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文檔簡介
數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 0 實驗一實驗一 誤差分析誤差分析 實驗 1 1 病態(tài)問題 實驗目的 算法有 優(yōu) 與 劣 之分 問題也有 好 與 壞 之別 對數(shù)值方法的研究而言 所謂壞問題就是問題本身對擾動敏感者 反之屬于好 問題 通過本實驗可獲得一個初步體會 數(shù)值分析的大部分研究課題中 如線性代數(shù)方程組 矩陣特征值問題 非 線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問題 病態(tài)問題要通過研究和構(gòu)造特殊的算 法來解決 當然一般要付出一些代價 如耗用更多的機器時間 占用更多的存 儲空間等 問題提出 考慮一個高次的代數(shù)多項式 1 1 20 2 1 20 1 k kxxxxxp 顯然該多項式的全部根為 1 2 20 共計 20 個 且每個根都是單重的 現(xiàn)考慮 該多項式的一個擾動 2 1 0 19 xxp 其中是一個非常小的數(shù) 這相當于是對 1 1 中的系數(shù)作一個小的擾動 19 x 我們希望比較 1 1 和 1 2 根的差別 從而分析方程 1 1 的解對擾動的 敏感性 實驗內(nèi)容 為了實現(xiàn)方便 我們先介紹兩個 Matlab 函數(shù) roots 和 poly roots a u 其中若變量 a 存儲 n 1 維的向量 則該函數(shù)的輸出 u 為一個 n 維的向量 設 a 的元素依次為 則輸出 u 的各分量是多項式方程 121 n aaa 0 1 1 21 nn nn axaxaxa 的全部根 而函數(shù) poly v b 的輸出 b 是一個 n 1 維變量 它是以 n 維變量 v 的各分量為根的多項式的系數(shù) 可見 roots 和 poly 是兩個互逆的運算函數(shù) 000000001 0 ess 21 1 zerosve 2 essve 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 1 20 1 vepolyroots 上述簡單的 Matlab 程序便得到 1 2 的全部根 程序中的 ess 即是 1 2 中的 實驗要求 1 選擇充分小的 ess 反復進行上述實驗 記錄結(jié)果的變化并分析它們 如果擾動項的系數(shù)很小 我們自然感覺 1 1 和 1 2 的解應當 相差很小 計算中你有什么出乎意料的發(fā)現(xiàn) 表明有些解關于如此的 擾動敏感性如何 2 將方程 1 2 中的擾動項改成或其它形式 實驗中又有怎樣的現(xiàn) 18 x 象出現(xiàn) 3 選作部分 請從理論上分析產(chǎn)生這一問題的根源 注意我們可以將 方程 1 2 寫成展開的形式 3 1 0 1920 xxxp 同時將方程的解 x 看成是系數(shù)的函數(shù) 考察方程的某個解關于的擾動是 否敏感 與研究它關于的導數(shù)的大小有何關系 為什么 你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象 哪些根關于的變化更敏感 思考題一 上述實驗的改進 在上述實驗中我們會發(fā)現(xiàn)用 roots 函數(shù)求解多項式方程的精度不高 為此你可以考慮用 符號函數(shù) solve 來提高解的精確度 這需要用到將多項式轉(zhuǎn)換為符號多項式的函數(shù) poly2sym 函數(shù)的具體使用方法可參考 Matlab 的幫助 實驗過程 程序 a poly 1 20 rr roots a for n 2 21 n for m 1 9 ess 10 6 m ve zeros 1 21 ve n ess r roots a ve 6 m s max abs r rr end end 利用符號函數(shù) 思考題一 利用符號函數(shù) 思考題一 a poly 1 20 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 2 y poly2sym a rr solve y for n 2 21 n for m 1 8 ess 10 6 m ve zeros 1 21 ve n ess a poly 1 20 ve y poly2sym a r solve y 6 m s max abs r rr end end 數(shù)值實驗結(jié)果及分析 數(shù)值實驗結(jié)果及分析 format long 6 m n 7 8 9 10 22 797226874783311 867536320091581 060527623807480 25273144219047 31 693766997674240 923106667069640 084716145697410 40804026409411 40 854013934155360 199410220200610 039729352958340 50 110311005388710 