一元二次方程【韋達(dá)定理、根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)+答案】

第 1 頁(yè) 共 15 頁(yè) 韋達(dá)定理與根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題韋達(dá)定理與根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題 一 填空題一 填空題 1 關(guān)于的方程 當(dāng) 時(shí) 方程有兩個(gè)正數(shù)根 x032 2 mxx 當(dāng) 時(shí) 方程有一個(gè)正根 一個(gè)負(fù)根 m 當(dāng) 時(shí) 方程有一個(gè)根為0 m 2 已知一元二次方程的兩根為 則 0132 2 xx 1 x 2 x 21 xx 3 如果 是方程的兩個(gè)根 那么 1 x 2 x065 2 xx 21 xx 4 已知 是方程的兩實(shí)數(shù)根 則的值為 1 x 2 x036 2 xx 2 1 1 2 x x x x 5 設(shè) 是方程的兩個(gè)根 則 1 x 2 x0342 2 xx 1 1 21 xx 6 若方程的兩根為 則 0342 2 xx 22 2aa 7 已知 是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 且 則 1 x 2 xx01 1 22 axxa 1 x 2 x 3 1 21 xx 8 已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為和 且 x064 2 xmx 1 x 2 x2 21 xx 則 m 21 21 xx xx 9 若方程的兩根之比是2 3 則 052 2 kxx k 10 如果關(guān)于的方程的兩根差為2 那么 x06 2 kxx k 11 已知方程兩根的絕對(duì)值相等 則 042 2 mxx m 12 已知方程的兩根互為相反數(shù) 則 02 2 mxx m 13 已知關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù) 則 x01 1 1 22 xaxa a 14 已知關(guān)于的一元二次方程 若方程的兩根互為倒數(shù) 則 x0 1 2 22 mxmx m 若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù) 則 m 15 一元二次方程的兩根為 0 和 1 則 0 0 2 prqxpx qp 16 已知方程 要使方程兩根的平方和為 那么常數(shù)項(xiàng)應(yīng)改為 013 2 xx 9 13 17 已知方程的一個(gè)根比另一個(gè)根小4 則 024 2 mxx m 第 2 頁(yè) 共 15 頁(yè) 18 已知關(guān)于的方程的兩根立方和為 0 則 x03 2 kxx k 19 已知關(guān)于的方程的兩根為 且 則 x0 1 23 2 mmxx 1 x 2 x 4 311 21 xx m 20 若方程與有一個(gè)根相同 則 04 2 mxx02 2 mxx m 21 一元二次方程的兩根與的兩根之間的關(guān)系是 0132 2 xx023 2 xx 22 請(qǐng)寫出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為 1 兩實(shí)根之和為 3 的一元二次方程 23 已知一元二次方程的兩根之和為 5 兩根之積為 6 則這個(gè)方程為 24 若為實(shí)數(shù)且 則以為根的一元二次方程為 0 2 3 2 其中二次項(xiàng)系數(shù)為1 25 求作一個(gè)方程 使它的兩根分別是方程兩根的二倍 則所求的方程為 023 2 xx 二 解答題二 解答題 1 已知m 是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 求的值 n052 2 xxmnm232 22 2 設(shè) 是方程的兩個(gè)根 求 的值 1 x 2 x0142 2 xx 21 xx 3 已知 是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 且 1 x 2 x02 2 axx232 21 xx 1 求 及的值 2 求的值 1 x 2 xa 21 2 1 3 1 23xxxx 4 已知 是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 且 1 x 2 x0 2 nxmx3 2 21 2 2 2 1 xxxx 求和的值 5 22 2 2 2 1 xx mn 5 已知 且 求的值 aa 