軸對稱圖形講義不錯

1 1 2 3 4 圖 1 軸對稱圖形講義軸對稱圖形講義 定義 定義 把一個圖形沿著某一條直線折疊 如果它能夠與另一個圖形重合 那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線這條直線對稱 也稱這兩個圖形成軸對稱軸對稱 這條直線叫做對稱軸對稱軸 兩個圖形中的對應(yīng)點叫做對稱點對稱點 把一個圖形沿著某一條直線折疊 如果直線兩旁的部分能夠互相重合 那么稱這個圖形是軸對稱圖形 軸對稱圖形 這條 直線就是對稱軸 對稱軸 練一練 1 下面是我們熟悉的四個交通標(biāo)志圖形 請從幾何圖形的性質(zhì)考慮 哪一個與其他三個不同 這個圖形是 寫出序號即可 2 下列軸對稱圖形中 只有兩條對稱軸的圖形是 圖 2 A B C D 3 觀察如圖所示的 26 個英文字母 其中是軸對稱的有 個 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 4 將一正方形紙片按圖 1 中 1 2 的方式依次對折后 再沿 3 中的虛線裁剪 最后將 4 中的紙片打開 鋪平 所得圖案應(yīng)該是下面圖案中的 課堂練習(xí) 1 下列圖形中一定是軸對稱圖形的是 A 梯形 B 直角三角形 C 角 D 平行四邊形 2 下列圖形中 是軸對稱圖形的為 D 3 下列各數(shù)中 成軸對稱圖形的有 個 BACD 2 4 如圖 由 個全等的正方形組成 L 形圖案 請你在圖案中改變 1 個正方形的位置 使它變成軸對稱圖案 請你在圖中再添加一個小正方形 使它變成軸對稱圖案 5 如圖是由三個小正方形組成的圖形 請你在圖中補畫一個一個小正方形 使補畫后的圖形為軸對稱圖形 軸對稱圖形的性質(zhì) 軸對稱圖形的性質(zhì) 1 對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分 2 對應(yīng)角相等 對應(yīng)線段相等 做軸對稱圖形 做軸對稱圖形 例題講解 1 作 ABC 關(guān)于直線 l 的對稱 A B C 2 下圖是從鏡中看到的一串?dāng)?shù)字 這串?dāng)?shù)字應(yīng)為 3 在鏡子中看到時鐘顯示的時間是 則實際時間是 A B C D H E F G 第 8 題 l 3 4 線段軸是對稱圖形 它有 條對稱軸 正三角形的對稱軸有 條 5 如圖 已知 ABC 中 BC AC AB 邊上的垂直平分線 DE 交 AB 于 D 交 AC 于 E AC 9 cm BCE 的周長為 15 cm 求 BC 的長 6 如圖 在 ABC 中 BC 10 邊 BC 的垂直平分線分別交 AB BC 于點 E 和 D BE 6 求 BCE 的周長 7 如圖 已知在 AB AC DB DC 則 AD BC 為什么 8 如圖 已知 ABD 與 AEC 都是等邊三角形 求證 BE DC 4 9 如圖 在 ABC 中 AB AC BAC 120 D F 分別為 AB AC 的中點 DE AB GF AC E G 在 BC 上 BC 15cm 求 EG 的長度 10 如圖 已知 AOB 和 AOB 內(nèi)一點 P 你能在 OA 和 OB 邊上各找一點 Q 和 R 使得由 P Q R 三點組成的三角 形周長最小嗎 11 已知 如圖 在 AOB 外有一點 P 試作點 P 關(guān)于直線 OA 的對稱點 P1 再作點 P1關(guān)于直線 OB 的對稱點 P2 試探索 POP2與 AOB 的大小關(guān)系 若點 P 在 AOB 的內(nèi)部 或在 AOB 的一邊上 上述結(jié)論還成立嗎 課后練習(xí) 1 如圖 矩形 ABCD 沿 AE 折疊 使點 D 落在 BC 邊上的點 F 處 如果 BAF 60 那么 DAE 2 已知 Rt ABC 中 斜邊 AB 2BC 以直線 AC 為對稱軸 點 B 的對稱點是 B 如圖所示 則與線段 BC 相等的 線段是 與線段 AB 相等的線段是 和 與 B 相等的角是 和 