0429653236284400 60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000 130000 140000 150000 160000 170000 180000 190000 200000 210000 6 m n 11 12 13 14 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 3 20 038776764393800 162565848682800 133226640135980 30 02164258317546000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000 130000 140000 150000 160000 170000 180000 190000 200000 210000 討論 討論 利用這種方法進行這類實驗 可以很精確的擾動敏感性的一般規(guī)律 即當對擾 動項的系數(shù)越來越小時 對其多項式擾動的結(jié)果也就越來越小 即擾動敏感性 與擾動項的系數(shù)成正比 擾動項的系數(shù)越大 對其根的擾動敏感性就越明顯 當擾動的系數(shù)一定時 擾動敏感性與擾動的項的冪數(shù)成正比 擾動的項的冪數(shù) 越高 對其根的擾動敏感性就越明顯 實驗總結(jié) 實驗總結(jié) 利用 MATLAB 來進行病態(tài)問題的實驗 雖然其得出的結(jié)果是有誤差的 但是 可以很容易的得出對一個多次的代數(shù)多項式的其中某一項進行很小的擾動 對 其多項式的根會有一定的擾動的 所以對于這類病態(tài)問題可以借助于 MATLAB 來進行問題的分析 學號 06450210 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 4 姓名 萬軒 實驗二實驗二 插值法插值法 實驗 2 1 多項式插值的振蕩現(xiàn)象 問題提出 考慮一個固定的區(qū)間上用插值逼近一個函數(shù) 顯然拉格朗日插值中 使用的節(jié)點越多 插值多項式的次數(shù)就越高 我們自然關心插值多項式的次 數(shù)增加時 L x 是否也更加靠近被逼近的函數(shù) 龍格給出了一個極著名例子 設區(qū)間 1 1 上函數(shù) f x 1 1 25x 2 實驗內(nèi)容 考慮區(qū)間 1 1 的一個等距劃分 分點為 x i 1 2i n i 0 1 2 n 澤拉格朗日插值多項式為 L x l i x 1 25x j 2 i 0 1 n 其中 l i x i 0 1 n n 是 n 次拉格朗日插值基函數(shù) 實驗要求 選擇不斷增大的分點數(shù)目 n 2 3 畫出 f x 及插值多項式函數(shù) L x 在 1 1 上的圖象 比較分析實驗結(jié)果 2 選擇其它的函數(shù) 例如定義在區(qū)間 5 5 上的函數(shù) h x x 1 x 4 g x arctanx 重復上述的實驗看其結(jié)果如何 3 區(qū)間 a b 上切比雪夫點的定義為 xk b a 2 b a 2 cos 2k 1 2 n 1 k 1 2 n 1 以 x1 x2 x n 1 為插值節(jié)點構(gòu)造上述各函數(shù)的拉格朗日插值多項式 比較其結(jié)果 實驗過程 程序 程序 多項式插值的震蕩現(xiàn)象 實驗多項式插值的震蕩現(xiàn)象 實驗 2 1 for m 1 6 subplot 2 3 m 把窗口分割成 2 3 大小的窗口 largrang 6 m 對 largrang 函數(shù)進行運行 if m 1 title longn 6 elseif m 2 title longn 12 elseif m 3 title longn 18 elseif m 4 title longn 24 elseif m 5 title longn 30 elseif m 6 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 5 title longn 36 end 對每個窗口分別寫上標題為插值點的個數(shù) end 保存為 保存為 chazhi m function largrang longn mm input please input mm 運行第幾個函數(shù)就輸入 mm 為幾 mm if mm 1 d 表示定義域的邊界值 d 1 elseif mm 2 mm 3 d 5 end x0 linspace d d longn x 的節(jié)點 if mm 1 y0 1 1 25 x0 2 elseif mm 2 y0 x0 1 x0 4 elseif mm 3 y0 atan x0 end x sym x n length x0 s 0 0 for k 1 n p 1 0 for j 1 n if j k p p x x0 j x0 k x0 j end end s p y0 k s end y s if mm 1 ezplot 1 1 25 x 2 elseif mm 2 ezplot x 1 x 4 elseif