1 2 bb 1 2 ba 1 1 ba 第 3 頁(yè) 共 15 頁(yè) 6 設(shè) 且 求的值 01163 2 aa01163 2 bbba ba 7 已知 是關(guān)于的二次方程 的兩個(gè)不等實(shí)根 x04 4 2 2 2 mxmxm 1 若為正整數(shù)時(shí) 求此方程兩個(gè)實(shí)根的平方和的值 2 若時(shí) 求的值 m6 22 m 8 已知關(guān)于的二次方程的一個(gè)根是 求另一個(gè)根及的值 x01 2 mxx12 m 9 已知方程的一根是 5 求方程的另一根及的值 0105 2 mxxm 10 已知是的一根 求另一根和的值 32 04 2 kxxk 11 1 方程的一個(gè)根是 則另一個(gè)根是 03 2 mxx2 2 若關(guān)于的方程的兩個(gè)根中只有一個(gè)根為0 那么應(yīng)滿足 y0 2 nmyynm 12 如果是方程的一個(gè)根 則 另一個(gè)根為 1 x0132 2 mxx m 13 已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是 2 求它的另一個(gè)根及的值 xmxx 52 2 m 14 已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是 2 求它的另一個(gè)根及 的值 xtxx 13 2 t 第 4 頁(yè) 共 15 頁(yè) 15 在解方程時(shí) 小張看錯(cuò)了 解得方程的根為1與 3 0 2 qpxxp 小王看錯(cuò)了 解得方程的根為4與 2 這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么 q 16 已知一元二次方程 05 1 8 2 mymy 1 為何值時(shí) 方程的一個(gè)根為零 m 2 為何值時(shí) 方程的兩個(gè)根互為相反數(shù) m 3 證明 不存在實(shí)數(shù) 使方程的兩個(gè)相互為倒數(shù) m 17 方程中的是什么數(shù)值時(shí) 方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足 03 2 mxxm 1 一個(gè)根比另一個(gè)根大2 2 一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍 3 兩根差的平方是17 18 已知一元二次方程 根據(jù)下列條件 分別求出的值 07 12 8 2 mxmxm 1 兩根互為倒數(shù) 2 兩根互為相反數(shù) 3 有一根為零 4 有一根為1 20 已知關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為11 求的值 x012 2 mxxm 21 已知關(guān)于的二次方程有實(shí)數(shù)根 x05 2 2 22 axax 且兩根之積等于兩根之和的2倍 求的值 a 第 5 頁(yè) 共 15 頁(yè) 22 已知方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根 0 2 cbxx 兩根之差等于3 兩根的平方和等于29 求的值 cb 23 已知關(guān)于的方程的兩根滿足關(guān)系式 求的值及兩個(gè)根 x01 1 2 2 mxmx1 21 xxm 24 已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于 6 求的值 x02 1 2 kxkxk 25 是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x01 1 2 xxm 且滿足 求實(shí)數(shù)的值 1 1 1 m m 26 是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根 x0444 22 mmmxx 并且滿足 求的值 100 9 1 1 1 m 27 已知 是關(guān)于的方程的兩根 求的值 x01 2 2 xmx 1 1 22 mm 28 已知關(guān)于 的方程 問(wèn) 是否存在正實(shí)數(shù) 使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和x0 2 2 22 mxmxm 等于 56 若存在 求出的值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 m 29 關(guān)于的一元二次方程的x0 2 14 3 22 mmxmx 兩實(shí)根之和等于兩個(gè)實(shí)根的倒數(shù)和 求的值 m 第 6 頁(yè) 共 