高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.7.3正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式教案北師大版.docx

正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式是高中階段最后研究的一個(gè)函數(shù)的壓軸公式,它前承正、余弦函數(shù),后有同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,不僅是對(duì)正、余弦誘導(dǎo)公式探究方法的一種再現(xiàn),更是一種提升,同時(shí)又為以后研究三角函數(shù)問題奠定了基石.教材安排上是單刀直入,只給出正切函數(shù)圖像,沒有給出任何提示就直接得出誘導(dǎo)公式.教材這樣處理很微妙,說明正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)在研究方法上類似,學(xué)生完全可以運(yùn)用類比的思想方法自己得出結(jié)論,這樣處理發(fā)展了學(xué)生的思維,留給了學(xué)生一定的提示空間;這樣不僅發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性,增強(qiáng)動(dòng)腦、動(dòng)手的能力,而且在此過程中,學(xué)生更會(huì)有一個(gè)回顧及施展自己能力的機(jī)會(huì).教學(xué)過程中,教師不要侵占了學(xué)生這一空間. 我們已經(jīng)看出來,在正、余弦函數(shù)中,是先學(xué)誘導(dǎo)公式,再學(xué)圖像與性質(zhì)的,而在學(xué)正切函數(shù)時(shí),卻是先學(xué)圖像與性質(zhì),再學(xué)誘導(dǎo)公式.一般來說,對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖像,通過觀察圖像獲得對(duì)函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí),然后再從代數(shù)的角度對(duì)性質(zhì)作出嚴(yán)格表述.但對(duì)正切函數(shù),教科書換了一個(gè)新的角度,采取了先根據(jù)已有的知識(shí)如正切函數(shù)的定義、正切線等先來研究圖像和性質(zhì),再來研究它的誘導(dǎo)公式.這樣處理,主要是為了給學(xué)生提供研究數(shù)學(xué)問題更多的視角,并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面.教師要在學(xué)生探究活動(dòng)過程中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這種解決問題的方法. 我們已經(jīng)知道正、余弦函數(shù)的概念是通過在單位圓中,以函數(shù)定義的形式給出來的,從而把銳角的正、余弦函數(shù)推廣到任意角的情況;現(xiàn)在我們就應(yīng)該與正、余弦函數(shù)的概念作比較,得出正切函數(shù)的概念;同樣地,可以仿照正、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式推出正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式,通過單位圓中的正切線畫出正切函數(shù)的圖像,并從圖像上觀察總結(jié)出正切函數(shù)的性質(zhì),歸納出正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式. 教學(xué)方法上本著以人為本的教學(xué)理念及充分發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性,使學(xué)生成為課堂的主體的教學(xué)原則,遵循事物的發(fā)生、發(fā)展成熟過程及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,通過學(xué)生的自主探索,探究出正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式;在此過程中體現(xiàn)學(xué)生之間、師生之間的合作探究,互相幫助的團(tuán)隊(duì)精神,使學(xué)生的內(nèi)在潛能得以挖掘;通過例題的分析,使學(xué)生分析問題及嚴(yán)密推理能力得以提高,讓學(xué)生體會(huì)到探究發(fā)現(xiàn)的樂趣,同時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不但美妙而且神奇,并在此過程中體驗(yàn)成功后的喜悅.三維目標(biāo) 通過觀察正切函數(shù)的圖像,掌握利用數(shù)形結(jié)合思想分析問題、解決問題的技能,養(yǎng)成善于用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理問題;通過繪圖,觀察,類比推理,探索知識(shí),能學(xué)以致用,結(jié)合圖像分析得到正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式. 會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,讓學(xué)生體驗(yàn)自身探索成功的喜悅感,培養(yǎng)學(xué)生的自信心,培養(yǎng)學(xué)生形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神,以及尊重客觀規(guī)律,懂得實(shí)踐是認(rèn)知的源泉,從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美,體驗(yàn)成功后的喜悅.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):正切函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和性質(zhì)對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行求值、化簡和證明,提高解決綜合問題的能力.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.先讓學(xué)生回憶正弦、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式的探究過程,因是在學(xué)習(xí)正弦、余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)前,所以是借助單位圓推得的.學(xué)過正弦、余弦函數(shù)圖像后,你能從正弦、余弦函數(shù)圖像上看出來嗎？我們上節(jié)課已經(jīng)學(xué)過了正切函數(shù)的圖像和性質(zhì),你能觀察歸納出正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式嗎？