mm 3 ezplot atan x end hold on ezplot y d d hold off 保存為 保存為 largrang m 數(shù)值實驗結(jié)果及分析 數(shù)值實驗結(jié)果及分析 對于第一個函數(shù)對于第一個函數(shù) f x 1 1 25x2 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 6 101 0 0 2 0 4 0 6 x longn 6 101 0 0 5 1 x longn 12 101 0 5 0 0 5 1 x longn 18 101 0 5 0 0 5 1 1 5 x longn 24 101 2 1 0 1 2 x longn 30 101 0 5 0 0 5 1 1 5 x longn 36 對于第二個函數(shù)對于第二個函數(shù) h x x 1 x4 505 0 5 0 0 5 x longn 6 505 1 0 1 x longn 12 505 1 0 1 x longn 18 505 4 2 0 2 4 x longn 24 505 2 0 2 x longn 30 505 20 0 20 x longn 36 對于第三個函數(shù)對于第三個函數(shù)g x arctan x 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 7 505 1 0 1 x longn 6 505 2 1 0 1 2 x longn 12 505 2 0 2 x longn 18 505 2 0 2 x longn 24 505 2 0 2 x longn 30 505 2 0 2 x longn 36 討論 通過對三個函數(shù)得出的 largrang 插值多項式并在數(shù)學軟件中的運行 得出函數(shù) 圖象 說明了對函數(shù)的支點不是越多越好 而是在函數(shù)的兩端而言支點越多 而 largrang 插值多項式不是更加靠近被逼近的函數(shù) 反而更加遠離函數(shù) 在函 數(shù)兩端的跳動性更加明顯 argrang 插值多項式對函數(shù)不收斂 實驗總結(jié) 利用 MATLAB 來進行函數(shù)的 largrang 插值多項式問題的實驗 雖然其得出的結(jié) 果是有誤差的 但是增加支點的個數(shù)進行多次實驗 可以找出函數(shù)的 largrang 插值多項式的一般規(guī)律 當支點增加時 largrang 插值多項式對函數(shù)兩端不收斂 不是更加逼近 而是更加遠離 跳動性更強 所以對于函數(shù)的 largrang 插值多 項式問題可以借助于 MATLAB 來進行問題的分析 得到比較準確的實驗結(jié)規(guī) 律 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 8 學號 06450210 姓名 萬軒 實驗五實驗五 解線性方程組的直接方法解線性方程組的直接方法 實驗 5 1 主元的選取與算法的穩(wěn)定性 問題提出 Gauss 消去法是我們在線性代數(shù)中已經(jīng)熟悉的 但由于計算機的數(shù) 值運算是在一個有限的浮點數(shù)集合上進行的 如何才能確保 Gauss 消去法作為 數(shù)值算法的穩(wěn)定性呢 Gauss 消去法從理論算法到數(shù)值算法 其關鍵是主元的 選擇 主元的選擇從數(shù)學理論上看起來平凡 它卻是數(shù)值分析中十分典型的問 題 實驗內(nèi)容 考慮線性方程組 nnn RbRAbAx 編制一個能自動選取主元 又能手動選取主元的求解線性方程組的 Gauss 消去 過程 實驗要求 1 取矩陣 則方程有解 取 14 15 15 7 68 168 168 16 bA T x 1 1 1 n 10 計算矩陣的條件數(shù) 讓程序自動選取主元 結(jié)果如何 2 現(xiàn)選擇程序中手動選取主元的功能 每步消去過程總選取按模最小或按模 盡可能小的元素作為主元 觀察并記錄計算結(jié)果 若每步消去過程總選取按模 最大的元素作為主元 結(jié)果又如何 分析實驗的結(jié)果 3 取矩陣階數(shù) n 20 或者更大 重復上述實驗過程 觀察記錄并分析不同的 問題及消去過程中選擇不同的主元時計算結(jié)果的差異 說明主元素的選取在消 去過程中的作用 4 選取其他你感興趣的問題或者隨機生成矩陣 計算其條件數(shù) 重復上述實 驗 觀察記錄并分析實驗結(jié)果 實驗過程 程序 程序 建立 M 文件 function x gauss n r n input 請輸入矩陣 A 的階數(shù) n A diag 6 ones 1 n diag ones 1 n 1 1 diag 8 ones 1 n 1 1 b A ones n 1 p input 條件數(shù)對應的范數(shù)是 p 范數(shù) p pp cond A p 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 9 pause m n size A nb n 1 Ab A b r