高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.5 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件 文 新人教A版.ppt

第五節(jié)直線 平面垂直的判定及其性質(zhì) 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 直線與平面垂直 定義 直線l與平面 內(nèi)的 一條直線都垂直 就說直線l與平面 互相垂直 任意 判定定理與性質(zhì)定理 相交 l a b a b o l a l b a b 平行 a b 2 直線和平面所成的角 定義 平面的一條斜線和 所成的 叫做這條直線和這個平面所成的角 一條直線垂直于平面 則它們所成的角是 一條直線和平面平行或在平面內(nèi) 則它們所成的角是 范圍 它在平面上的射影 銳角 直角 0 的角 3 平面與平面垂直 二面角的有關(guān)概念 二面角 從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一點 以該點為垂足 在兩個半平面內(nèi)分別作 的兩條射線 這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角 平面和平面垂直的定義 兩個平面相交 如果所成的二面角是 就說這兩個平面互相垂直 兩個半平面 垂直于棱 直二面角 平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理 l 垂線 交線 l l l a l a 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 若兩平行線中的一條垂直于一個平面 則另一條也垂直于這個平面 2 若一條直線垂直于一個平面 則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線 證明線線垂直的一個重要方法 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 證明線線垂直 線面垂直 面面垂直的方法 求線面角 二面角的方法 2 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想 3 記憶口訣 判斷線面的垂直 線垂面中兩交線 兩線垂直同一面 兩線平行共伸展 兩面垂直同一線 一面平行另一面 要讓面面相垂直 面過另面一垂線 面面垂直成直角 線面垂直記心間 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 垂直于同一個平面的兩平面平行 2 若兩條直線與一個平面所成的角相等 則這兩條直線平行 3 若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線 則 4 二面角是指兩個相交平面構(gòu)成的圖形 5 若兩個平面垂直 則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面 解析 1 錯誤 兩個平面也可能相交 2 錯誤 兩條直線也可能異面或相交 3 錯誤 與 不一定垂直 4 錯誤 二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形 5 錯誤 若平面 平面 則平面 內(nèi)的直線l與 可平行 可相交 也可在平面 內(nèi) 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修2p73練習(xí)t1改編 下列命題中不正確的是 a 如果平面 平面 且直線l 平面 則直線l 平面 b 如果平面 平面 那么平面 內(nèi)一定存在直線平行于平面 c 如果平面 不垂直于平面 那么平面 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 d 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 解析 選a 根據(jù)面面垂直的性質(zhì) 知a不正確 直線l可能平行平面 也可能在平面 內(nèi) 2 必修2p73習(xí)題a組t3改編 如圖 在三棱錐v abc中 vab vac abc 90 則構(gòu)成三棱錐的四個三角形中直角三角形的個數(shù)為 解析 所以有4個直角三角形 答案 4 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 遼寧高考 已知m n表示兩條不同的直線 表示平面 下列說法正確的是 a 若m n 則m nb 若m n 則m nc 若m m n 則n d 若m m n 則n 解析 選b 如圖 正方體abcd a1b1c1d1中 直線aa1 ab1分別與平面cc1d1d平行 但是直線aa1 ab1相交 故選項a錯誤 根據(jù)線面垂直的定義 一條直線垂直于一個平面 則該直線垂直于平面內(nèi)的任一條直線 可見選項b正確 直線aa1 平面abcd aa1 bc 但直線bc 平面abcd 故選項c錯誤 直線aa1 平面cc1d1d aa1 cd 但直線cd 平面cc1d1d 故選項d錯誤 