第五章 剛體力學(xué).doc

第五章 剛體力學(xué)在前面的機械運動研究中，主要考慮的是不計體積和形狀的物體質(zhì)點。然而在更多的情況下，我們所遇到的物體體積和形狀不可忽略，例如地球的自轉(zhuǎn)、車輪在地面上的滾動、雷達的掃動、運動員的騰挪翻轉(zhuǎn)、機械的運轉(zhuǎn)等。很顯然這些物體的運動比質(zhì)點的運動規(guī)律要復(fù)雜地多，因此必須找到一種方法研究這類物體的機械運動。這種方法要滿足兩個條件：第一簡單。第二要能夠沿用前面所學(xué)過的質(zhì)點運動的一整套方法。這個方法就是剛體力學(xué)研究方法，在這個方法中建立了這類物體對象的理想模型剛體。雖然是理想模型，卻可以與實際物體聯(lián)系起來，上述運動中的物體可看成剛體，實際物體在形變不大的情況下都可看成剛體。剛體的定義是：它一種特殊的質(zhì)點系統(tǒng)，無論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。即物體的形狀、大小都不變的固體稱為剛體。由于剛體是質(zhì)點系，所以研究方法將會充分利用質(zhì)點運動的研究成果，這符合知識學(xué)習(xí)的連貫性、繼承性、體系性。另外剛體中任意兩質(zhì)點在運動中距離始終保持不變，如果研究出剛體中任一質(zhì)點的運動規(guī)律，再研究出其它質(zhì)點相對該質(zhì)點的運動，則整個剛體的運動就掌握了，因此這種方法是簡單的。不能當(dāng)作剛體的更復(fù)雜物體對象將會用流體力學(xué)一類的方法進行研究。第一節(jié) 剛體的運動在確定研究對象為剛體之后，接下來就要分析剛體運動的特點，掌握這些特點后，就可以針對剛體每一類運動分別展開研究。通過分析剛體運動可分為如下的幾種：一、平動 （a） （b）圖51 剛體的平動1.定義：剛體上任一給定直線（或任意二質(zhì)點間的連線）在運動中空間方向始終不變而保持平行，叫做剛體的平動（圖51）。2.性質(zhì)：平動時剛體內(nèi)所有質(zhì)點的位移矢量、瞬時速度矢量、瞬時加速度矢量都相同，即運動規(guī)律一樣。知道一個質(zhì)點運動規(guī)律，就可知剛體整體和剛體內(nèi)其它質(zhì)點的運動規(guī)律。我們可以選取剛體上一個特定點的運動來代表剛體的運動，該點的位置和運動規(guī)律與整個剛體的質(zhì)量和所受合外力有關(guān)，即滿足：剛體的質(zhì)量與剛體質(zhì)心的加速度的乘積等于剛體所受的合外力。 用式子表示為。在前面質(zhì)點運動的章節(jié)中出現(xiàn)的大物體都是在做剛體平動一類的運動，所以都被當(dāng)作質(zhì)點來對待的。3.自由度：確定剛體平動的自由度為三個。自由度：決定物體的空間位置所需要的獨立坐標(biāo)個數(shù)。是描述物體運動自由程度的物理量。獨立坐標(biāo)：描寫物體位置所需的最少的坐標(biāo)數(shù)。例如描述一個質(zhì)點，在直角坐標(biāo)下，需要x、y、z三個獨立的坐標(biāo)，即3個自由度。剛體的整體運動與剛體中一個質(zhì)點的運動相同，所以該剛體內(nèi)質(zhì)點的自由度就是剛體的自由度。二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動 圖52 剛體的定軸轉(zhuǎn)動1.定義：若剛體運動時，所有質(zhì)點都在與某一直線垂直的諸平面上作圓周運動且圓心在該直線上，該直線相對剛體的位置和取向始終不變，則稱剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動，該直線稱作固定轉(zhuǎn)軸。例如門的轉(zhuǎn)動、電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動等運動（圖52）。 2.性質(zhì)：剛體中始終保持不動的直線就是轉(zhuǎn)軸。剛體上軸以外的質(zhì)點繞軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動平面與軸垂直且為圓周，圓心在軸上。轉(zhuǎn)動時，軸外各點在同一時間間隔內(nèi)，走過的弧長雖不同，但角位移都一樣。和轉(zhuǎn)軸相平行的線上各質(zhì)點的運動情況完全一樣。 圖53 剛體的定軸轉(zhuǎn)動分析 3.自由度：1個。定軸轉(zhuǎn)動剛體的自由度就是剛體轉(zhuǎn)動時的角位置坐標(biāo)。如圖所示（圖53）：建立O-xyz系，z軸與轉(zhuǎn)軸重合，轉(zhuǎn)軸上一點確定為坐標(biāo)原點O，如果剛體不轉(zhuǎn)動，則在此坐標(biāo)系中剛體各質(zhì)點的位置就確定了。當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動時，截取剛體一個剖面O-xy平面（其余平面都與該平面平行），除O點外，再選剛體上任一點A，A的位置變化可用OA與x軸的夾角的增量來確定，剛體中任一質(zhì)點的位置變化都可用來確定。確定了剛體中任一質(zhì)點的位置，確定了剛體在轉(zhuǎn)動時的整體位置，此角稱為繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的角位置坐標(biāo)。角的正負規(guī)定：定軸轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動的方向和z 軸成右手螺旋時，角為正，否則角為負。4轉(zhuǎn)動平面：垂直于轉(zhuǎn)軸的平面。例如上面提到的O-xy平面（及其平行面）。在剛體轉(zhuǎn)動分析中，要用到轉(zhuǎn)動平面。研究剛體的整體轉(zhuǎn)動規(guī)律，往往是對剛體中每個質(zhì)點的運動分析綜合得到的。而剛體轉(zhuǎn)動時，每個質(zhì)點都有在轉(zhuǎn)動平面上做圓周運動。5剛體定軸轉(zhuǎn)動描述的兩套物理量：角量和線量。（1）角量描述：適用于對剛體整體轉(zhuǎn)動描述的需要。1）角位移：定軸轉(zhuǎn)動剛體在時間內(nèi)角坐標(biāo)的增量 。任意質(zhì)點的角位移是相同的是一整體運動的量。面對z 軸觀察：逆時針轉(zhuǎn)動，；反之，。2）角速度： （51）面對z 軸觀察：逆時針轉(zhuǎn)動，；反之，。3）角加速度： （52）加速轉(zhuǎn)動，與同號；，反之，。 圖54 加速轉(zhuǎn)動 圖55 減速轉(zhuǎn)動（2）線量描述：適用于對剛體中某質(zhì)點mi運動描述的需要，常用的線量為：1）位置矢量，2）瞬時速度，3）瞬時加速度。（3）角量和線量的關(guān)系：剛體中質(zhì)點運動線量與整個剛體角量之間是可以互相轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換在推導(dǎo)剛體整體運動規(guī)律特別重要?