input 請輸入是否為手動 手動輸入 1 自動輸入 0 r for i 1 n 1 if r 0 pivot p max abs Ab i n i ip p i 1 if ip i Ab i ip Ab ip i disp Ab pause end end if r 1 i i ip input 輸入 i 列所選元素所處的行數(shù) ip Ab i ip Ab ip i disp Ab pause end pivot Ab i i for k i 1 n Ab k i nb Ab k i nb Ab k i pivot Ab i i nb end disp Ab pause end x zeros n 1 x n Ab n nb Ab n n for i n 1 1 1 x i Ab i nb Ab i i 1 n x i 1 n Ab i i end 數(shù)值實驗結(jié)果及分析 數(shù)值實驗結(jié)果及分析 取矩陣 A 的階數(shù) n 10 自動選取主元 format long gauss 請輸入矩陣 A 的階數(shù) n 10 n 10 條件數(shù)對應的范數(shù)是 p 范數(shù) p 1 p 1 pp 2 557500000000000e 003 請輸入是否為手動 手動輸入 1 自動輸入 0 r 0 r 0 取矩陣 A 的階數(shù) n 10 手動選取主元 選取絕對值最大的元素為主元 gauss 請輸入矩陣 A 的階數(shù) n 10 n 10 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 10 條件數(shù)對應的范數(shù)是 p 范數(shù) p 2 p 2 pp 1 727556024913903e 003 請輸入是否為手動 手動輸入 1 自動輸入 0 r 1 r 1 ans 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 選取絕對值最小的元素為主元 gauss 請輸入矩陣 A 的階數(shù) n 10 n 10 條件數(shù)對應的范數(shù)是 p 范數(shù) p 2 p 2 pp 1 727556024913903e 003 請輸入是否為手動 手動輸入 1 自動輸入 0 r 1 r 1 ans 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 0 99999999999999 1 00000000000001 0 99999999999998 1 00000000000003 取矩陣 A 的階數(shù) n 20 手動選取主元 選取絕對值最大的元素為主元 gauss 請輸入矩陣 A 的階數(shù) n 20 條件數(shù)對應的范數(shù)是 p 范數(shù) p 1 p 1 pp 2 621437500000000e 006 ans 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 選取絕對值最小的元素為主元 gauss 請輸入矩陣 A 的階數(shù) n 20 n 20 條件數(shù)對應的范數(shù)是 p 范數(shù) p 2 p 2 pp 1 789670565881683e 006 請輸入是否為手動 手動輸入 1 自動輸入 0 r 1 r 1 ans 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000000 1 00000000000001 0 99999999999997 1 00000000000006 0 99999999999989 1 00000000000023 0 99999999999955 1 00000000000090 0 99999999999821 1 00000000000352 0 99999999999318 1 00000000001273 0 99999999997817 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 11 1 00000000002910 將 M 文件中的第三行 A diag 6 ones 1 n diag ones 1 n 1 1 diag 8 ones 1 n 1 1 改為 A hilb n gauss 請輸入矩陣 A 的階數(shù) n 7 n 7 條件數(shù)對應的范數(shù)是 p 范數(shù) p 1 p 1 pp 9 851948872610030e 008 請輸入是否為手動 手動輸入 1 自動輸入 0 r 1 r 1 ans 1 00000000000051 0 99999999997251 1 00000000031354 0 99999999864133 1 00000000268805 0 99999999754181 1 00000000084337 gauss 請輸入矩陣 A 的階數(shù) n 7 n 7 條件數(shù)對應的范數(shù)是 p 范數(shù) p 2 p 2 pp 4 753673569067072e 008 請輸入是否為手動 手動輸入 1 