15 頁(yè) 30 已知關(guān)于的一元二次方程 的兩根之比為 求證 x0 2 cbxax0 a1 2acb92 2 31 已知方程和有一個(gè)相同的根 求的值及這個(gè)相同的根 04 2 mxx016 2 2 xmxm 32 已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為 且兩個(gè)關(guān)于的方程x0 2 cbxax x 與有唯一的公共根 求的關(guān)系式 0 1 22 xx0 1 22 xxcba 33 已知 是關(guān)于的方程的兩根 是關(guān)于的方程的 1 x 2 xx0 2 qpxx1 1 x1 2 xx0 2 pqxx 兩根 求常數(shù)的值 qp 34 已知方程的兩實(shí)根是和 方程的兩實(shí)根是和 012 2 mxx 1 x 2 x0 2 nmxx7 1 x7 2 x 求和的值 mn 35 已知 為實(shí)數(shù) 且 求下列各式的值 0742 2 ss0247 2 ttts 1 st 1 2 t st1 t sst323 36 已知 是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 是關(guān)于的方程 1 x 2 xx0 22 nxmx 1 y 2 yy 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 且 求 的值 075 2 myy2 11 yx2 22 yxmn 37 關(guān)于的方程有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根 x01 32 22 xmxm 有大于 0 且小于 2 的根 求的整數(shù)值 0462 2 22 mmaxmaxa 第 7 頁(yè) 共 15 頁(yè) 38 已知關(guān)于的方程兩根相等 方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍 x02 2 nxmx034 2 nmxx 求證 方程一定有實(shí)數(shù)根 0 2 mkxnkx 39 已知關(guān)于的一元二次方程 x012 14 2 mxmx 1 求證 不論為任何實(shí)數(shù) 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 m 2 若方程兩根為 且滿足 求的值 1 x 2 x 2 111 21 xx m 40 關(guān)于的方程 其中 分別是一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng) x0 4 1 2 22 nmxxmn 1 求證 這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 2 若方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值是8 等腰三角形的面積是12 求這個(gè)三角形的周長(zhǎng) 41 已知關(guān)于的方程 y0422 2 aayy 1 證明 不論取何值 這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 a 2 為何值時(shí) 方程的兩根之差的平方等于16 a 42 已知方程的兩根之比為 方程的兩根相等 0352 2 nmxx3 2082 2 mnxx0 mn 求證 對(duì)任意實(shí)數(shù) 方程恒有實(shí)數(shù)根 k01 1 2 kxknmx 43 如果關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x03 3 2 22 mxmx 那么的最小值是多少 22 1 1 第 8 頁(yè) 共 15 頁(yè) 44 已知方程的兩根為 且 又知根的判別式 求的值 0 2 baxx 1 x 2 x04 21 xx25 ba 45 求一個(gè)一元二次方程 使它的兩個(gè)根是和 62 62 46 已知方程 不解方程 求作一個(gè)一元二次方程 使它的兩個(gè)根分別是已知方程的075 2 xx 兩個(gè)根的負(fù)倒數(shù) 47 已知方程的兩個(gè)根分別為 利用根與系數(shù)的關(guān)系 求一個(gè)一元二次方程 0332 2 xxab 使它的兩個(gè)根分別是 1 2 1 a1 b a b2 b a2 48 已知兩數(shù)之和為 7 兩數(shù)之積為12 求這兩個(gè)數(shù) 49 已知兩數(shù)的和等于6 這兩數(shù)的積是4 求這兩數(shù) 50 一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的和為6cm 