，F(xiàn)考察剛體轉(zhuǎn)動平面上任一質(zhì)點（圖56），其質(zhì)量為mi，轉(zhuǎn)動半徑為，則有如下變換關(guān)系：1）質(zhì)點mi線速率與剛體角速度的關(guān)系： （53）2）質(zhì)點mi法向加速度與剛體角速度的關(guān)系： （54）3）質(zhì)點mi切向加速度與剛體角加速度的關(guān)系： （55）圖56 角量與線量的關(guān)系三、剛體的平面運動1.定義：剛體上各點均在平面內(nèi)運動，且這些平面與一固定平面平行，剛體的轉(zhuǎn)軸始終與這些平面垂直。例如手榴彈在空中翻轉(zhuǎn)飛行、車輪在地面向前滾動、黑板擦擦黑板的運動等。2.性質(zhì)：剛體上垂直于固定平面的任意直線上各點具有完全相同的運動狀況。剛體的平面運動可看成是剛體的平動與剛體定軸轉(zhuǎn)動的疊加。3.自由度：3個。因為：由平面運動的特點，可用與固定平面平行的剛體的任一剖面（截面）來研究，此截面位置一經(jīng)確定，剛體的位置便確定了。通常選擇此平面內(nèi)剛體上某點的位置坐標(biāo)（x，y）和繞過該點軸旋轉(zhuǎn)的角度來描述剛體的位置。 四、剛體的一般運動剛體的一般運動可以看成是剛體的平動與剛體的非定軸轉(zhuǎn)動的疊加。例如陀螺在地面上的轉(zhuǎn)動（圖57），一方面陀螺繞自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，一方面陀螺的自轉(zhuǎn)軸在空間的位置和取向也在不斷變化。剛體的一般運動（圖58）的自由度為6個：確定剛體質(zhì)心位置的3個坐標(biāo)（x，y，z），確定通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的空間取向2個坐標(biāo)（，），確定剛體相對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度1個坐標(biāo)（）。 圖57 陀螺的運動 圖58 剛體的一般運動本章只研究剛體的平動、定軸轉(zhuǎn)動、平面運動。第二節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動一、力矩剛體是怎樣由靜止的狀態(tài)變?yōu)槔@固定軸轉(zhuǎn)動的？換句話說剛體的轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)的改變與什么物理量有關(guān)？通過實踐可以發(fā)現(xiàn)，這個物理量不僅與力有關(guān)，還和力的作用點以及力的方向有關(guān)。這個物理量就是外界施加在剛體上的相對于固定軸的力矩，正是在力矩的作用下剛體繞定軸可以越轉(zhuǎn)越快或越轉(zhuǎn)越慢。 圖59 剛體受到的外力矩作用如圖59考察繞固定Z軸轉(zhuǎn)動剛體中的一個轉(zhuǎn)動平面，設(shè)有一個外力F作用在P點，F(xiàn)不一定落在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，這個力相對于Z軸的力矩等于什么呢？按照力矩的定義： （56）為轉(zhuǎn)軸到力點的位置矢量，也是力點做圓周運動的轉(zhuǎn)動半徑矢量。這個力矩是不是都會改變剛體相對Z軸的轉(zhuǎn)動呢？下面進一步分析：將力F分解為平行于軸的分力F1和垂直于軸的分力F2 ，F(xiàn)1產(chǎn)生的力矩不會影響剛體繞Z軸的轉(zhuǎn)動，只有F2產(chǎn)生的力矩才會改變剛體繞Z軸的轉(zhuǎn)動。也就是外力矩與定軸方向相同或相反就會使靜止剛體繞軸逆（順）時針方向轉(zhuǎn)動，外力矩與定軸方向垂直靜止剛體不動?？衫@定軸轉(zhuǎn)動的力矩分量： （57） 大小為： （58）在剛體定軸轉(zhuǎn)動計算力矩時，只需考慮外力平行于轉(zhuǎn)動平面的分量，外力垂直于轉(zhuǎn)動平面的分量不用考慮。在下面的轉(zhuǎn)動定律推導(dǎo)中就是這樣處理的。二、定軸轉(zhuǎn)動定律 圖510 力矩與剛體轉(zhuǎn)動的關(guān)系相對于轉(zhuǎn)軸的外力矩會改變剛體的定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)，剛體可以從靜止到轉(zhuǎn)動或從轉(zhuǎn)動到靜止。究竟在外力矩的作用下剛體轉(zhuǎn)動的規(guī)律是怎樣的呢？下面開始進行研究，研究的出發(fā)點是剛體中的一個任意的質(zhì)點。如圖510，剛體轉(zhuǎn)動平面中任意一點P點，P點是一個質(zhì)點，設(shè)其質(zhì)量為，所受外力和內(nèi)力分別為、，其加速度為。如前所述、是外力和內(nèi)力落在轉(zhuǎn)動平面上的分量，由于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)點只能在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)運動，其所受外力和內(nèi)力垂直于轉(zhuǎn)動平面分量的總和一定為零。據(jù)此質(zhì)點滿足的動力學(xué)方程： （59）動力學(xué)法向分量方程： （510） 其中有線量和角量轉(zhuǎn)換關(guān)系：動力學(xué)切向分量方程： （511）其中有線量和角量轉(zhuǎn)換關(guān)系：切向分量方程兩端乘，得到力矩方程： （512）對剛體中所有質(zhì)點都列出相應(yīng)力矩方程然后求和得： （513）因為內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，大小相等方向相反，其相對定軸的合力矩為零： （514）得： （515） （516）令，稱為剛體繞該定軸的轉(zhuǎn)動慣量。剛體定軸轉(zhuǎn)動定律： （517）剛體定軸轉(zhuǎn)動定律表述：剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。現(xiàn)在我們找出了合外力矩對剛體定軸轉(zhuǎn)動作用的運動規(guī)律。注意：（1）轉(zhuǎn)動定律是瞬時關(guān)系，式中各量都是狀態(tài)量，代表了該時刻剛體的運動狀態(tài)。（2）式中各量都是相對量，相對某轉(zhuǎn)軸的。在式中必須將所有各量統(tǒng)一到相對同一轉(zhuǎn)軸。（3）式中M為外力矩的矢量和。（4）式中為剛體的轉(zhuǎn)動慣量，代表在轉(zhuǎn)動中剛體的慣性大小。三、轉(zhuǎn)動慣量及計算1. 定義剛體繞給定軸的轉(zhuǎn)動慣量J等于剛體中每個質(zhì)元的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積之總和。 （518）它與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也就是說，它只與繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體本身的性質(zhì)和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。注意：（1）轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸有關(guān)。同樣一個剛體，對不同的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量不同。（2）轉(zhuǎn)動慣量與剛體質(zhì)量的分布有關(guān)。在相同質(zhì)量情況下，質(zhì)量分布離轉(zhuǎn)軸越近轉(zhuǎn)動慣量越小，越遠轉(zhuǎn)動慣量越大。（3）轉(zhuǎn)動慣量也與質(zhì)量有關(guān)。在剛體的形狀和質(zhì)量分布形式一樣，并且相對同一轉(zhuǎn)軸，剛體質(zhì)量越大剛體轉(zhuǎn)動慣量越大。2. 物理意義轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動中的慣性大小的物理量。3. 單位：4. 轉(zhuǎn)動慣量的計算 如果剛體上的質(zhì)點是離散或連續(xù)分布的，則其轉(zhuǎn)動慣量可以用求和和積分進行計算，如果剛體的幾何形狀是不規(guī)則的，則其轉(zhuǎn)動慣量可由實驗測定得到。（1）離散分布計算：剛體的質(zhì)量是離散分布的，質(zhì)量為的質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動半徑為，則整個剛體的轉(zhuǎn)動慣量： （519）（2）連續(xù)分布計算： 剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，將剛體分割為一個個質(zhì)量微元，每個質(zhì)量微元可看成質(zhì)點，質(zhì)量為，其到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動半徑為，則整個剛體的轉(zhuǎn)動慣量就是每個質(zhì)量微元的轉(zhuǎn)動慣量的積分： （520）1)當(dāng)剛體的質(zhì)量是線分布，質(zhì)量微元分布在線段微元上，為質(zhì)量線密度，即為單位長度上的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動慣量為： （521）2) 當(dāng)剛體的質(zhì)量是面分布，質(zhì)量微元分布在面積微元上，為質(zhì)量面密度，即為單位面積上的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動慣量為： （522）3) 當(dāng)剛體的質(zhì)量是體分布，質(zhì)量微元分布在體積微元上，為質(zhì)量體密度，即為單位體積上的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動慣量為： （523）5.回轉(zhuǎn)半徑 圖511 回轉(zhuǎn)半徑一個實際剛體的轉(zhuǎn)動慣量，可用一個等效剛體的轉(zhuǎn)動慣量來表示。這個剛體可看成是所有的質(zhì)量集中在距轉(zhuǎn)軸為的地方，稱為該剛體的回轉(zhuǎn)半徑（圖511）?；剞D(zhuǎn)半徑可用來形象了解一個剛體的轉(zhuǎn)動慣量。根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，回轉(zhuǎn)半徑為： （524）式中為剛體的總質(zhì)量。6.平行軸定理 圖512 平行軸定理 除了可用上述的方法計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量，還可以利用已知的繞某軸的轉(zhuǎn)動慣量來計算同一剛體繞其它軸的轉(zhuǎn)動慣量。如圖512，設(shè)質(zhì)量為m的剛體繞過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，將轉(zhuǎn)軸朝任一方向平移一個距離d，則繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量為： （525）由此可知：剛體對各平行軸的不同轉(zhuǎn)動慣量中，對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。7.垂直軸定理 圖513 垂直軸定理無窮小厚度的薄板對一與它垂直的坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于薄板對板面內(nèi)另兩互相垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量之和（圖513）。 （526）垂直軸定理適用條件：x、y、z軸過同一點，且互相垂直，z軸垂直于板面x、y軸在板面內(nèi)。 8.幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量（1）圓環(huán) （2）圓盤（3）細棒 （4）細棒（5）球體例5-1 如圖（例51圖）半圓形勻質(zhì)細桿，半徑為，質(zhì)量為，過圓心和圓弧中點，試求細桿對軸的轉(zhuǎn)動慣量。 例51圖解 在細桿上選一質(zhì)量微元： 質(zhì)量微元到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動半徑：整個剛體的轉(zhuǎn)動慣量：例52 有一質(zhì)量為長為的勻質(zhì)細桿，求：對過質(zhì)心與桿垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。對過一端且平行的軸轉(zhuǎn)動慣量。 例52（a）圖解：建立如圖（例52圖）坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點建立在細桿的中心，選長度為質(zhì)量為的質(zhì)量微元，質(zhì)量微元到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動半徑為x，則剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量： 例52（b）圖建立如圖（例52（b）圖）坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點建立在細桿的左端點，選長度為質(zhì)量為的質(zhì)量微元，質(zhì)量微元到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動半徑為x，則剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量：另解：運用平行軸定理，。