因此 B 3 等腰 ABC 中 AB 的中垂線與 AC 所在直線相交成的銳角為 50 則底角 B 的大小為 O A B P O A B P 5 4 如圖 P Q 是 ABC 的邊 BC 上的兩點 且 BP PQ QC AP AQ 則 BAC 5 如圖 ABC 與 ACB 的平分線相交于 F 過 F 作 DE BC 交 AB 于 D 交 AC 于 E 求證 BD EC DE 6 如圖 點 D 在 AC 上 點 E 在 AB 上 且 AB AC BC BD AD DE BE 求 A 的度數(shù) 7 如圖 BC AB BD 平分 ABC 且 AD DC 求證 A C 180 8 如圖 AOB 內(nèi)一點 P 分別畫出 P 關(guān)于 OA OB 的對稱點 P1 P2 連接 P1P2交 OA 于 M 交 OB 于 N 若 P1P2 5cm 則 PMN 的周長為多少 6 簡單的軸對稱圖形之等腰三角形簡單的軸對稱圖形之等腰三角形 概念 概念 等腰三角形相等的兩邊叫做腰 另一邊叫底 兩腰的夾角叫頂角 腰和底邊的夾角叫底角 性質(zhì) 等腰三角形是軸對稱圖形 頂角平分線所在直線直線是它的對稱軸 等腰三角形的兩個底角相等 簡稱 等邊對等角 等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合 簡稱 三線合一 直角三角形中 30 所對直角邊等于斜邊的一半 例題講解 題型一 邊長與角度問題 題型一 邊長與角度問題 例例 1 1 等腰三角形的周長為 10 一邊長為 4 那么另外兩邊長為 等腰三角形的兩邊長分別為 3cm 和 6cm 則它的周長為 等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為 12cm 和 21cm 兩部分 則其底邊長為 cm 等腰三角形底邊上的高是底邊的一半 則它的頂角為 5 等腰三角形一個角是 30 求其他兩個角 6 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是 30 求頂角 例 2 如圖 在 ABC 中 AB AC 點 D 在 BC 上 且 AD BD 1 ADC 70 求 BAC 的度數(shù) 2 找出圖中相等的角并說明理由 例 3 如圖 ABC 中 ABAC BD 是 ABC 的平分線 且 BDC 75o 求 BAC 的度數(shù) 題型二 周長問題題型二 周長問題 例 4 一個等腰三角形的周長為 15cm 一腰上的中線把周長分為兩部分 這兩 部分的差為 6cm 求腰長 D C B A D A B C A BC D 7 例 5 如圖 ABC 中 ABC ACB 的平分線交于點 F 過點 F 作 DE BC 分別交 AB AC 于 D E 已知 ADE 的周長為 20cm 且 BC 12cm 求ABC 的周長 題型三 等腰三角形個數(shù)題型三 等腰三角形個數(shù) 例 6 如圖 ABC 中 AB AC A 36 BD CE 分別為 ABC 與 ACB 的 角平分線 且相交于點 F 則圖中的等腰三角形有 A 6 個 B 7 個 C 8 個 D 9 個 例 7 P 為等邊 ABC 所在平面上一點 且 PAB PBC PCA 都是等腰三角形 這樣的點 P 有 個 練習(xí) 小明將兩個全等且有一個角為60 的直角三角形拼成如圖所示的圖形 其中兩條較長直角邊在同一直線上 則圖中等腰三角形的個數(shù)是 4 3 2 1 題型四 等腰三角形證明題型四 等腰三角形證明 例8 如圖 在 ABC中 AB AC E為CA延長線上一點 ED BC于D交AB于F 求證 AEF為等腰三角形 基礎(chǔ)練習(xí) 1 若OD平分 AOB DE OB交OA于E 求證 EO ED 2 如圖 4 AD BC BD平分 ABC 求證 AB AD A B C DE F f A 36 E D F B C A FC D H B M E G 8 E D B A C 3 如圖 在 ABC中 AB AC ABD ACD 求證 