2 2013 新課標全國卷 已知m n為異面直線 m 平面 n 平面 直線l滿足l m l n l l 則 a 且l b 且l c 與 相交 且交線垂直于ld 與 相交 且交線平行于l 解析 選d 因為m n為異面直線 m 平面 n 平面 所以 相交 否則m n為平行直線 設(shè) l 則l m l n 過空間一點p作m m n n 則m n 可確定平面 由題意知 l l 所以l l 3 2015 濟南模擬 已知如圖 六棱錐p abcdef的底面是正六邊形 pa 平面abcdef 則下列結(jié)論不正確的是 a cd 平面pafb df 平面pafc cf 平面pabd cf 平面pad 解析 選d a中 因為cd af af 平面paf cd 平面paf 所以cd 平面paf成立 b中 因為abcdef為正六邊形 所以df af 又因為pa 平面abcdef 所以pa df 又因為pa af a 所以df 平面paf成立 c中 因為cf ab ab 平面pab cf 平面pab 所以cf 平面pab 而d中cf與ad不垂直 故選d 考點1與線 面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷 典例1 1 2014 浙江高考 設(shè)m n是兩條不同的直線 是兩個不同的平面 a 若m n n 則m b 若m 則m c 若m n n 則m d 若m n n 則m 2 2015 濟南模擬 已知l m n是三條不同的直線 是不同的平面 則 的一個充分條件是 a l m 且l mb l m n 且l m l nc m n m n 且l md l l m 且m 解題提示 1 依據(jù)線面平行 垂直的判定與性質(zhì)逐一判斷 2 逐個驗證選項中的條件能否推得 規(guī)范解答 1 選c 對a若m n n 則m 或m 或m 故a選項錯誤 對b若m 則m 或m 或m 故b選項錯誤 對c若m n n 則m 故c選項正確 對d若m n n 則m 或m 或m 故d選項錯誤 2 選d 對于a 若l m 且l m 如圖 1 所示雖滿足條件 但 與 不垂直 對于b 當m n時 也得不到平面 與平面 垂直 對于c 如圖 2 所示條件滿足但平面 與平面 不垂直 對于d 由l m m 得l 又l 因此有 規(guī)律方法 與線面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷方法 1 借助幾何圖形來說明線面關(guān)系要做到作圖快 準 甚至無需作圖在頭腦中形成印象來判斷 2 尋找反例 只要存在反例 那么結(jié)論就不正確 3 反復(fù)驗證所有可能的情況 必要時要運用判定或性質(zhì)定理進行簡單說明 變式訓(xùn)練 2015 合肥模擬 已知不同的直線l m 不同的平面 下列命題中 若 l 則l 若 l 則l 若l m 則l m 若 l m l 則m 真命題的個數(shù)為 a 0b 1c 2d 3 解析 選c 兩平面平行 則平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個平面 故 是真命題 兩平面平行 若一條直線垂直于其中一個平面 則必垂直于另一個平面 故 是真命題 對于 直線l也有可能與直線m異面 故 是錯誤的 對于 若直線m不在平面 內(nèi) 則不成立 故 是錯誤的 所以真命題有2個 加固訓(xùn)練 1 2014 衡水模擬 設(shè)l是直線 是兩個不同的平面 a 若l l 則 b 若l l 則 c 若 l 則l d 若 l 則l 解析 選b 對于a 若l l 則 可能相交 對于b 若l 則平面 內(nèi)必存在一直線m與l平行 則m 又m 故 選項c l可能平行于 或l在平面 內(nèi) 選項d l還可能平行于 或在平面 內(nèi) 2 2015 長沙模擬 設(shè)a b c是三條不同的直線 是兩個不同的平面 則a b的一個充分條件是 a a c b cb a b c a b d a b 解析 選c 對于選項c 在平面 內(nèi)存在m b 因為a 所以a m 故a b a b選項中 直線a b可能是平行直線 相交直線 也可能是異面直線 d選項中一定推出a b 考點2線面垂直的判定與性質(zhì)知 考情直線與平面垂直的判定與應(yīng)用是高考考查垂直關(guān)系的一個重要考向 常與線線垂直 面面垂直及平行關(guān)系綜合出現(xiàn)在解答題中 考查線面垂直的判定定理及其性質(zhì) 明 角度命題角度1 證明直線與平面垂直 典例2 2014 福建高考 如圖 在三棱錐a bcd中 ab 平面bcd cd bd 1 求證 cd 平面abd 2 若ab bd cd 1 m為ad中點 求三棱錐a mbc的體積 解題提示 1 利用線面垂直的判定定理證明 2 分別求出 abm的面積和高cd 繼而求出體積 或利用va mbc va bcd vm bcd求解 規(guī)范解答 1 因為ab 平面bcd cd 平面bcd 所以ab cd 又因為cd bd ab bd b ab 平面abd bd 平面abd 所以cd 平面abd 2 由ab 平面bcd 得ab bd 因為ab bd 1 所以s abd 因為m是ad的中點 所以s abm s abd 由 1 知 cd 平面abd 所以三棱錐c