剛體平面運(yùn)動(dòng)瞬心法、加速度

剛體復(fù)合運(yùn)動(dòng) 基點(diǎn)法的回顧 剛體的平面運(yùn)動(dòng) 合成 基點(diǎn) w e與基點(diǎn)無關(guān) 平移的速度和加速度與基點(diǎn)有關(guān) 3 Generalplanemotion剛體的平面運(yùn)動(dòng) 以A為基點(diǎn) 隨基點(diǎn)A平移到A B 后 繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A B 以B為基點(diǎn) 隨基點(diǎn)B平移到A B 后 繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A B 圖中看出 AB A B A B 于是有 再例如 平面圖形S在 t時(shí)間內(nèi)從位置I運(yùn)動(dòng)到位置II 3 Generalplanemotion剛體的平面運(yùn)動(dòng) P Methodofrelativevelocity Page24 確定速度方向 結(jié)論 平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度和該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和 Instantcenterforvelocities速度瞬心法 概念 即在某一瞬時(shí)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零 該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心 簡(jiǎn)稱速度瞬心instantcenter 該點(diǎn)可位于剛體內(nèi)或者剛體外bodyextended 用瞬心法可以更方便的求解速度問題 但是不使用于加速度的計(jì)算 b Instantcenterforvelocities瞬心法 P26 b Instantcenterforvelocities瞬心法 Theinstantcenterforvelocitiesofabodyundergoingplanemotionisdefinedtobethepointthathaszerovelocityattheinstantunderconsideration Thispointmaybeeitherinabodyoroutsidethebody inthe bodyextended Itisoftenconvenienttousetheinstantcenterofthebodyincomputingthevelocitiesofpointsinthebody 2 速度瞬心的推導(dǎo)過程平面圖形S 某瞬時(shí)其上一點(diǎn)A速度 圖形角速度 沿方向取半直線AL 然后順 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL 的位置 在AL 上取長(zhǎng)度則 因此 可以證明只要角速度 不等于零 在垂線AL 總會(huì)有一點(diǎn)P 這點(diǎn)的瞬時(shí)速度等于零 為了找到瞬心 我們做一條直線垂直于速度VA 另一條直線垂直于速度VB 在圖中可看出 兩條直線交匯于一點(diǎn)O O點(diǎn)便是瞬心 如果O點(diǎn)不位于剛體的形狀當(dāng)中 我們假設(shè)剛體足夠大可以包容下改點(diǎn) 這種情況就叫做Bodyextended thoughBthatisperpendiculartovB ThesetwolineswillintersectatapointlabeledOinthefigure IfpointOdoesnotlieinthebody wesimplyimaginethatthebodyisenlargedtoincludeit theexpandedbodybeingcalledthebodyextended Inordertofindtheinstantcenterforvelocities weconstructalinethroughAthatisperpendiculartovA andaline 圖中可以看出O點(diǎn)為瞬心 且該點(diǎn)的速度為零 因?yàn)锳 B andO三點(diǎn)都位于同一個(gè)剛體上 或者剛體外orbodyextended 所以我們可以得到以下公式 2 6a 2 6b 這里rA OandrB O是A點(diǎn)和B點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的相對(duì)位置向量Fig b WenowshowthatpointOistheinstantcenter thatis thatthevelocityofOiszero BecauseA B andOarepointsinthesamerigidbody orbodyextended wecanwritethefollowingequations 2 6a 2 6b whererA OandrB OaretherelativepositionvectorsshowninFig b 選瞬心C為基點(diǎn)時(shí)有 圖形上各點(diǎn)速度分布如同圖形繞C作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一樣 平面圖形的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)為繞瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng) 其連續(xù)運(yùn)動(dòng)為繞一系列瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體平面運(yùn)動(dòng)中各點(diǎn)的速度分析 確定速度瞬心位置的方法有下列幾種 1 平面圖形沿一固定表面作無滑動(dòng)的滾動(dòng) 圖形與固定面的接觸點(diǎn)C就是圖形的速度瞬心 如車輪在地面上作無滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí) 2 已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向 速度瞬心C的位置必在每點(diǎn)速度的垂線的交線上 3 已知圖形上兩點(diǎn)A和B的速度相互平行 并且速度的方向垂直于兩點(diǎn)的連線AB 則速度瞬心必定在連線AB與速度矢vA和vB端點(diǎn)連線的交點(diǎn)C上 4 某瞬時(shí) 圖形上A B兩點(diǎn)的速度相等 如圖所示 圖形的速度瞬心在無限遠(yuǎn)處 瞬時(shí)平動(dòng) 此時(shí)物體上各點(diǎn)速度相同 但加速度不一定相等 另外注意 瞬心的位置是隨時(shí)間在不斷改變的 它只是在某瞬時(shí)的速度為零 加速度并不為零 1 已知一點(diǎn)的速度及剛體的角速度 2 已知兩點(diǎn)的速度方向 且互不平行 4 瞬時(shí)平動(dòng) 3 