自動輸入 0 r 1 r 1 ans 0 99999999999869 1 00000000004337 0 99999999964299 1 00000000121143 0 99999999803038 1 00000000152825 0 99999999954491 該問題在主元選取與算出結(jié)果有著很大的關系 取絕對值大的元素作為主 元比取絕對值小的元素作為主元時產(chǎn)生的結(jié)果比較準確 即選取絕對值小的主 元時結(jié)果產(chǎn)生了較大的誤差 條件數(shù)越大產(chǎn)生的誤差就越大 討論 討論 在 gauss 消去法解線性方程組時 主元的選擇與算法的穩(wěn)定性有密切的聯(lián) 系 選取絕對值大的元素作為主元比絕對值小的元素作為主元時對結(jié)果產(chǎn)生的 誤差較小 條件數(shù)越大對用 gauss 消去法解線性方程組時 對結(jié)果產(chǎn)生的誤差 就越大 實驗總結(jié) 對用 gauss 消去法解線性方程組時 主元的選取與算法的穩(wěn)定性有密切的 聯(lián)系 選取適當?shù)闹髟欣诘贸龇€(wěn)定的算法 在算法的過程中 選取絕對值 較大的主元比選取絕對值較小的主元更有利于算法的穩(wěn)定 選取絕對值最大的 元素作為主元時 得出的結(jié)果相對較準確較穩(wěn)定 條件數(shù)越小 對用這種方法 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 12 得出的結(jié)果更準確 在算除法的過程中要盡量避免使用較小的數(shù)做為除數(shù) 以 免發(fā)生結(jié)果數(shù)量級加大 使大數(shù)吃掉小數(shù) 產(chǎn)生舍入誤差 學號 06450210 姓名 萬軒 實驗實驗 5 2 線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)的估計 問題提出 理論上 線性代數(shù)方程組的攝動滿足bAx b b A A AA Acond x x 1 1 矩陣的條件數(shù)確實是對矩陣病態(tài)性的刻畫 但在實際應用中直接計算它顯然不 現(xiàn)實 因為計算通常要比求解方程還困難 1 AbAx 實驗內(nèi)容 Matlab 中提供有函數(shù) condest 可以用來估計矩陣的條件數(shù) 它給 出的是按 1 范數(shù)的條件數(shù) 首先構(gòu)造非奇異矩陣 A 和右端 使得方程是可以精 確求解的 再人為地引進系數(shù)矩陣和右端的攝動 使得充分bA 和bA 和 小 實驗要求 1 假設方程 Ax b 的解為 x 求解方程 以 1 范數(shù) 給出bbxAA 的計算結(jié)果 x xx x x 2 選擇一系列維數(shù)遞增的矩陣 可以是隨機生成的 比較函數(shù) condest 所需機器時間的差別 考慮若干逆是已知的矩陣 借助函數(shù) eig 很容易給出 cond2 A 的數(shù)值 將它與函數(shù) cond A 2 所得到的結(jié)果進行比較 3 利用 condest 給出矩陣 A 條件數(shù)的估計 針對 1 中的結(jié)果給出 的理論估計 并將它與 1 給出的計算結(jié)果進行比較 分析所得結(jié)果 注 x x 意 如果給出了 cond A 和的估計 馬上就可以給出的估計 A 1 A 4 估計著名的 Hilbert 矩陣的條件數(shù) nji ji hhH jinnji 2 1 1 1 實驗過程 程序 程序 n input please input n n 輸入矩陣的階數(shù) 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 13 a fix 100 rand n 1 隨機生成一個矩陣 a x ones n 1 假設知道方程組的解全為 1 b a x 用矩陣 a 和以知解得出矩陣 b data rand n 0 00001 隨即生成擾動矩陣 data datb rand n 1 0 00001 隨即生成擾動矩陣 datb A a data B b datb xx geshow A B 解擾動后的解 x0 norm xx x 1 norm x 1 得出的理論結(jié)果 x xx x x 保存為 保存為 fanshu m function x geshow A B 用高斯消去法解方程組 m n size A nb n 1 AB A B for i 1 n 1 pivot AB i i for k i 1 n AB k i nb AB k i nb AB k i pivot AB i i nb end end x zeros n 1 x n AB n nb AB n n for i n 1 1 1 x i AB i nb AB i i 1 n x i 1 n AB i i end 保存為 保存為 geshow m function cond2 A 自定義求二階條件數(shù) B A A V1 D1 eig B V2 D2 eig B 1 cond2A sqrt max max D1 sqrt max max D2 