例53 一定滑輪質(zhì)量為M 、半徑為 R，轉(zhuǎn)動慣量為，軸的摩擦可忽略（例53圖）。求用輕繩繞在定滑輪上質(zhì)量為m的物體由靜止開始下落過程中，下落速度與時間的關(guān)系。繩與定滑輪邊沿沒有相對滑動。例53圖解 對物體m采用隔離物體受力分析，設(shè)物體受繩子向上的拉力T和自身的重力作用，加速度為a，其動力學(xué)方程為： 對定滑輪M進行運動分析，M在外力矩TR的作用下，產(chǎn)生角加速度，其所滿足的轉(zhuǎn)動定律為： 又因為定滑輪邊沿繩子的線加速度與定滑輪角加速度的關(guān)系： 已知的定滑輪轉(zhuǎn)動慣量： 解得物體m的線加速度：由物體初速度，得物體下落速度與時間的關(guān)系：例54 如圖（例54圖（a）物體放在光滑桌面上，用輕繩繞過質(zhì)量為的定滑輪與質(zhì)量為的物體連接。定滑輪半徑為R，繩與滑輪無相對滑動，不計軸處摩擦。初始時刻所有物體和定滑輪靜止，然后物體開始下落。求下落過程中的加速度，AC、BC間繩的張力。例54（a）圖 例54（b）圖解 隔離物體受力分析(例54（b）圖)，對有： 為所受繩子的張力，為的加速度。對有： 為所受繩子的張力，為的加速度，與的加速度相同。定滑輪滿足轉(zhuǎn)動定律： 式中為定滑輪的角加速度。AC段繩子作用在定滑輪上的作用力為： BC段繩子作用在定滑輪上的作用力為： 由于繩與滑輪無相對滑動有： 聯(lián)立上面各式，解得下落的加速度： AC間繩子的張力為：BC間繩子的張力為：例55 如圖所示（例55圖）為測量不規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動慣量的實驗裝置，裝置軸體半徑為，重物質(zhì)量為，置于軸體頂部的托盤上。軸體及托盤的轉(zhuǎn)動慣量為，一質(zhì)量為的重物通過輕質(zhì)繩子繞在軸體上并經(jīng)過定滑輪下垂。初始物體靜止，然后在重力作用下下落，并帶動軸體和不規(guī)則剛體一起轉(zhuǎn)動，設(shè)經(jīng)過時間，重物下落高度，求不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動慣量。不規(guī)則剛體與托盤間沒有相對滑動，繩與軸體間沒有相對滑動，不計軸承摩擦，不計定滑輪和輕繩的質(zhì)量。 例55圖解 軸體托盤及不規(guī)則剛體，在轉(zhuǎn)動中可看成是一個等效剛體。根據(jù)轉(zhuǎn)動定律有：式中為繩子作用在軸體邊沿的力，也就是等效剛體所受的合外力矩，為等效剛體轉(zhuǎn)動的角加速度。對于重物m：式中為重物所受繩子向上的張力，為重物的加速度。根據(jù)定滑輪的轉(zhuǎn)動定律，同時忽略定滑輪的質(zhì)量，因此有： 因為繩與軸體間沒有相對滑動，線量與角量的關(guān)系為：聯(lián)立上面四式解得： 由解可知重物加速度為常數(shù)，因此重物在做勻加速運動，并滿足題目所給條件： 解得： 將結(jié)果代入得不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動慣量為： 實驗裝置就是通過測量重物下落高度和時間計算出不規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動慣量的。例56 如圖（例56圖）一質(zhì)量為M、半徑為r的圓盤，通過在盤心并垂直于盤的光滑軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m，長為的勻質(zhì)柔軟繩索掛在盤上，繩與圓盤間無相對滑動，由于圓盤兩邊垂掛的繩長度不一樣，所受重力不一樣，會帶動盤的轉(zhuǎn)動。試求當(dāng)兩側(cè)繩長之差為s時，繩的加速度的大小。 例56圖解 建立如圖（例56圖）坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點在盤心。設(shè)任一時刻繩長分別為、，單位長度質(zhì)量為。對段繩子，列動力學(xué)方程，各量向上為正：式中為盤作用于這段繩子的力，為這段繩子的線加速率。對段繩子，列動力學(xué)方程，各量向下為正： 式中為盤作用于這段繩子的力，為這段繩子的線加速率。對圓盤，列轉(zhuǎn)動定律： 式中是圓盤和某時刻附著在圓盤上的繩子組成的剛體的轉(zhuǎn)動慣量，為圓盤的角加速度。根據(jù)角量和線量的關(guān)系： 繩長為： 圓盤外兩邊垂掛繩長之差：聯(lián)立上面各式得：第三節(jié) 力矩的功 轉(zhuǎn)動動能 上一節(jié)研究了剛體在某個瞬間受到外力矩的作用，轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變的運動規(guī)律，這一節(jié)將用另一視角研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動。運用這個視角就是要考察剛體在某個過程中，受外力矩對剛體的持續(xù)空間作用，剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)究竟發(fā)生了什么樣的變化。一、力矩的功 圖514 外力矩對剛體轉(zhuǎn)動做功首先考察外力矩對剛體轉(zhuǎn)動的持續(xù)作用，這個作用就是外力矩在對剛體轉(zhuǎn)動做功。設(shè)剛體某轉(zhuǎn)動平面，有一外力F（實際是外力落在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量，對定軸轉(zhuǎn)動合外力垂直分量一定為零）作用在P點，在外力F的作用下剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動，經(jīng)歷了dt時間，力點產(chǎn)生了位移ds，則F所做的功為： （527）式中r為轉(zhuǎn)軸到力點的轉(zhuǎn)動半徑。 （528）由該式得到：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角位移時，外力對位移的積累作用等效于外力矩對角位移的積累作用。即在剛體定軸轉(zhuǎn)動問題中，外力做功等于力矩做功，力矩做功就是力矩對角位移的積累。注意式中應(yīng)是合外力矩，在上面推導(dǎo)中，是只有一個外力的情況。一般情況下可能是有多個外力，這時應(yīng)先求出每一個力的力矩，再求出合外力矩。如果剛體在力矩M的作用下繞固定軸從位置q1轉(zhuǎn)到q2 , 在此過程中力矩所作的功為： （529）注意：（1）若上式中力矩為恒量，力矩做的功為：；即恒力矩做的功等于力矩與角位移的乘積。 （2）剛體內(nèi)部的內(nèi)力由于總是成對出現(xiàn)，大小相等方向相反，作用在一條直線上，因此內(nèi)力矩做功之和為零。 （3）力矩的功有正、負。當(dāng)力矩與角速度同向時，力矩的功為正；反之為負。二、力矩的功率力矩的平均功率可以表示為： （530）力矩的瞬時功率可以表示為： （531）式中w是剛體繞轉(zhuǎn)軸的角速度。 三、轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能應(yīng)該是組成剛體的各個質(zhì)點的動能之和。設(shè)剛體中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為，速度為，則該質(zhì)點的動能為：。剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點的角速度w相同。設(shè)質(zhì)點離軸的垂直距離為，則它的線速度，因此整個剛體的動能為： （532） 式中為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動慣量。注意：（1）剛體的轉(zhuǎn)動動能是狀態(tài)量。（2）剛體的轉(zhuǎn)動動能是相對量，與剛體所繞的定軸有關(guān)。（3）剛體的轉(zhuǎn)動動能代表剛體在該狀態(tài)下做功的能力。（4）剛體轉(zhuǎn)動動能是剛體定軸轉(zhuǎn)動時剛體內(nèi)所有質(zhì)點的動能之和。四、剛體轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動中合外力矩所做的功對剛體運動狀態(tài)會產(chǎn)生什么樣的影響呢？合外力矩所做的功為： （533）根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，（533）式變?yōu)椋?（534）即： （535）這就是剛體轉(zhuǎn)動動能定理。其表述為：合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。注意：（1）轉(zhuǎn)動動能定理式是過程方程。（2）由此方程式可方便的運用轉(zhuǎn)動動能狀態(tài)量的增量去求解過程量功。例57 一飛輪轉(zhuǎn)動慣量為J，現(xiàn)有一制動力矩M=-k作用在其上，使得飛輪的轉(zhuǎn)動角速度由0減小到0/2（例57圖），問在此過程中所需的時間和制動力矩所做功各是多少？例57圖解 根據(jù)轉(zhuǎn)動動能定理，制動力矩所做的功等于飛輪轉(zhuǎn)動動能的增量。計算可得制動力矩所做功為：運用轉(zhuǎn)動定律： 兩邊分別積分：得此過程所用時間為：第四節(jié) 質(zhì)心與質(zhì)心運動定律 剛體雖然是一個剛性的整體，但可看成是許多質(zhì)點的集合。為了研究剛體的勢能，以及剛體的平動等問題，我們需要找到一個能代表剛體整體運動的點，這個點的運動規(guī)律與剛體所受外界對它的作用（如合外力）和整個剛體質(zhì)量有關(guān)。這個點就是剛體的質(zhì)心，有了質(zhì)心之后，求解剛體的問題就可以變得簡單。我們可以將剛體的運動分解為整個跟隨質(zhì)心所做的平動相對于通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的剛體轉(zhuǎn)動。剛體的機械能也可以分解為平動動能轉(zhuǎn)動動能與質(zhì)心有關(guān)的勢能。當(dāng)然本節(jié)所計算出的質(zhì)心和質(zhì)心運動規(guī)律不僅適用于一、質(zhì)心如果考察剛體或質(zhì)點系中每個質(zhì)點的運動會很復(fù)雜，為了簡化運動的分析研究，我們定義剛體或質(zhì)點系的質(zhì)心滿足運動定律： （536）式中為剛體或質(zhì)點系所受合外力，為剛體或質(zhì)點系的質(zhì)量，為質(zhì)心的瞬時加速度。注意：（1）質(zhì)心的運動可以代表剛體的平動，因為剛體平動時剛體上各點的運動規(guī)律相同。（2）用合外力和整個質(zhì)點系的質(zhì)量來得到質(zhì)心的加速度是比較方便的，因為在前面的機械運動研究中我們一直用的是這種方法。（3）質(zhì)心的概念是把整個剛體或質(zhì)點系看成為一個等效的質(zhì)點，整個剛體或質(zhì)點系的質(zhì)量集中在這個質(zhì)點上，所有的合外力也作用在這個質(zhì)點上。（4）由定義和后面的研究可以得到質(zhì)心實際上就是剛體或質(zhì)點系的質(zhì)量中心。在質(zhì)量均勻分布的剛體或質(zhì)點系中，質(zhì)心就是幾何對稱中心。二、質(zhì)心坐標(biāo)1兩小球剛體的質(zhì)心 圖515 兩小球剛體質(zhì)心的測定 由上面的質(zhì)心要求，即所有質(zhì)量、所有外力集中在該點，剛體產(chǎn)生平動。那么我們可以通過實驗來研究剛體質(zhì)量分布與坐標(biāo)的關(guān)系，從而得到剛體的質(zhì)心位置坐標(biāo)。如圖515所示實驗裝置，兩小球可看成兩質(zhì)點，用剛性輕質(zhì)細桿連接，細桿質(zhì)量可忽略。將此剛體放在光滑的水平面上，建立oxy坐標(biāo)系，質(zhì)量為的小球坐標(biāo)為（，），質(zhì)量為的小球坐標(biāo)為（，）。實驗中用棒擊打剛體的輕質(zhì)細棒部分，可以發(fā)現(xiàn)打在任意位置剛體都有平動和轉(zhuǎn)動，只有打在C點（坐標(biāo)為，），剛體只有平動沒有轉(zhuǎn)動，根據(jù)質(zhì)心的要求，該點就是質(zhì)心。下面通過實驗數(shù)據(jù)得到質(zhì)心的坐標(biāo)與剛體質(zhì)量分布和坐標(biāo)的關(guān)系。由實驗測量，可得質(zhì)心到小球的距離與質(zhì)心到小球的距離的比值為： （537）即距離與質(zhì)量成反比的關(guān)系，質(zhì)心的坐標(biāo)靠近質(zhì)量大的小球。由剛體的幾何形狀，構(gòu)造出質(zhì)心和兩小球組成的的兩個相似三角形，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的關(guān)系，將式子中的距離之比變?yōu)樾∏蚝唾|(zhì)心坐標(biāo)之比： （538）由上兩式得質(zhì)心坐標(biāo)為： （539） （540） 由計算結(jié)果可以看出兩小球的質(zhì)量起到了坐標(biāo)權(quán)重的作用，即質(zhì)量越大的小球坐標(biāo)對質(zhì)心的坐標(biāo)影響越大，質(zhì)心靠近質(zhì)量大的小球，遠離質(zhì)量小的小球。