abm的高h cd 1 因此三棱錐a mbc的體積va mbc vc abm s abm h 一題多解 解答本題 2 你還知道什么方法 解答本題 2 還有以下方法 2 由ab 平面bcd知 平面abd 平面bcd 又平面abd 平面bcd bd 如圖 過點m作mn bd交bd于點n 則mn 平面bcd 且mn ab 又cd bd bd cd 1 所以s bcd 所以三棱錐a mbc的體積va mbc va bcd vm bcd ab s bcd mn s bcd 命題角度2 利用直線垂直平面的性質(zhì)證明線線垂直 典例3 2015 臨沂模擬 如圖所示 已知ab為圓o的直徑 點d為線段ab上一點 且ad db 點c為圓o上一點 且bc ac pd 平面abc pd db 求證 pa cd 本例源于教材必修2p69例3 解題提示 只需證明直線cd垂直于pa所在的平面pab即可 規(guī)范解答 因為ab為圓o的直徑 所以ac cb 在rt abc中 由ac bc得 abc 30 設(shè)ad 1 由3ad db得 db 3 bc 2 由余弦定理得cd2 db2 bc2 2db bccos30 3 所以cd2 db2 bc2 即cd ao 因為pd 平面abc cd 平面abc 所以pd cd 由pd ao d得 cd 平面pab 又pa 平面pab 所以pa cd 互動探究 在本例的條件下 過點d作de pb 垂足為e 連接ce 求證 ce pb 證明 由本例解析知cd 平面pab 又pb 平面pab 所以cd pb 又de cd d 所以pb 平面cde 又ce 平面cde 所以ce pb 悟 技法1 證明線面垂直的常用方法 1 利用線面垂直的判定定理 2 利用 兩平行線中的一條與平面垂直 則另一條也與這個平面垂直 3 利用 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個 則與另一個也垂直 4 利用面面垂直的性質(zhì)定理 2 證明線線垂直的常用方法 1 利用特殊圖形中的垂直關(guān)系 2 利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì) 3 利用勾股定理的逆定理 4 利用直線與平面垂直的性質(zhì) 通 一類1 2014 廣東高考 如圖1 四邊形abcd為矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 作如圖2折疊 折痕ef dc 其中點e f分別在線段pd pc上 沿ef折疊后點p疊在線段ad上的點記為m 并且mf cf 1 證明 cf 平面mdf 2 求三棱錐m cde的體積 解題提示 1 可利用pd 平面abcd 證明md 平面cdef 2 只需求高md及 cde的面積 即可求得結(jié)論 解析 1 因為pd 平面abcd 所以pd md 在矩形abcd中md cd 又pd cd d 所以md 平面cdef 所以md cf 又因為mf cf 所以cf與相交直線md和mf都垂直 故cf 平面mdf 2 在 cdp中 cd ab 1 pc 2 則pd pcd 60 cf 平面mdf 則cf df cf df 因為ef dc 所以s cde cd de 由勾股定理可得md 所以vm cde md s cde 2 2014 江西高考 如圖 三棱柱abc a1b1c1中 aa1 bc a1b bb1 1 求證 a1c cc1 2 若ab 2 ac bc 問aa1為何值時 三棱柱abc a1b1c1體積最大 并求此最大值 解題提示 1 線線垂直 線面垂直的轉(zhuǎn)化 只需證cc1 平面a1bc 2 把體積表示為aa1的函數(shù) 處理函數(shù)的最大值問題 解析 1 三棱柱abc a1b1c1中 因為aa1 bc 所以bb1 bc 又bb1 a1b且bc a1b b 所以bb1 平面bca1 又bb1 cc1 所以cc1 平面bca1 又a1c 平面bca1 所以a1c cc1 2 設(shè)aa1 x 在rt a1bb1中 同理a1c2 在 a1bc中 cos ba1c sin ba1c 加固訓(xùn)練 2015 武漢模擬 如圖 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 底面abc ab ac ac aa1 e f分別是棱bc cc1的中點 1 求證ab 平面aa1c1c 2 若線段ac上的點d滿足平面def 平面abc1 試確定點d的位置 并說明理由 3 證明 ef a1c 解析 1 因為a1a 底面abc 所以a1a ab 又因為ab ac a1a ac a 所以ab 平面a1acc1 2 因為平面def 平面abc1 平面abc 平面def de 平面abc 平面abc1 ab 所以ab de 又因為在 abc中e是bc的中點 所以d是線段ac的中點 3 因為三棱柱abc a1b1c1中 a1a ac 所以側(cè)面a1acc1是菱形 所以a1c ac1 由 1 可得ab a1c 因為ab ac1 a 所以a1c 平面abc1 所以a1c bc1 又因為e f分別為棱bc cc1的中點 所以ef bc1 所以ef a1c 考點3平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 