面積為 求這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng) 2 2 7 cm 51 已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根是斜邊長(zhǎng)為5的直角三角形的兩條直角邊的x0 1 4 12 2 axax 長(zhǎng) 求這個(gè)直角三角形的面積 52 試確定使的根同時(shí)為整數(shù)的整數(shù)的值 0 2 axbaxa 53 已知一元二次方程 且是腰長(zhǎng)為 7 的等腰三角形的底邊長(zhǎng) 0524 32 2 kkxxk14 k 求 當(dāng)取何整數(shù)時(shí) 方程有兩個(gè)整數(shù)根 k 第 9 頁(yè) 共 15 頁(yè) 54 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根和 在數(shù)軸上 表示的x02 22 pxx 1 x 2 x 21 xx 2 x 點(diǎn)在表示的點(diǎn)的右邊 且相距 求的值 1 x1 pp 答案答案 一 填空題一 填空題 1 8 9 0 m 2 2 3 3 6 4 10 5 2 5 6 10 7 1 8 2 8 9 3 10 8 11 0 12 0 13 2舍去2 14 1 舍去131 舍去31 15 1 16 2 17 4 0 0 18 3 19 3 1 20 3 或 0 21 互為倒數(shù) 22 03 2 答案不唯一 xx 23 065 2 答案不唯一 xx 第 10 頁(yè) 共 15 頁(yè) 24 023 2 xx 25 086 2 答案不唯一 xx 二 解答題二 解答題 1 5252 22 nnmm 原式 372566232 22 nmmnm 2 24 21 2 2121 xxxxxx 3 1 解之 232 2 21 21 21 xx axx xx 1 21 21 2 1 a x x 2 原式 12 1 2 1 xx11 21 xx 4 解之或 nxxmxx 2121 5 2 2 2 2 3222 2 22 21 21 2 21 21 2 21 n nm xx xxxx nmxxxx 1 2 1 n m 53 10 21 n m 舍去 5 11 1 1 baabba 6 3 422 ba 7 且0 4 m2 m 1 時(shí) 時(shí) 1 m036 2 xx30 22 3 m012 2 xx6 22 2 即 62 222 6 2 4 2 2 4 2 2 m m m m 化簡(jiǎn)得 解得06 2 mm23 21 mm 8 212 2 mx 9 23 5 2 2 mx 10 132 2 kx 11 1 2 23 00 mn且 12 1 2 1 第 11 頁(yè) 共 15 頁(yè) 13 2 2 1 2 mx 14 2 11 6 1 2 tx 15 所以原方程為 解得 2 2 4 3 3 1 p q 032 2 xx31 21 xx 16 1 方程的一個(gè)根為 0 即 此時(shí) 0 c5 m 2 方程的兩根互為相反數(shù) 即 此時(shí) 0 b1 m 3 方程的兩根互為倒數(shù) 即 此時(shí) 原方程為 ca 13 m08148 2 yy060 17 1 2 3 mxx xx 21 21 3 4 5 m 16 27 m2 m 18 1 方程的兩根互為倒數(shù) 即 此時(shí) ca 15 m0176 2 7 4 2 m 2 方程的兩根互為相反數(shù) 即 此時(shí) 0 b 2 1 m 3 方程的一個(gè)根為 0 即 此時(shí) 0 c7 m 4 方程的一個(gè)根為 1 此時(shí) 解得 07128 mm0 m 19 20 解之 11 12 21 21 21 xx xx mxx 13 1 12 2 1 m x x 21 由題意可得 即 解得或 舍 0 4 9 a 2121 2 21 21 2 5 2 2 xxxx axx axx 2 45 2 aa1 a3 a 22 不相等的兩正根 則 由題意解得 0 0 0 c b 10 7 c b 23 1 2 1 4 2 1 4 2 21 2 21 2 21 mm xxxxxx 即0 1 11 1110 2 mmmm 當(dāng)時(shí) 解得 11 m065 2 xx32或 x 當(dāng)時(shí) 解得1 m0 2 xx10 或x 24 化簡(jiǎn)得 所以或 舍 6 2 2 1 2 2 21 2 21 2 2 2 1 kkxxxxxx09 2 k3 k3 k 25 解得或 舍 11 1 1 m m mm 1 1 1 1 1 m2 m 第 12 頁(yè) 共 15 頁(yè) 26 解得或 舍 100 9 4 4 1 1 1 2 m mm 5 3 m 5 3 m 27 