2離散質(zhì)點系的質(zhì)心 圖516 質(zhì)點系的質(zhì)心將兩小球的計算方法推廣到n個離散質(zhì)點組成的剛體或質(zhì)點系中，設(shè)質(zhì)點系各質(zhì)點質(zhì)量m1、 m2、 mi、 mn，它們的位矢r1、 r2、 ri、 rn （圖516）。則質(zhì)心位置矢量為： （541）式中。質(zhì)心位置坐標(biāo)為： （542） （543） （544）3連續(xù)分布物體的質(zhì)心 圖517 連續(xù)分布物體的質(zhì)心將質(zhì)量連續(xù)分布的物體（包括剛體）分割為一個個質(zhì)量微元，其中任一質(zhì)量微元的質(zhì)量為，位置矢量為（圖517），則其質(zhì)心位置矢量為： （545）式中為物體或剛體的總質(zhì)量。質(zhì)心坐標(biāo)為： （546） （547） （548）注意：（1）質(zhì)量均勻?qū)ΨQ分布剛體的質(zhì)心就是它的幾何對稱中心。（2）質(zhì)心、重心是兩個不同的概念，但物體不太大時，質(zhì)心和重心位置重合。（3）當(dāng)以質(zhì)心為參照系時，質(zhì)點系總動量為零。（4）一個運動的質(zhì)點系或剛體，其質(zhì)心坐標(biāo)是隨時間發(fā)生改變的。對于剛體來說，質(zhì)心相對于剛體中各質(zhì)點的位置是確定的，該位置不因坐標(biāo)系的不同選擇而不同。對于任意質(zhì)點系來說，在某一時刻質(zhì)心相對各質(zhì)點的位置是確定的，不因坐標(biāo)系的選擇而改變。（5）在前面質(zhì)點系動量守恒定律例子中，質(zhì)點系各個質(zhì)點的位置在運動過程中發(fā)生改變，但系統(tǒng)的質(zhì)心位置不變。例58 如圖（例58圖），在光滑水平面上，有一質(zhì)量為長為的小車，質(zhì)量為的人站在車上，起初人和車均靜止，當(dāng)人從車一端走到另一端時，求人和車相對地面走過的距離是多少？例58圖解 人車所受合外力為零，系統(tǒng)質(zhì)心靜止，現(xiàn)在仍靜止。設(shè)質(zhì)心為坐標(biāo)原點，將人和車看成兩質(zhì)點，為人在該過程中相對地面走過的長度，為車在該過程中相對地面走過的長度。則人走動后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)仍為0：再由幾何關(guān)系可得：計算結(jié)果與動量守恒定律計算方法一樣。對于坐標(biāo)原點建立在質(zhì)心處，有，利用該式可證明剛體轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理。例59 求腰長為a的等腰直角三角形均勻薄板質(zhì)心的位置坐標(biāo)（例59圖）。 例59圖解 如圖（例59圖）建立坐標(biāo)系，y軸將直角等分。由對稱性可知，下面只要求。上面腰的直線方程為：。在薄板上任意選擇一個面積微元，微元上每一點的水平坐標(biāo)值都為x，微元的面積為： 設(shè)薄板質(zhì)量面密度為，則微元質(zhì)量為： 整個薄板的水平質(zhì)心坐標(biāo)為：例510 求半徑為a的均質(zhì)半圓球的質(zhì)心（例510圖）。 例510圖解 常用的方法是對稱法，質(zhì)點在對稱面，對稱軸，對稱中心等上。如圖建立坐標(biāo)系o-xyz，則C在z軸上，取質(zhì)量元為如圖所示（例510圖）的薄圓板，厚度為dz，由于，則例511 求兩圓和之間均勻薄片質(zhì)心（例511圖）。 例511圖解 由對稱性xc0 三、質(zhì)心運動定律按照實驗方法得到的剛體質(zhì)心坐標(biāo)，是否符合剛體或質(zhì)點系質(zhì)心應(yīng)滿足的條件呢？下面就要進行證明：對由實驗得到的質(zhì)心坐標(biāo)求導(dǎo)數(shù)得： 得質(zhì)心的速度： （549）兩邊再求導(dǎo)數(shù)，得質(zhì)心的加速度： （550） 得質(zhì)心運動定律： （551） 實驗得到的質(zhì)心坐標(biāo)與質(zhì)心應(yīng)滿足的條件完全符合。 剛體平動時，剛體上任意一點的運動狀況都是相同的，故可以選擇質(zhì)心的運動來描述剛體的運動狀態(tài)，所以，剛體平動時的動力學(xué)方程就是質(zhì)心運動定律。質(zhì)點系質(zhì)心的運動與這樣一個質(zhì)點的運動具有相同的規(guī)律，該質(zhì)點的質(zhì)量等于質(zhì)點系的總質(zhì)量，作用于該質(zhì)點的力等于作用于質(zhì)點系的外力的矢量和。這個結(jié)論稱為質(zhì)心運動定律。第五節(jié) 剛體的功和能 圖518 剛體的重力勢能 有了剛體質(zhì)心的概念之后，我們就可以得到剛體的重力勢能、平動動能等，就可以運用功和能的關(guān)系研究剛體的機械運動過程。1.剛體的重力勢能剛體的重力勢能是組成剛體的各個質(zhì)點重力勢能之和，即 （552）即剛體的重力勢能相當(dāng)于質(zhì)量集中在剛體質(zhì)心的重力勢能（圖518）。2.剛體系統(tǒng)機械能在機械運動過程中剛體系統(tǒng)所具有的機械能包括各剛體的平動動能、轉(zhuǎn)動動能、重力勢能、其它的勢能。具體形式為： （553）3.剛體系統(tǒng)功能原理 剛體系統(tǒng)是質(zhì)點系統(tǒng)中的一種，所以根據(jù)質(zhì)點系功能原理，剛體系統(tǒng)的功能原理： （554） 為剛體系統(tǒng)所受合外力做的功，為剛體系統(tǒng)非保守內(nèi)力所做的功，為剛體系統(tǒng)的機械能增量。4.剛體系統(tǒng)機械能守恒定律當(dāng)剛體系統(tǒng)所受合外力做功和非保守內(nèi)力做功為零時，即 ，剛體系統(tǒng)機械能守恒： （555） 我們可以運用剛體系統(tǒng)功和能的計算，研究剛體系統(tǒng)的有關(guān)機械運動過程。例512 如圖（例512圖）一長為質(zhì)量為的均勻細棒，可繞水平光滑軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，離棒的端點的距離為，棒從水平靜止的狀態(tài)開始轉(zhuǎn)動，求棒轉(zhuǎn)到豎直位置時點的速度。例512圖解 OC的長度為： 選擇棒和地球組成剛體系統(tǒng)，在棒轉(zhuǎn)動的過程中，外力做功為零，非保守內(nèi)力做功也為零，因此剛體系統(tǒng)的機械能守恒，棒水平位置時的機械能等于棒豎直位置的機械能。重力勢能零點選在棒豎直位置時的C點，J是剛體繞O軸的轉(zhuǎn)動慣量。有：根據(jù)平行軸定理： 剛體轉(zhuǎn)到豎直位置時的角速度為。 A的速度為：例513 A、B兩盤無摩擦轉(zhuǎn)動（例513圖）。繩與圓盤間無相對滑動。已知 A、B半徑分別為R1，R2，A、B、C質(zhì)量分別為m1，m2，m，求：重物C由靜止下降h時的速度v。 