典例4 2014 江蘇高考 如圖 在三棱錐p abc中 d e f分別為棱pc ac ab的中點 已知pa ac pa 6 bc 8 df 5 求證 1 直線pa 平面def 2 平面bde 平面abc 解題提示 1 利用三角形中位線的性質(zhì)找到線線平行 再運用直線與平面平行的判定定理進行證明 2 利用面面垂直的判定定理證明 在平面bde內(nèi)找一線de 證明de 平面abc即可 規(guī)范解答 1 因為d e分別為棱pc ac的中點 則有pa de 又pa 平面def de 平面def 所以pa 平面def 2 由 1 知pa de 又pa ac 所以de ac 又f是ab的中點 e是ac的中點 所以de pa 3 ef bc 4 又df 5 所以de2 ef2 df2 所以de ef ef ac是平面abc內(nèi)兩條相交直線 所以de 平面abc 又de 平面bde 故平面bde 平面abc 規(guī)律方法 1 面面垂直的證明方法 1 定義法 利用面面垂直的定義 即判定兩平面所成的二面角為直二面角 將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題 2 定理法 利用面面垂直的判定定理 即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線 把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決 提醒 兩平面垂直 在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面 這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù) 運用時要注意 平面內(nèi)的直線 2 三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化3 面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用 1 兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù) 運用時要注意 平面內(nèi)的直線 2 兩個相交平面同時垂直于第三個平面 它們的交線也垂直于第三個平面 變式訓(xùn)練 2015 廣州模擬 o的直徑ab 4 點c d為 o上兩點 且 cab 45 f為的中點 沿直徑ab折起 使兩個半圓所在平面互相垂直 如圖 1 求證 of 平面acd 2 在ad上是否存在點e 使得平面oce 平面acd 若存在 試指出點e的位置 若不存在 請說明理由 解析 1 因為 cab 45 所以 cob 90 又因為f為的中點 所以 fob 45 所以of ac 又ac 平面acd 從而of 平面acd 2 存在 e為ad中點 因為oa od 所以oe ad 又oc ab且兩半圓所在平面互相垂直 所以oc 平面oad 又ad 平面oad 所以ad oc 由 ad 平面oce 又ad 平面acd 所以平面oce 平面acd 加固訓(xùn)練 1 2015 杭州模擬 如圖 四棱錐p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分別為pb ab bc pd pc的中點 1 求證 ce 平面pad 2 求證 平面efg 平面emn 解析 1 方法一 取pa的中點h 連接eh dh 因為e為pb的中點 所以eh ab eh ab 又ab cd cd ab 所以eh cd eh cd 因此四邊形dceh是平行四邊形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 因此ce 平面pad 方法二 連接cf 因為f為ab的中點 所以af ab 又cd ab 所以af cd 又af cd 所以四邊形afcd為平行四邊形 因此cf ad 又cf 平面pad ad 平面pad 所以cf 平面pad 因為e f分別為pb ab的中點 所以ef pa 又ef 平面pad ap 平面pad 所以ef 平面pad 因為cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因為e f分別為pb ab的中點 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可證ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分別為pd pc的中點 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 2 2015 洛陽模擬 如圖 在三棱錐p abc中 pa pb ab 2 bc 3 abc 90 平面pab 平面abc d e分別為ab ac中點 1 求證 de 平面pbc 2 求證 ab pe 3 求三棱錐p bec的體積 解析 1 因為d e分別為ab ac中點 所以de bc 又de 平面pbc bc 平面pbc 所以de 平面pbc 2 連接pd 因為de bc 又 abc 90 所以de ab 又pa pb d為ab中點 所以pd ab 所以ab 平面pd