長江大學(xué)數(shù)學(xué)分析-下-定理

數(shù)項級數(shù)（級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則） 級數(shù)收斂的充要條件是：任給正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)以及對任意的正整數(shù)，都有定理：若級數(shù)與都收斂，則對任意的常數(shù)，級數(shù)亦收斂，且。定理：正項級數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界，即存在某正數(shù)，對一切正整數(shù)有（比較原則） 設(shè)與是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)，對一切都有 ，則（i）若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；（ii）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。 推論 設(shè) （1） （2）是兩個正項級數(shù)，若，則（i） 當(dāng)時，上述級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散；（ii） 當(dāng)且級數(shù)（2）收斂時，級數(shù)（1）也收斂；（iii） 當(dāng)且級數(shù)（2）收斂時，級數(shù)（1）發(fā)散。（達(dá)朗貝爾判別法，或稱比式判別法） 設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)（）（i） 若對一切，成立不等式則級數(shù)收斂（ii） 若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散。（柯西判別法，或稱根式判別法） 設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正數(shù)及正常數(shù)，（i） 若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂；（ii） 若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散。積分判別法定理12.9 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散。定理12.11 （萊布尼茨判別法） 若交錯級數(shù)滿足下述兩個條件：（i）數(shù)列單調(diào)遞減；（ii）。則交錯級數(shù)收斂。定理12.15（阿貝爾判別法）若為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂。定理12.16（狄利克雷判別法）若數(shù)列單調(diào)遞減，且，又級數(shù)的部分和有界，則級數(shù)收斂。函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)定理13.1（函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂的充要條件是：對任給正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時，對一切，都有。定理13.3（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂的充要條件是：對任給的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時，對一切和一切正整數(shù)，都有或。定理13.5（魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)函數(shù)項級數(shù)定義在數(shù)集上，為收斂的正項級數(shù)，若對一切，有則函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。定理13.6（阿貝爾判別法）設(shè)（i）在區(qū)間上一致收斂；（ii）對于每一個，是單調(diào)的；（iii）在上一致有界，即對一切和正整數(shù)，存在正數(shù)使得，則級數(shù)在上一致收斂。定理13.7（狄利克雷判別法）設(shè)（i）的部分和函數(shù)列在上一致有界；（ii）對于每一個，是單調(diào)的；（iii）在上則級數(shù)在上一致收斂。定理13.8 設(shè)函數(shù)列在上一致收斂于，且對每一個，則和均存在且相等。定理13.9（連續(xù)性）若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其極限函數(shù)在上也連續(xù)定理13.10（可積性）若函數(shù)列在上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則定理13.11（可微性）設(shè)為定義在上的函數(shù)列，若對為的收斂點(diǎn)，的每一項在上游連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在上一致收斂，則冪級數(shù)定理14.1（阿貝耳定理）若冪級數(shù)在收斂，則對滿足不等式的任何，冪級數(shù)收斂而且絕對收斂；若冪級數(shù)在時發(fā)散，則對滿足不等式的任何，冪級數(shù)發(fā)散。定理14.2 對于冪級數(shù)，若，則當(dāng)（i）時，冪級數(shù)的收斂半徑；（ii）時，冪級數(shù)的收斂半徑；（iii）時，冪級數(shù)的收斂半徑。定理14.4 若冪級數(shù)的收斂半徑為，則在它的收斂區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間上級數(shù)都一致收斂。傅里葉級數(shù)定理15.1 若級數(shù)收斂，則級數(shù)在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂。定理15.2 若在整個數(shù)軸上且等式右邊級數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：多元函數(shù)的極限與連續(xù)定理16.1（柯西準(zhǔn)則）平面點(diǎn)列收斂的充要條件是任給正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，對一切正整數(shù)，都有定理16.2（閉域套定理）設(shè)是中的閉域列，它滿足：（i）；（ii）則存在惟一的點(diǎn)定理16.3（聚點(diǎn)定理）設(shè)為有界無限點(diǎn)集，則在中至少有一個聚點(diǎn)定理16.4（有限覆蓋定理）設(shè)為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了（既）.定理16.6 若在點(diǎn)存在重極限與累次極限 則他們必相等.定理16.8（有界性與最大、最小定理）若函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則在上有界，且能取得最大值與最小值.定理16.9（一致連續(xù)性定理）若函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則在上一致連續(xù).即對任何，總存在只依賴于的正數(shù)，使得對一切點(diǎn)，只要，就有.定理16.10（界值性定理） 設(shè)函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，若為中任意兩點(diǎn)，且，則對任何滿足不等式的實(shí)數(shù)，必存在點(diǎn)，使得.多元函數(shù)微分學(xué)定理17.6 若函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且，其中為方向的余弦.定理17.8（中值定理）設(shè)二元函數(shù)在凸開域上連續(xù)，在的所有內(nèi)點(diǎn)都可微，則對內(nèi)任意兩點(diǎn)，存在某，使得隱函數(shù)定理及其應(yīng)用定理18.1（隱函數(shù)存在惟一性定理）若滿足下列條件：（i）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某區(qū)域上連續(xù)；（ii）（通常稱為初始條件）；（iii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（iv）則在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，方程惟一地確定了一個定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得、1 時且；2 在內(nèi)連續(xù).定理18.2（隱函數(shù)可微性定理）設(shè)滿足隱函數(shù)存在惟一性定理中的條件（i）（iv），又設(shè)在內(nèi)還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則由方程所確定的隱函數(shù)在其定義域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且.含參量積分定理19.1（連續(xù)性）若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).定理19.2（連續(xù)性）設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，其中為上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)在上連續(xù).定理19.3（可微性）若函數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形區(qū)域上連續(xù)，則在上可微，且.定理19.4（可微性）設(shè)在上連續(xù)，為定義在上其值含于內(nèi)的可微函數(shù)，則函數(shù)在上可微，且定理19.6若在矩形區(qū)域上連續(xù)，則定理19.7（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是：對任給的正數(shù)，總存在某一實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，對一切都有.定理19.8 含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是：對任一趨于的遞增數(shù)列（其中），函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.曲線積分定理20.1 設(shè)有光滑曲線；函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則重積分定理21.3 若曲線為由定義在上的連續(xù)函數(shù)的圖像，則曲線的面積為零.定理21.7 設(shè)是定義在有界閉域上的有界函數(shù).若的不連續(xù)點(diǎn)都落在有限條光滑曲線上，則在上可積.定理21.8 設(shè)在矩形區(qū)域上可積，且對每個，積分存在，則累次積分也存在，且定理21.11（格林公式）若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有，這里為區(qū)域的邊界曲線，并取正方向.定理21.12 設(shè)是單連通區(qū)域.若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個條件等價：（i）沿內(nèi)任一按段光滑封閉曲線，有；（ii）對中任一按段光滑曲線，曲線積分與路線無關(guān)，只與的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān)；（iii）是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在內(nèi)有；（iv）在內(nèi)處處成立.定理21.13 設(shè)在有界閉區(qū)域上可積，變換將平面有按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對一地映成平面上的閉區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式，則.曲面積分定理22.1 設(shè)有光滑曲面為上的連續(xù)函數(shù)，則定理22.22 設(shè)是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)（