讓學(xué)生畫圖歸納正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式,由此展開新課.思路2.設(shè)置情景,先讓學(xué)生計(jì)算tan,tan(-),tan,tan,tan,tan(它們分別是,-,-,-,)的值.觀察數(shù)值并猜想結(jié)論,然后通過正切函數(shù)圖像進(jìn)一步來驗(yàn)證,這種思路比較符合學(xué)生的思維特點(diǎn),也是一種不錯(cuò)的選擇.推進(jìn)新課新知探究提出問題計(jì)算:tan,tan(-),tan,tan,tan,tan(它們分別是,-,-,-,),類比正弦、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式,猜想角與2+,2-,-,-,+的正切函數(shù)值的關(guān)系.畫出正切函數(shù)圖像,如圖1,類比正弦、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式,觀察歸納角與2+,2-,-,-,+的正切函數(shù)值的關(guān)系.角與角有怎樣的關(guān)系？類比正弦、余弦誘導(dǎo)公式的記憶方法,怎樣記憶正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式？學(xué)過三角函數(shù)誘導(dǎo)公式后,想一想,怎樣將任意角的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的問題？活動(dòng):學(xué)生完成問題的計(jì)算后,心中就已經(jīng)有了結(jié)論;然后教師讓學(xué)生動(dòng)手畫出正切函數(shù)圖像,以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正切函數(shù)圖像的感知;實(shí)際上,學(xué)生畫圖的過程就是集中注意力對(duì)已有的猜想進(jìn)行進(jìn)一步觀察、思考、歸納、驗(yàn)證的過程.教師適時(shí)地演示課件,動(dòng)態(tài)演示函數(shù)ytanx與y=tan(2+x),y=tanx與y=tan(-x),y=tanx與y=tan(2-x),y=tanx與y=tan(-x),y=tanx與y=tan(+x)的圖像,讓學(xué)生觀察同一自變量的值所對(duì)應(yīng)不同函數(shù)的函數(shù)值之間的關(guān)系,從而歸納得出正切函數(shù)以下的誘導(dǎo)公式:圖1tan(2+)tan;tan(-)=-tan;tan(2-)-tan;tan(-)-tan;tan(+)tan. 我們可以驗(yàn)證,無論角是哪個(gè)象限的角,上面的誘導(dǎo)公式都是正確的;利用我們學(xué)習(xí)過的誘導(dǎo)公式很容易證明以下公式:tan(+)=cot;tan(-)=cot. 以上六個(gè)公式都叫作正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式,其中角可以為使得等式兩邊都有意義的任意角.這樣,我們就可以利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題,利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的變換程序可用如下的框圖來表示: 要求學(xué)生熟記2,-,的正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式,這些誘導(dǎo)公式可以幫助我們把任意角化到0,360)范圍內(nèi),進(jìn)而找到銳角,利用這些熟知角進(jìn)行化簡、求值或證明等.讓學(xué)生類比正弦、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式的記憶歌訣,自己得出正切函數(shù)誘導(dǎo)公式的記憶歌訣. 我們最熟悉的三角函數(shù)值是角在0到90之間,利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,我們就能將0到360之內(nèi)的角化為0到90之間的角來求它的三角函數(shù)值,對(duì)于任一0到360的角,有四種可能(其中為不大于90的非負(fù)角),解題時(shí)可根據(jù)題目條件靈活選用.=應(yīng)用示例例1 若tan=,借助三角函數(shù)定義求角的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值.活動(dòng):三角函數(shù)誘導(dǎo)公式至此已經(jīng)學(xué)完,本例目的是讓學(xué)生回顧任意角的三角函數(shù)定義,對(duì)于三角函數(shù)定義教材上是分兩次完成的,切函數(shù)與弦函數(shù)分別進(jìn)行,通過本例要讓學(xué)生明確三角函數(shù)定義中點(diǎn)P的任意性;本例是一道基本概念題,可先讓學(xué)生回憶任意角三角函數(shù)定義及正弦、余弦、正切在各個(gè)象限的符號(hào),養(yǎng)成求值先看角所在象限的習(xí)慣;然后由學(xué)生自己獨(dú)立完成,必要時(shí)教師給予點(diǎn)撥.解:tan0,是第一象限或第三象限的角.(1)如果是第一象限的角,則由tan可知,角終邊上必有一點(diǎn)P(3,2).所以x3,y2.r|OP|,sin,cos.(2)如果是第三象限角,同理可得sin-,cos-.點(diǎn)評(píng):解完此題后教師可就此點(diǎn)撥學(xué)生,利用定義解題是非常重要的一種解題方法,而且對(duì)于本章來說,認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象、將角推廣及引入弧度制后就學(xué)習(xí)三角函數(shù)的定義,以后的其他內(nèi)容都是在任意角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上展開的,所以說三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)內(nèi)容中顯得尤為重要,要讓學(xué)生熟練掌握利用定義解題的方法.變式訓(xùn)練(2007北京)已知costan0,那么角是 ( ).第一或第二象限角 .第二或第三象限角.第三或第四象限角 .第一或第四象限角答案:C例2 化簡:.活動(dòng):本例是應(yīng)用正切函數(shù)誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)題,解答此題時(shí)學(xué)生可能需要查看誘導(dǎo)公式,思考題中各個(gè)式子該用所學(xué)的哪個(gè)公式進(jìn)行化簡,教師提醒學(xué)生注意:對(duì)于誘導(dǎo)公式應(yīng)當(dāng)在理解的基礎(chǔ)上記憶它,不要死記硬背公式,要讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用單位圓或圖像來幫助記憶,待熟悉各個(gè)公式的作用后,選擇最佳適用公式,迅速解題.