則有 原式 xmxx21 2 21 2 m 21 2 m41422 28 化簡(jiǎn)得 或 舍 562 2 2 2 22 21 2 21 2 2 2 1 mmxxxxxx0208 2 mm2 m10 m 29 即 21 21 21 21 11 xx xx xx xx 0 1 1 21 21 xx xx 當(dāng)時(shí) 解得 舍 0 21 xx014 2 m 2 1 2 1 mm或 當(dāng)時(shí) 解得 舍 0 21 xx0 1 1 21 xx 1 3 2 21 mm xx13 mm或 綜上所述 3 2 1 mm或 30 不妨設(shè) 則有 得 即 21 2xx 2 221 221 2 3 x a c xx x a b xx 2 1 2 2 9 2 ac b acb92 2 3131 方法一 方法一 得 即020 22 xm10 xmx 代入 中得 解得 06 2 xx3 1 x2 2 x 當(dāng)時(shí) 方程 的解為 方程 的解為 符合題意 3 x 3 13 m 3 4 3 3 16 3 當(dāng)時(shí) 方程 的解為 方程 的解為 符合題意 2 x4 m22 82 綜上所述 當(dāng)時(shí)相同根為 當(dāng)時(shí)相同根為 3 13 m3 4 m2 方法二 方法二 得 即 020 22 xm m x 1 10 代入 中得 化簡(jiǎn)為 解得 或 04 1 10 1 10 2 2 m m m 0523 2 mm 3 13 m4 m 當(dāng)時(shí)由 相同根為 當(dāng)時(shí)相同根為 3 13 m3 4 m2 32 得 由題意得 所以 0 22 x x 代入 中化簡(jiǎn)得 即 0 2 2 02 2 a b a c a b abacb 2 2 第 13 頁(yè) 共 15 頁(yè) 33 31 qp 34 547 nm 35 兩邊同除得 所以是同一方程的兩根 0247 2 tt 2 t 07 42 2 ttt s 1 0742 2 xx 2 1 t s 2 71 t s 1 2 11 t s t st 2 1 2 7 2 2 32 3 3 323 t s t s t sst 36 因?yàn)?兩式相加得 2 11 yx2 22 yx4 2121 yyxx 即 整理得 解得 舍 4 5 2 mm045 2 mm14 mm或 37 方程 有兩個(gè)乘積為 1 的實(shí)根 解得 舍 1 1 2 21 m xx11 mm或 當(dāng)時(shí) 方程 化為1 m012 1 2 2 axax 即0 12 1 axx 解得 不符合題意 舍去 1 12 21 xax 所以 解得 又 是整數(shù) 2 12 0 a 2 1 3 2 aa1 a 38 方程 有兩根相等 008 2 mmn 且 方程 中不妨設(shè) 則有 得 即 21 3xx 2 221 221 3 4 x a c xx x a b xx 2 1 2 3 16 3 16 22 n m ac b nm 2 綜上 此時(shí)原方程化為42 nm 02 4 2 kxkx 所以該方程一定有實(shí)數(shù)根 020 2 2 4 4 22 kkk 39 1 所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 0516 12 4 14 22 mmm 2 解得 2 1 12 14 11 21 21 21 m m xx xx xx2 1 m 40 1 所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 0 2 2 4 1 4 2 22 nmnmnm 2 844 22 21 2 2121 nmxxxxxx 12 22 1 2 2 n mnS 第 14 頁(yè) 共 15 頁(yè) 解得 所以三角形周長(zhǎng)56 mn 162 nmC 41 1 所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 012 1 4 42 4 2 22 aaa 2 解得16 42 4 2 4 2 21 2 21 2 21 aaxxxxxx20 aa 或 42 方程 不妨設(shè) 則有 得 即 21 3 2 xx 2 221 221 3 2 3 5 x a c xx x a b xx 2 1 2 6 25 6 25 22 n m ac b nm 2 方程 中有兩根相等 即0844 2 mnmn8 2 綜上 此時(shí)原方程化為42 nm 01 3 2 2 kxkx 所以該方程一定有實(shí)數(shù)根 0 1 1 24 3 22 kkk 43 即 3 3 2 2 m m 02424 3 4 3 4 22 mmm1 m 原式 54 7 22 3 2 3 2 3 42 22 2222 mmmm 當(dāng)時(shí) 原