DBC是等腰三角形 4 已知 ABC 中 BAC 90 AB AD AC CAD 30 求 BCD 和 DBC 的度數(shù) 5 如圖 點D 在的邊上 求證 EABC BCABAC ADAE BDCE 6 已知 如圖 AB AC BD AC 垂足為點 D 求證 DBC 2 1 A D CB A A C 9 F E C B A DC B A 7 如圖 ABC中 ACB 90 AC AE BC BF 求 ECF 的度數(shù) 8 已知 如圖 在中 AD是的平分線 ABC 90B ABBC A 求證 ABBDAC 提高練習(xí) 9 已知 如圖 BDE 是等邊三角形 A 在 BE 延長線上 C 在 BD 的延長線上 且 AD AC 求證 DE DC AE 10 如圖所示是一個正三角形 分別連結(jié)各邊的中點得到圖 2 再分別連結(jié)圖 2 中間小三角形三邊的中點得到圖 3 其中 s 表示圖中等邊三角形的個數(shù) 問 1 當(dāng) n 4 時 s 為多少 2 請你按此規(guī)律寫出用 n 表示 s 的公式 11 如圖 已知 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 的延長線上 BD CE DE 交 BC 于點 F 求證 DF EF A B C D E F n 3 s 9 n 2 s 5n 1 s 1 10 12 如圖 已知 ABC 中 AH BC 于 H C 35 且 AB BH HC 求 B 度數(shù) 13 已知 如圖 ABC 中 C 90 CM AB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D 交 BC 于 T 過 D 作 DE AB 交 BC 于 E 求證 CT BE 14 在 ABC 中 B 2 C AD 是 BAC 的平分線 求證 AC AB BD 15 如圖 已知 AD 平分 BAC EF 垂直平分 AD 交 BC 的延長線于 F 連結(jié) AF 求證 CAF B 12 題圖 C A B H A C TE B M D A C D B BDC A E F 11 16 如圖 1 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分線交于點 D 過 D 作 EF BC 交 AB 于 E 交 AC 于 F 易證 EF BE CF 當(dāng) D 為 ABC 的平分線和 ACB 的外角平分線的交點 如圖 2 時 或當(dāng) D 為 ABC 的外角平分線和 ACB 的 外角平分線的交點 如圖 3 時 其它條件都不變 EF BE CF 的關(guān)系又如何 請對圖 2 進行證明 A BC D E F H A BC D E F G A B C D EF G 圖 1 圖 2 圖 3 題型五 等腰三角形分割問題題型五 等腰三角形分割問題 例 8 在 ABC 中 AB AC 若過其中一個頂點的一條直線 將 ABC 分成兩個等腰三角形 求 ABC 各內(nèi) 角的度數(shù) 只要求出三個不同的解 例 9 1 如圖 1 ABC 中 90C 請用直尺和圓規(guī)作一條直線 把ABC 分割成兩個等 腰三角形 2 已知內(nèi)角度數(shù)的兩個三角形如圖 2 圖 3 所示 請你判斷 能否分別畫一條直線把它們分割成 兩個等腰三角形 若能 請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù) 練習(xí) 1 已知一個三角形的一個內(nèi)角為 54 如果過該三角形一個頂點的直線可以將其分為兩個等 腰三角形 那么這個三角形的最大角為 練習(xí) 2 數(shù)學(xué)課上 同學(xué)們探究下面命題的正確性 頂角為36 的等腰三角形具有一種特性 即經(jīng) 過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形 為此 請你解答問題 1 1 1 已知 