例513圖解 選擇A、B、C和地球組成剛體系統(tǒng)，在重物C下落的過程中，外力做功為零非保守內(nèi)力做功為零，系統(tǒng)機械能守恒： 即重物下落前系統(tǒng)的機械能等于重物下落h后系統(tǒng)的機械能。重物下落的速度就是A、B圓盤邊沿繩的速度。繩的速度與A、B圓盤轉(zhuǎn)動角速度和滿足線量和角量的轉(zhuǎn)換關(guān)系： A、B圓盤的轉(zhuǎn)動分別為： 重物下落的速度為：例514 如圖（例514圖）一輕質(zhì)彈簧的彈性系數(shù)為，連接了一勻質(zhì)細桿，桿長為，質(zhì)量為。桿可繞C點在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動。若當(dāng)時彈簧為原長，此時細桿至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？ 例514圖解 取彈簧、細桿、地球為系統(tǒng)，外力做功為零，非保守內(nèi)力做功為零，系統(tǒng)機械能守恒： 即細桿豎直時的重力勢能轉(zhuǎn)動動能細桿水平時的彈性勢能。將，。，代入得細桿轉(zhuǎn)動角速度為：第六節(jié) 剛體的平面運動在剛體的一般運動中有一種比較簡單常見的運動，就是剛體的平面運動。剛體的平面運動的特點是：剛體質(zhì)心被限制在一個平面內(nèi)，剛體繞通過質(zhì)心并與平面垂直的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。如車輪在地面上的滾動、手榴彈在空中翻滾飛行等都是剛體的平面運動。運用剛體運動的合成與分解方法，剛體平面運動可表示為：剛體平面運動跟隨質(zhì)心的平動繞通過質(zhì)心垂直平面軸的轉(zhuǎn)動基于剛體平面運動的構(gòu)成，我們可以采用“動力學(xué)輔助條件”的方法研究其運動問題。當(dāng)然也可以用功和能等其它方法來研究。1.平動在剛體平面運動中，剛體的平動就是剛體跟隨質(zhì)心所做的運動。因此剛體的平動運動規(guī)律就是剛體的質(zhì)心運動定律： （556） 式中為剛體所受合外力，為整個剛體質(zhì)量，為剛體質(zhì)心加速度。在直角坐標(biāo)系中： （557） （558） 、為剛體在x、y方向所受合外力，、為剛體質(zhì)心在x、y方向的瞬時加速度。2.轉(zhuǎn)動 剛體平面運動中的轉(zhuǎn)動就是剛體繞通過質(zhì)心垂直于質(zhì)心運動平面的轉(zhuǎn)軸所做的定軸轉(zhuǎn)動，因此該運動滿足剛體定軸轉(zhuǎn)動定律。 （559） 式中為剛體所受相對與通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的合外力矩，為剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，為剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的角加速度。3.純滾動條件（無滑滾動）在剛體平面運動中，除了剛體滿足上面平動和轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程外，常常還會滿足剛體純滾動的條件。在滿足純滾動條件下，剛體做平面運動時又平動又滾動，剛體平動質(zhì)心的加速度與剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的角加速度以及圓盤、圓柱、圓球一類剛體的半徑之間滿足角量和線量的轉(zhuǎn)換關(guān)系： （560） 圖519 車輪的純滾動例如半徑為R的車輪在地面上做純滾動，在滾動的過程中車輪與地面間無相對滑動，車輪質(zhì)心的加速度為，車輪繞通過輪心C的轉(zhuǎn)動角加速度為（圖519）。通過運動分析可以得到：由于車輪純滾動，車輪質(zhì)心單位時間內(nèi)運動的長度等于車輪邊沿一點繞軸做圓周運動轉(zhuǎn)過的弧長，所以質(zhì)心切向運動規(guī)律與繞軸做圓周運動車輪邊沿一點切向運動規(guī)律相同，兩者的切向線加速度相同，。根據(jù)圓周運動角量和線量的轉(zhuǎn)換關(guān)系： （561） 從而有： （562）這就是純滾動條件。在該問題中我們是將車輪的運動分解為質(zhì)心的平動和繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動兩部分運動。其實該問題可以有另外一種運動分析：這個車輪的運動可看成繞通過車輪與地面的接觸點S垂直于輪面的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，該轉(zhuǎn)軸相對地面是靜止的，稱為瞬時軸。在此分析下剛體只有繞該軸的轉(zhuǎn)動，沒有其它的運動。可能這種運動分解，求解起來會比較困難?？傊畡傮w運動的分解可有多種方法，在問題中具體采用哪種方法，取決于求解問題是否簡單方便。在剛體平面運動中，一般就是通過這三組方程來求解相關(guān)問題，也可以根據(jù)問題在結(jié)合其它方法和其它輔助條件去求解。4.例題例515 如圖（例515圖）一質(zhì)量為的均勻細桿，桿長為，用兩根輕質(zhì)細繩A、B水平懸掛。問當(dāng)繩被剪斷的瞬間，繩上的張力有多大？ 例515圖解一：用平動轉(zhuǎn)動的運動分解法。本題是剛體平面運動問題。運動分解為兩部分：細桿跟隨質(zhì)心（桿的中心）的平動，細桿繞通過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動。設(shè)此時繩中張力為T，細桿質(zhì)心加速度為，滿足質(zhì)心運動定律： 以質(zhì)心C為軸，滿足轉(zhuǎn)動定律： 細桿質(zhì)心加速度與細桿B端點繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的角加速度滿足角量和線量的關(guān)系，類似純滾動條件，B相對地面不動，質(zhì)心相對地面的加速度為： 上面三式聯(lián)立求解，得繩子張力：解二：混合方法。對平動用細桿質(zhì)心C的運動定律，對轉(zhuǎn)動用細桿繞瞬時軸B的轉(zhuǎn)動定律。質(zhì)心運動定律： 繞B軸的轉(zhuǎn)動定律： 式中合外力相對B軸的力矩，為細桿繞B軸的轉(zhuǎn)動慣量。純滾動條件： 繩的張力： 計算結(jié)果與解一完全相同，說明剛體問題的計算方法不是唯一的，例516 一半徑為R，質(zhì)量均勻分布并為m的剛性小球，放在有摩擦的水平面上，在如圖所示（例516圖）的外力F作用下，作無滑動滾動，設(shè)力的作用線到質(zhì)心的垂直距離為d,求摩擦力f的大小方向。例516圖解 由于質(zhì)量均勻?qū)ΨQ分布，質(zhì)心就是球心?？梢耘袛嗍莿傮w平面運動，剛體質(zhì)心始終在平面內(nèi)運動，同時剛體又繞通過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。