end 保存為 保存為 cond2 m format long for n 10 10 100 n n n 為矩陣的階 A fix 100 randn n 隨機生成矩陣 A condestA condest A 用 condest 求條件數(shù) cond2 A 用自定義的求條件數(shù) condA2 cond A 2 用 cond 求條件數(shù) pause 運行一次暫停 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 14 end 保存為 保存為 shiyan52 m n input please input n n 輸入矩陣的階數(shù) a fix 100 rand n 1 隨機生成一個矩陣 a x ones n 1 假設知道方程組的解全為 1 b a x 用矩陣 a 和以知解得出矩陣 b data rand n 0 00001 隨即生成擾動矩陣 data datb rand n 1 0 00001 隨即生成擾動矩陣 datb A a data B b datb xx geshow A B 利用第一小問的 geshow m 求出解陣 x0 norm xx x 1 norm x 1 得出的理論結(jié)果 x xx x x x00 cond A 1 norm inv A norm xx x norm xx x norm A norm datb norm B 得出 的估計值 x xx x x datx abs x0 x00 求兩者之間的誤差 保存為 保存為 sy5 2 m format long for n 4 11 n n n 為矩陣的階數(shù) Hi hilb n 生成 Hilbert 矩陣 cond1Hi cond Hi 1 求 Hilbert 矩陣得三種條件數(shù) cond2Hi cond Hi 2 condinfHi cond Hi inf pause end 數(shù)值實驗結(jié)果及分析 數(shù)值實驗結(jié)果及分析 fanshu please input n n 6 n 6 a 14 25 16 88 19 89 32 93 85 48 92 60 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 15 14 40 88 50 13 16 23 52 19 29 2 32 40 10 100 7 37 24 14 3 72 27 70 1 x 1 1 1 1 1 1 b 251 410 221 157 218 187 data 1 0e 005 0 39690379186910 0 78196184196050 0 63712194084590 0 82064368228574 0 66093213223947 0 51488031898783 0 64986813059250 0 23756508204022 0 54592415509902 0 97047237460911 0 35801711338781 0 22157934638561 0 08500060621463 0 19573076378328 0 84805722441693 0 48692499554190 0 93819943010121 0 72500937095222 0 76880950325876 0 26321391517561 0 80209765848011 0 81746853554695 0 48766697476487 0 06824661097009 0 96970170497170 0 71378506459614 0 66830641006672 0 64157116784600 0 09099035774397 0 96412426837254 0 71479723187621 0 97759973943565 0 67098263396985 0 30634935951390 0 67383411686207 0 20765658836866 datb 1 0e 005 0 16111822555138 0 63822138259275 0 00022817289162 0 33563294335217 0 27509982146621 0 04452752039203 A 1 0e 002 0 14000003969038 0 25000007819618 0 16000006371219 0 88000008206437 0 19000006609321 0 89000005148803 0 32000006498681 0 93000002375651 0 85000005459242 0 48000009704724 0 92000003580171 0 60000002215793 0 14000000850006 0 40000001957308 0 88000008480572 0 50000004869250 0 13000009381994 0 16000007250094 0 23000007688095 0 52000002632139 0 19000008020977 0 29000008174685 0 02000004876670 