如圖 在 ABC中 AB AC A 36 直線BD平分 ABC交AC于點D 求證 ABD與 DBC都是等腰三角形 AB C 圖 1 AB C 圖 2 24 24 84 AB C 圖 3 104 52 12 F E D C B A 2 2 在證明了該命題后 小穎發(fā)現(xiàn) 下面兩個等腰三角形如圖 也具有這種特性 請你在圖 圖 中分別畫出一條直線 把它們分成兩個小等腰三角形 并在圖中標(biāo)出所畫等腰三角 形兩個底角的度數(shù) 3 3 接著 小穎又發(fā)現(xiàn) 直角三角形和一些非等腰三角形也具有這樣的特性 如 直角三角形斜 邊上的中線可把它分成兩個小等腰三角形 請你畫出兩個具有這種特性的三角形的示意圖 并在圖中標(biāo)出三角形各內(nèi)角的度數(shù) 說明 要求畫出的兩個三角形不相似 而且既不是等腰三角形也不是直角三角形 課后練習(xí)課后練習(xí) 1 等邊三角形 ABC 中 D 為 AC 的中點 延長 BC 到 E 使 CE CD 若 AB 10 則 BE 2 如圖 已知 OC 平分 AOB CD OB 若 OD 3 則 CD 3 等腰三角形的一個外角為 140 則這個三角形的頂角為 4 等腰三角形的兩邊長分別為 9 和 4 它的周長為 5 ABC 中 A B C 1 2 3 AB 10 則 BC 6 如圖 ABC 中 AB AC B 30 EF 垂直平分 AB 如 CF 8 則 BF 7 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 30 腰長為 4 cm 則其腰上的高 為 cm 8 在等腰 ABC中 AB AC AD BC于D 且AB AC BC 50cm 而AB BD AD 40cm 則AD cm 9 如圖 P 25 又PA AB BC CD 則 DCM 10 如圖 在 ABC 中 BAC 90o AB AC ABC 的平分線交 AC 于 D 過 C 作 BD 垂線交 BD 的延長線于 E 交 BA 的延長線于 F 求證 BD 2CE 6 F E CB A 2 1 O D C B A E D C B A A BC h t t p w w w w e i f e n g w e b c o m D 圖 圖 圖 36 1 2 3 13 B B D DC C A A 11 如圖 在 ABC 中 D 是 BC 邊上一點 AD BD AB AC CD 求 BAC 的度數(shù) 12 ABC 中 ABAC BD 是 ABC 的平分線 且 BDC 75o 求 BAC 的度數(shù) 13 如圖 中 E在AC上 且 求證 ABC ACAB AEAD BCDF 14 如圖 且 ABAC 30BAD ADAE 求的度數(shù) EDC 15 如圖 中 于 平分 ABC 90ACB CDBA DAEBAC 求證 是等腰三角形 CEF A BC D 14 16 已知在 ABC 中 AB AC BD AC 于 D CE AB 于 E BD 與 CE 相交于 M 點 求證 BMC 是等 腰三角形 17 如圖 在 ABC 中 AB AC 點 D E 分別在 AC AB 上 且 BC BD DE EA 求 A 的度數(shù) 18 如圖 CA CB DF DB AE AD 求 A 的度數(shù) 19 在 ABC 中 AB AC 1 1 如圖 1 如果 BAD 30 AD 是 BC 上的高 AD AE 則 EDC 2 如圖 2 如果 BAD 40 AD 是 BC 上的高 AD AE 則 EDC 3 思考 通過以上兩題 你發(fā)現(xiàn) BAD 與 EDC 之間有什么關(guān)系 請用式子表示 2 如圖 3 如果 AD 不是 BC 上的高 AD AE 是否仍有上述關(guān)系 如有 請你寫出來 并說明理由 A B C D E A B C D E A B C D E A C D 12 M A 15 1 2 3 20 已知 如圖 AF平分 BAC BC AF 垂足為E 點D與點A關(guān)于點E對稱 