設(shè)質(zhì)心加速度為，方向水平向右。設(shè)小球在純滾動時受到的摩擦力為f，方向向左。摩擦力f的方向并不能由題意直接正確判斷，因此在不違反題意的情況下先設(shè)一個方向，此方向為參考正方向，實際方向與它相同，解出的f值為正的，否則為負的。小球滿足質(zhì)心運動定律：小球滿足繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動定律： 式中為小球所受合外力矩，是小球轉(zhuǎn)動慣量，等于轉(zhuǎn)動角加速度，是直接用角量轉(zhuǎn)換為線量代入的。解得小球所受摩擦力為：由計算結(jié)果可分析出：當(dāng)時，f方向向左。當(dāng)時，。 當(dāng)時，f方向向右。例517 一質(zhì)量為m、半徑為R的圓柱體，無滑動地從傾角為的斜坡上滾下（例517圖），求圓柱體質(zhì)心的加速度。 例517圖解 如圖（例517圖）沿斜坡建立坐標(biāo)系，圓柱體的質(zhì)心為幾何對稱中心，可判斷出圓柱體做平面運動。設(shè)為圓柱體受到的摩擦力，重力P在x軸上的投影為，圓柱體所滿足的質(zhì)心運動定律為：繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動定律： 無滑動的滾動就是純滾動，角量和線量變換滿足：上三式聯(lián)立解得圓柱體滾下時質(zhì)心加速度：例518 一輕質(zhì)細繩繞著A、B兩圓盤，繩與盤邊沿間無相對滑動。A盤半徑為，質(zhì)量為，可繞固定軸O轉(zhuǎn)動（例518a圖）。B盤半徑為，質(zhì)量為，求B下落時輪心C的加速度以及細繩的拉力。例518a圖 例518b圖解 建坐標(biāo)系，向下為正（例518b圖）。兩盤做平面運動，質(zhì)心都在盤心處。隔離物體，分別進行運動分析。對A盤，只有定軸轉(zhuǎn)動： 式中為繩子對A盤的拉力，為A盤所受合外力矩，為A盤角加速度。對B盤，有平動有轉(zhuǎn)動。所滿足的質(zhì)心運動定律：式中為繩子對B盤的拉力，為B盤的質(zhì)心加速度。B盤滿足的轉(zhuǎn)動定律： 式中為B盤所受合外力矩，為B盤角加速度。由純滾動條件得： ，式中為A盤邊沿相對O軸做圓周運動的切向加速度，為B盤邊沿相對C軸做圓周運動的切向加速度。另根據(jù)相對運動關(guān)系，B盤質(zhì)心相對地面的加速度等于： 兩段繩中的拉力相同：由上面式子可得B盤加速度： 繩子中的拉力：第七節(jié) 剛體的角動量 角動量守恒定律 在第四章中，我們研究了質(zhì)點的角動量問題。在那里我們考察了外力矩對時間的積累作用改變了質(zhì)點的角動量。在本節(jié)中我們要來研究合外力矩對剛體持續(xù)的作用，對剛體運動的影響。1.沖量矩首先考察的合外力矩對剛體的持續(xù)作用，即合外力矩對時間的積累作用或合外力矩對時間的積分。我們稱其為剛體受到的沖量矩：為剛體所受相對定軸的合外力矩。沖量矩對剛體的運動會產(chǎn)生怎樣的影響？根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：代入沖量矩的計算式： （563）通過計算我們得到：沖量矩的作用會改變剛體的狀態(tài)量。是什么狀態(tài)量呢？2.剛體對軸的角動量 圖520 剛體中任一質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體在做定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)每個質(zhì)點的都圍繞著轉(zhuǎn)軸做圓周運動，設(shè)第i個質(zhì)點的質(zhì)量為、圓周運動的線速度為、轉(zhuǎn)動半徑為、角動量的大小為，方向沿著轉(zhuǎn)軸，符合右手螺旋關(guān)系（圖520）。由于剛體每個質(zhì)點的角動量方向都相同，剛體質(zhì)點角動量的總和L為： （564）式中用到，剛體中每個質(zhì)點的角速度都相同，都等于剛體的角速度，將從每一項中提出來，剩下的部分就是剛體的轉(zhuǎn)動慣量?，F(xiàn)在清楚了：就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量。剛體的角動量： （565）注意：（1）剛體角動量是瞬時值。（2）剛體角動量是相對量，相對剛體轉(zhuǎn)動的定軸。3.剛體對軸的角動量定理通過上面的分析，沖量矩的作用是使得剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量變化。剛體對軸的角動量定理：在剛體定軸轉(zhuǎn)動過程中，剛體所受沖量矩等于這個過程剛體角動量的增量。積分形式： （566）注意：（1）剛體角動量定理是過程方程。 （2）方程中各量都是相對同一轉(zhuǎn)軸的。（3）角動量的增量與合外力矩方向相同。（4）可通過方程由狀態(tài)量求解相關(guān)過程量。（5）角動量定理對于非剛體也成立，其公式為：，是時刻質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量，是時刻質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量。微分形式： （567） （568） 可以看出微分形式，不僅適用于剛體，而且適用于非剛體的情況。是比剛體定軸轉(zhuǎn)動定律適用范圍更廣的自然定律。4. 剛體對軸的角動量守恒定律考察對軸的角動量定理的微分形式，當(dāng)剛體所受合外力矩為零時： 則得到剛體對軸的角動量守恒定律： （569） 定律表述：剛體在定軸轉(zhuǎn)動中，當(dāng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒是經(jīng)?？梢砸姷降?，如人手持啞鈴的轉(zhuǎn)動，芭蕾舞演員和花樣滑冰運動員作各種快速旋轉(zhuǎn)動作（圖521），都利用了對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律。 圖521 運動中的角動量守恒注意：（1）守恒條件是相對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零。 （2）剛體(不變)的角動量守恒。不變，故的大小，方向保持不變。如：直立旋轉(zhuǎn)的陀螺（圖522）。 圖522 直立旋轉(zhuǎn)的陀螺 （3）非剛體(可變)的角動量守恒。當(dāng)增大，就減小，當(dāng)減小，就增大。如：芭蕾舞、花樣滑冰、跳水中的轉(zhuǎn)動（圖523），恒星坍縮到中子星的形成等。圖523 跳水中的轉(zhuǎn)動（4）多個物體的角動量守恒。若系統(tǒng)由幾個物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對軸的