兩點(diǎn)速度方向平行且垂直于這兩點(diǎn)的連線 歸納總結(jié) 瞬時(shí)速度中心的幾種求法 瞬時(shí)速度中心的幾種求法P28 書本上的總結(jié) 注意的問題 速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的 而是隨時(shí)間不斷變化的 在任一瞬時(shí)是唯一存在的 速度瞬心的速度為零 其加速度一定不為零 不同于定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體作瞬時(shí)平移時(shí) 雖然各點(diǎn)的速度相同 但各點(diǎn)的加速度是一定不相同的 不同于剛體作平移 已知曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的R 求圖示瞬時(shí) 位置 的 Sampleproblem4曲柄滑塊機(jī)構(gòu) C為AB桿的速度瞬心 瞬心法 Solution 已知 半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動(dòng) 輪心速度為vO 求 輪緣上B C D三點(diǎn)的速度 Sampleproblem5 圓輪與地面接觸點(diǎn)A為速度瞬心 如輪子沿曲線軌道純滾動(dòng) 是否成立 Solution瞬心法 同理 曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu) A O B D C 30 30 w P1 P2 特別提示每個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體在每一瞬時(shí)都有自己的速度瞬心和角速度 并且瞬心在剛體或其擴(kuò)展部分上 不能認(rèn)為瞬心在其他剛體上 例如 AB桿的瞬心在P1點(diǎn) BC桿的瞬心在P2點(diǎn) 而且P1也不是DB桿上的點(diǎn) 已知 求 1 B和D點(diǎn)的速度 2 AB桿的角速度 Sampleproblem6三連桿機(jī)構(gòu) 圖中的幾何關(guān)系 Solution瞬心法 已知 行星輪系固定輪半徑R 行星輪半徑r 只滾不滑 曲柄角速度w 求 行星輪上M點(diǎn)速度 Sampleproblem8 Solution瞬心法 速度投影定理 同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在其連線上的投影相等 這就是速度投影定理 速度投影定理 由于vBA垂直于AB 因此 vBA AB 0 于是 將等式兩邊同時(shí)向AB方向投影 A B 已知曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的R 求圖示瞬時(shí) 位置 的 Sampleproblem9 能否由速度投影定理求得剛體的角速度 Solution速度投影定理 基點(diǎn)法有 根據(jù)速度投影定理 對(duì)VA和VB分別做在AB方向上的投影 于是有 Solution直接求導(dǎo)法 例1橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖 已知連桿AB的長(zhǎng)度l 20cm 滑塊A的速度vA 10cm s 求連桿與水平方向夾角為30 時(shí) 滑塊B和連桿中點(diǎn)M的速度 解 AB作平面運(yùn)動(dòng) 以A為基點(diǎn) 分析B點(diǎn)的速度 由圖中幾何關(guān)系得 方向如圖所示 A vA B wAB 30 M 30 求速度的幾種方法的回顧 一 基點(diǎn)法求解 以A為基點(diǎn) 則M點(diǎn)的速度為 將各矢量投影到坐標(biāo)軸上得 解之得 A vA B wAB 30 M x y 一 基點(diǎn)法求解 二 用速度瞬心法 解 AB作平面運(yùn)動(dòng) A vA B 30 C M 瞬心在C點(diǎn) 三 速度投影定理 解 由速度投影定理得 A vA B 30 1 M 2 Methodofrelativeacceleration基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度 取A為基點(diǎn) 將平移坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)取B動(dòng)點(diǎn) 則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周和牽連運(yùn)動(dòng)軌跡為直線 已知 圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的加速度和圖形的 某一瞬時(shí) 求 該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度 如圖所示 由速度合成定理 有 而 其中 故 B A 分別求導(dǎo)可得 即 平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和 這就是平面運(yùn)動(dòng)的加速度合成法 稱為基點(diǎn)法 B A aA aB aA aBA w a P29 2 8 Methodofrelativeacceleration 加速度表示法1 Methodofrelativeacceleration 加速度表示法2 P29 2 9 基點(diǎn)法 共有5個(gè)可能的未知數(shù) aP aO 只有2個(gè)標(biāo)量方程 必須已知5個(gè)中的3個(gè)量才能求解 P c Methodofrelativeacceleration Sampleproblem 已知 R const 求圖示位置時(shí)滑塊的加速度 選A為基點(diǎn) 等式兩邊向BA方向投影 向與AB垂直的方向投影 SolutionMethodofrelativeacceleration 基點(diǎn)法求速度中得出 已知 半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動(dòng) 輪心速度為vO 加速度為aO 求 輪緣上A B二點(diǎn)的加速度 Sampleproblem11 取O點(diǎn)為基點(diǎn) 分析A點(diǎn)的加速度 SolutionMethodofrelativeacceleration 取O點(diǎn)為基點(diǎn) 分析B點(diǎn)的加速度 SolutionMethodofrelativeacceleration 加速度瞬心法圖形或其延拓部分上加速度為零的點(diǎn)稱為該瞬時(shí)的瞬時(shí)加速度中心 圖形上各點(diǎn)加速度的分布如同圖形繞C作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一樣 剛體平面運(yùn)動(dòng)中各點(diǎn)的加速度分析 已知梯子AB長(zhǎng)l 一端靠在墻上 如圖所示 梯子下端A以等速u向右水平地拖動(dòng) 求夾角 為30o時(shí)B點(diǎn)的加速度和桿的角加速度 Sampleproblem12