0 32000000682466 0 40000009697017 0 10000007137851 1 00000006683064 0 07000006415712 0 37000000909904 0 24000009641243 0 14000007147972 0 03000009775997 0 72000006709826 0 27000003063494 0 70000006738341 0 01000002076566 B 1 0e 002 2 51000001611182 4 10000006382214 2 21000000002282 1 57000003356329 2 18000002750998 1 87000000445275 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 16 xx 0 99999830779720 1 00000022569555 1 00000019341555 0 99999909388073 0 99999996894021 1 00000066032794 x0 6 181368174725440e 007 的計算結(jié)果為 6 181368174725440e 007 x xx x x 2 2 NcondestAcond2AcondA2 101 152530883943102 e 002 32 8905456307542132 89054563075420 203 470959631940668 e 002 65 5412238417896665 54122384178720 306 050503865112835 e 002 1 126539755706398 e 002 1 126539755706322 e 002 403 549487892582470 e 002 61 3753756968344861 37537569683365 506 855018184779408 e 002 81 1213899375359481 12138993753482 601 082004656409367 e 004 1 704830815154781 e 003 1 704830815108527 e 003 703 234679145192132 e 003 3 878481155980936 e 002 3 878481155978439 e 002 808 318226153918658 e 002 86 2381429985251386 23814299853018 902 063634143407935 e 003 2 120696380331705 e 002 2 120696380331079 e 002 1001 536592818758897 e 003 1 559132035738491 e 002 1 559132035738373 e 002 sy5 2 please input n n 8 n 8 x0 1 095033343195828e 006 x00 1 705456352162135e 005 datx 1 595953017842553e 005 給出對的估計是 1 705456352162135e 005 x xx x x 的理論結(jié)果是 1 095033343195828e 006 x xx x x 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 17 結(jié)果相差 1 595953017842553e 005 4 4 ncond1Hicond2HicondinfHi 42 837499999999738 e 004 1 551373873892786 e 004 2 837499999999739 e 004 59 436559999999364 e 005 4 766072502414135 e 005 9 436559999999336 e 005 62 907027900294878 e 007 1 495105864009243 e 007 2 907027900294064 e 007 79 851948897194700 e 008 4 753673565864586 e 008 9 851948897198483 e 008 83 387279082022742 e 010 1 525757545841988 e 010 3 387279081949470 e 010 91 099650993366047 e 012 4 931544439891016 e 011 1 099650991701052 e 012 103 535372424347474 e 013 1 602528637652488 e 013 3 535372455375642 e 013 111 230369955362001 e 015 5 223946340715823 e 014 1 230369938308720 e 015 討論 討論 線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)有著很重要的關系 既矩陣的條件數(shù)是刻 