解:原式.點(diǎn)評(píng):化簡三角函數(shù)式是三角函數(shù)中很重要的一種題型,其要求是:能求出值的應(yīng)求出值;使三角函數(shù)種數(shù)盡量少;使項(xiàng)數(shù)盡量少;盡量使分母不含三角函數(shù);盡量使被開方數(shù)中不含三角函數(shù);次數(shù)盡量低.3.求證:.活動(dòng):本節(jié)作為三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的最后一節(jié)課,應(yīng)有鞏固、總結(jié)、提高的成分,而且三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的主要應(yīng)用在于對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行求值、化簡與證明;對(duì)于利用誘導(dǎo)公式證明三角函數(shù)式,一般的思路是化簡較繁的一邊,使之等于另一邊,當(dāng)然也可以兩邊都化簡,還有分析法等,教師提醒學(xué)生不要套用固定模式,要具體問題具體分析,靈活解題.本例還需用到正弦、余弦的誘導(dǎo)公式,可讓學(xué)生自己探究解決.證明:左邊=右邊.所以,原式成立.點(diǎn)評(píng):解完此題后,教師與學(xué)生一起總結(jié)規(guī)律,證明三角函數(shù)恒等式,類型較多方法也較多,這里僅就常規(guī)通法略做練習(xí),目的是熟練掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,不必加大訓(xùn)練難度或加大題量.變式訓(xùn)練1.設(shè)tan(+)=a,求:的值.解法一:tan(+)=tan+(+)=tan(+)=a,原式=解法二:原式=.2.已知tan(-)=a2,|cos(-)|=-cos,求的值.解:由tan=-a20,|cos(-)|=-cos0即cos0,可知角的終邊在第二象限或x軸的非正半軸上.若角的終邊在第二象限,即cos0時(shí),=;若角的終邊在x軸的非正半軸上,即a=0時(shí),=-=1.綜合上述兩種情況可得=.點(diǎn)評(píng):一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不一定是正數(shù),可能是零,因此,本題不能漏掉角的終邊在x軸的非正半軸上的情形.而由于tan存在,這就決定了角的終邊不在y軸上,即cos不為零.本題很容易得到以下錯(cuò)解:tan(-)=a2,tan=-a20.|cos(-)|=-cos0,cos0.是第二象限角.又cos(+)=-cos=,=.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1-4.課堂小結(jié) 讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法有哪些？在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中,你的探究能力表現(xiàn)的如何？你對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的深刻體會(huì)有哪些？教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行畫龍點(diǎn)睛:在運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值或化簡、證明中,使用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,對(duì)角進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q,使之符合誘導(dǎo)公式中角的結(jié)構(gòu)特征,培養(yǎng)了我們思維的靈活性,在發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)誘導(dǎo)公式的過程中,提高了探究能力.要求熟記并靈活運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.要將本節(jié)知識(shí)納入系統(tǒng)之中,從總體上把握誘導(dǎo)公式.作業(yè)課本習(xí)題16 A組8、10.設(shè)計(jì)感想 本節(jié)教案設(shè)計(jì)主線是:始終抓住以類比思想,數(shù)形結(jié)合思想,讓學(xué)生在鞏固原有知識(shí)的基礎(chǔ)上,通過類比,結(jié)合圖形,由學(xué)生自己來對(duì)新知識(shí)進(jìn)行分析、猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用,使新舊知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合在一起,學(xué)生對(duì)新知識(shí)也較易接受;同時(shí)通過多媒體教學(xué),使學(xué)生通過對(duì)圖像的觀察,對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加直觀、形象,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,教學(xué)過程流暢,符合高中課程標(biāo)準(zhǔn)理念. 本節(jié)教案設(shè)計(jì)理念是:堅(jiān)持以學(xué)生為本,以學(xué)生的實(shí)際情況為教學(xué)出發(fā)點(diǎn),通過各種數(shù)學(xué)思想的滲透,合理運(yùn)用各種教學(xué)課件,讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過對(duì)圖像的觀察來整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn),學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力.這樣既加強(qiáng)了類比、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),也有利于學(xué)生綜合運(yùn)用能力的提高,有利于學(xué)生把新舊知識(shí)前后聯(lián)系,融會(huì)貫通,提高教學(xué)效果.備課資料備用習(xí)題1.若tan(+)-2,則tan(3-)的值為( )A.2 B.2 C.0 D.-22.sin600+tan240的值是( )A. B.- C. D.-3.若tan(-)=-5,則tan(+)的值是 ( )A.5 B.-5 C.5 D.不確定4.化簡.5.化簡(nZ)所得的結(jié)果是( )A.tann B.-tann C.tan D.-tan6.已知f()=.(1)求f();(2)若是第三象限角,且cos(-)=