式進(jìn)行分類討論 2 其次 0fx 解不等式運(yùn)算出錯(cuò) 變式與引申變式與引申 4 4 1 若 求數(shù)列的前項(xiàng)和 34 1 1 na n n n an n S 2 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 2 12nnSn 求數(shù)列的前項(xiàng)和 n a n an n T 本節(jié)主要考查 本節(jié)主要考查 1 本節(jié)考查的是分類討論的數(shù)學(xué)思想方法 高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)知 識(shí)點(diǎn)都可能成為分類討論考查的對(duì)象 因此牢固掌握各章的基本知識(shí)點(diǎn)和基本原理是分類 討論的基礎(chǔ) 2 分類討論的原則有 同一性原則 互斥性原則 層次性原則 同一性原 則簡(jiǎn)言之即 不遺漏 互斥性原則強(qiáng)調(diào)的是 避免重復(fù) 層次性原則是指分類討論必須 按同一標(biāo)準(zhǔn)的層次進(jìn)行 不同標(biāo)準(zhǔn)的不同層次的討論不能混淆 3 分類討論的思想方法是 把要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題 分解成可能的各個(gè)部分 從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化 使 大 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 小 問(wèn)題 便于求解 它的思維策略是 化整為零 各個(gè)擊破 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng) 1 分類討論思想是數(shù)學(xué)思想方法中最基本 最常見(jiàn)的一種思想方法 在近 幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來(lái)考查 體現(xiàn)出其重要的位 置 分類討論的思想方法不僅具有明顯的邏輯性 題型覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多 綜合性強(qiáng)等特點(diǎn) 而且還有利于對(duì)學(xué)生知識(shí)面的考查 需要學(xué)生有一定的分析能力 一定分類技巧 對(duì)學(xué)生 能力的考查有著重要的作用 2 引入分類討論的主要原因 由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論 如絕對(duì)值的定義 直線的斜率等 由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論 如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零 對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求 等 由函數(shù)的性質(zhì) 定理 公式的限制引起的分類討論 由圖形的不確定引起的分類討論 由參數(shù)的變化引起的分類討論 按實(shí)際問(wèn)題的情 況而分類討論 3 分類討論的思想方法的步驟 1 確定標(biāo)準(zhǔn) 2 合理分類 3 逐類討論 4 歸納總 結(jié) 4 解題時(shí)把好 四關(guān) 要深刻理解基本知識(shí)與基本原理 把好 基礎(chǔ)關(guān) 要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn) 把好 分類關(guān) 要保證條理分明 層次清晰 把好 邏輯關(guān) 要注意對(duì)照題中的限制條件或隱含信息 合理取舍 把好 檢驗(yàn)關(guān) 習(xí)題習(xí)題 8 38 3 1 已知函數(shù) 下列結(jié)論正確的是 3 0 f xaxaxa A 當(dāng)時(shí) 有最小值 0 B 當(dāng)時(shí) 有最大值 0 2xa 3xa C 無(wú)最大值和最小值 D 有最小值無(wú)最大值 用心 愛(ài)心 專心6 2 數(shù)列 n a的通項(xiàng) 222 cossin 33 n nn an 其前n項(xiàng)和為 n S 則 30 S 3 已知集合 若 求的取值 2 40 Ax xaxxR aR 1 2 4 B AB a 范圍 4 已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q 2 0 和圓C 動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)1 22 yx 與 MQ 的比等于常數(shù) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 并說(shuō)明它表示什么曲線 0 5 2011 湖南文科 設(shè)函數(shù) 1 ln f xxax aR x I 討論 f x的單調(diào)性 II 若 f x有兩個(gè)極值點(diǎn) 12 xx和 記過(guò)點(diǎn) 1122 A xf xB xf x的直線的斜率為 k 問(wèn) 是否存在a 使得2 ka 若存在 求出a的值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 答案答案 變式與引申變式與引申 1 1 222 11 n nn n n n S aTa P 2 n n n n S T P 2 當(dāng)時(shí) 1q 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n nnn n nnn n aqqq STa qP qa qq 2 1 22 1 11 n n nn nnn n n n S aqTaq P 2 n n n n S T P 綜上 在等比數(shù)列中 成立 n a 2 n n n n S T P 變式與引申變式與引申 2 2 解 1 1 1 0 xaxa 當(dāng)時(shí) 0a 1 1 a x a 用心 愛(ài)心 專心7 當(dāng)時(shí) 1 0 2 a 1 1 a x a 當(dāng)時(shí) 1 2 a 1 1 a x a 當(dāng)時(shí) 0a 1 x 當(dāng)時(shí) 1 2 a 1 1 x 2 當(dāng)時(shí) 方程變?yōu)?即 表示直線 k4 2 40 x 0 x 當(dāng)時(shí) 方程變?yōu)?即 表示直線 k8 2 40y 0y 當(dāng)且時(shí) 方程變?yōu)?又有以下五種情形討論 4k 8k 1 84 22 k y k x 當(dāng)時(shí) 方程表示中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 4 ky 當(dāng)時(shí) 方程表示中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在軸上的橢圓 64 ky 當(dāng)時(shí) 方程表示圓心在圓點(diǎn)的圓 6 k 當(dāng)時(shí) 方程表示中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在軸上的橢圓 86 kx 當(dāng)時(shí) 方程表示中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 8 kx 變式與引申變式與引申 3 3 解 1 當(dāng)時(shí) 解得 2x 1 22 x e 12x 當(dāng)時(shí) 解得 2x 2 3 log 1 2x 10 x 綜上所述 可得不等式的解集為 故選 C 2f x 1 2 10 2 23 23 n xxxn x 1 2 1 1 1 1 1 1 2 nn xxnx x xx n n x 變式與引申變式與引申 4 4 1 當(dāng)為偶數(shù)時(shí) n42 2 n n Sn 當(dāng)為奇數(shù)時(shí) n 1 44321 2 n n Snn 綜上 2 2 21 21 n nnk kN S nnkkN 用心 愛(ài)心 專心8 2 當(dāng)時(shí) 6n 2 12 nn TSnn 當(dāng)時(shí) 7n 2 66 1272 nn TSSSnn 綜上 2 2 12 6 1272 7 n nnn T nnn 習(xí)題習(xí)題 8 38 3 1 C 2 470 提示 由于 22 cossin 33 nn 以 3 為周期 故 222222 222 30 12452829 3 6 30 222 S 22 1010 2 11 32 31 59 10 11 3 9 25470 222 kk kk kk 3 解 由于 且 則集合可能是空集 單元素集合和兩個(gè)元素集合 1 2 4 B AB A 1 當(dāng) 即時(shí) 因?yàn)?滿足 所以 2 160a 44a A AB 4 4a 2 當(dāng) 即時(shí) 由得 2 160a 4a AB 4a 3 當(dāng) 即或時(shí) 2 160a 4a 4a AB 綜上可得 當(dāng)時(shí) 4 4a AB 4 解 如圖解 8 2 9 設(shè)MN切圓C于N 則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是 0 PM MNMQ ON MN ON