畫矩陣性質(zhì)的一個重要的依據(jù) 條件數(shù)越大 矩陣 病態(tài) 性越嚴重 在解線 性代數(shù)方程組的過程中較容易產(chǎn)生比較大的誤差 則在實際問題的操作過程中 我們必須要減少對條件數(shù)來求解 把條件數(shù)較大的矩陣化成條件數(shù)較小的矩陣 來進行求解 實驗總結(jié) 在本次實驗中 使我們知道了矩陣條件數(shù)對線性代數(shù)方程組求解的影響 條件數(shù)越大 對最后解的影響的越大 hilbert 矩陣是一個很 病態(tài) 的矩陣 他 的條件數(shù)隨著階數(shù)的增加而增大 每增加一階 條件數(shù)就增大一個數(shù)量級 在 求解的過程中要盡量避免 hilbert 矩陣 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 18 學號 06450210 姓名 萬軒 實驗七實驗七 非線性方程求根非線性方程求根 實驗 7 1 迭代法 初始值與收斂性 實驗目的 初步認識非線性問題的迭代法與線性問題迭代法的差別 探討迭代 法及初始值與迭代收斂性的關系 問題提出 迭代法是求解非線性方程的基本思想方法 與線性方程的情況一樣 其構(gòu)造方法可以有多種多樣 但關鍵是怎樣才能使迭代收斂且有較快的收斂速 度 實驗內(nèi)容 考慮一個簡單的代數(shù)方程 01 2 xx 針對上述方程 可以構(gòu)造多種迭代法 如 1 7 1 2 1 nn xx 2 7 1 1 1 n n x x 3 7 1 1 nn xx 在實軸上取初始值 x0 請分別用迭代 7 1 7 3 作實驗 記錄各算法的迭 代過程 實驗要求 1 取定某個初始值 分別計算 7 1 7 3 迭代結(jié)果 它們的收斂性如何 重復選取不同的初始值 反復實驗 請自選設計一種比較形象的記錄方式 如 利用 Matlab 的圖形功能 分析三種迭代法的收斂性與初值選取的關系 2 對三個迭代法中的某個 取不同的初始值進行迭代 結(jié)果如何 試分析迭 代法對不同的初值是否有差異 3 線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初始值選取的 比較線性與非線性問 題迭代的差異 有何結(jié)論和問題 實驗過程 程序 程序 clear clc s input 請輸入要運行的方程 運行第幾個輸入幾s clf if s 1 決定坐標軸的范圍和初始值 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 19 a 1 5 b 2 5 y00 0 x00 input 請輸入第一個函數(shù)的初值 x00 elseif s 2 a 0 1 b 6 5 y00 0 x00 input 請輸入第二個函數(shù)的初值 x00 elseif s 3 a 0 b 2 y00 0 x00 input 請輸入第三個函數(shù)的初值 x00 end x linspace a b 80 y0 x 計算直線y x y1 zxy7f x s 計算迭代函數(shù)y f x clear y y y0 y1 if s 1 畫圖 plot x y linewidth 1 legend y x y f1 title x n 1 x n 2 1 輸出標題 elseif s 2 plot x y linewidth 2 legend y x y f2 title x n 1 1 1 x n elseif s 3 plot x y linewidth 3 legend y x y f3 title x n 1 sqrt x n 1 end hold on plot a b 0 0 k 0 0 a b k axis a b a b 畫坐標軸 z for i 1 15 畫蛛網(wǎng)圖 迭代過程為 n 15 次 xt 1 x00 yt 1 y00 決定始點坐標 xt 2 zxy7f xt 1 s 決定終點坐標 yt 2 zxy7f xt 1 s zxyplot7 xt yt 0 6 畫蛛網(wǎng)圖 if i 5 pause 按任意鍵逐次觀察前 5 次迭代的蛛網(wǎng)圖 end x00 xt 2 y00 yt 2 將本次迭代的終點作為下次的始點 z z xt 1 保存迭代點 end 保存為 保存為 zxy7 m function y zxy7f x s if s 1 y x x 1 數(shù) 值 分 析 實 驗 報 告 20 elseif s 2 y 1 1 x elseif s 3 y sqrt x 1 end 保存為 保存為 zxy7f m function out zxyplot7 x y p 畫一次迭代的蛛網(wǎng)圖 改變 p 調(diào)節(jié)箭頭的大 小 u 1 0 v 1 y 2 y 1 畫出始點 x 1 y 1 終點 x 2 y 2 的有 向折線段 u 2 eps v 2 eps h quiver x 1 x 1 y 1 y 2 u v p set h color red hold on u 1 x 2 x 1 v 1 0 u 2
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