PB分別與線段 CF AF相交于P M 1 求證 AB CD 2 若 BAC 2 MPC 請你判斷 F與 MCD的數(shù)量關(guān)系 并說明理由 等邊三角形等邊三角形 定義 三條邊相等的三角形是等邊三角形 性質(zhì) 等邊三角形三條邊相等 三個角相等都是 60 有三條對稱軸 判定 三條邊相等 三個角等都 60 有一個角是 60 的等腰三角形 知識點一知識點一 等邊三角形性質(zhì)及推論 等邊三角形性質(zhì)及推論 1 如圖所示 已知等邊三角形ABC的邊長為 按圖中所示的規(guī)律 用個這樣的三角形鑲嵌而12008 成的四邊形的周長是 2008200920102011 2 如圖 等邊三角形 ABC 的三條角平分線交于點 O DE BC 則這個圖形中的等腰三角形共有 A 4 個 B 5 個 C 6 個 D 7 個 3 如圖 ABC 和 BDE 都是等邊三角形 如果 ABE 40 那么 ABD FM P E D C B A C A B A CB DE O A B C D E D C B A 2 題圖題圖 3 題圖題圖 4 題圖題圖 16 DC A B A 80 B 90 C 100 D 105 4 Rt ABC 中 CD 是斜邊AB 上的高 A 30 BD 2cm 則AB 的長度是 A 2cm B 4cm C 8cm D 16cm 5 在等邊三角形 ABC 所在的平面內(nèi)找一點 P 使 PAB PAC 和 PBC 都是等腰三角形 具有這樣 性質(zhì)的點 P 一共有 A 1 個 B 4 個 C 7 個 D 10 個 6 ABC 中 B C 15 AB 2cm CD AB 交 BA 的延長線于點 D 則 CD 長 7 如圖等邊三角形 ABC 的高 AH 10 D 是邊 AB 的中點 P 是 AH 上一個動點 則 CP DP 的最小值是 8 如圖 等邊三角形 ABC 中 BD 是 AC 邊上的中線 BD BE 則 EDA 度 9 如圖 等腰三角形 ABC 中 AB AC BAC 20 分別以 AB AC 為邊向外作正 ABD 正 ACE 連 接 BE CD 交于 F 則 BFC 度 10 如圖 ABC 中 AB AC BAC 120 AD AC 交BC 于點D 求證 BC 3AD 11 如圖 已知 ABC 和 BED 都是等邊三角形 且 A E D 在一條直線上 求證 P H D C B A 7 題圖題圖 B B C CD DA A E E A BC D F E 8 題圖題圖 9 題圖題圖 17 12 如圖 點 E 是等邊 ABC 內(nèi)一點 且 EA EB ABC 外一點 D 滿足 BD AC 且 BE 平分 DBC 求 BDE 的度數(shù) 13 如圖在等腰直角三角形 ABC 外以直角邊 AC 為邊作正 ACD AE CD 于 E BD AE 交于 F 連接 CF 求證 CDF 為等腰直角三角形 知識點二 等邊三角形與全等知識點二 等邊三角形與全等 1 如圖 C 是線段 AB 上的任一點 分別以線段 AC BC 為邊向同側(cè)作等邊三角形得 ACD 和 BCE 連 接 AE BD 分別交 DC EC 于點 M N 連 MN 則如下結(jié)論 AE BD CM CN MN AB CMN 是等邊三角形 EHB 60 中一定正確的結(jié)論有 個 A 2 個 B 3 個 C 4 個 D 5 個 F E D C B A E D C A B 18 1 1 題圖題圖 2 2 題圖題圖 3 3 題圖題圖 2 如圖所示 在等邊 ABC 中 AD BE CF D E F 不是中點 連結(jié) AE BF CD 構(gòu)成一些全等三角形 如果將三個全等三角形組成一組 那么圖中全等三角形的組數(shù)是 A 3 個 B 4 個 C 5 個 D 6 個 3 如圖 等邊 ABC 的邊長為 3 P 為 BC 上一點 且 BP 1 D 為 AC 上一點 若 APD 60 則 CD 的長為 A B C D 3 2 2 3 1 2 3 4 4 如圖所示 已知 D P 分別是等邊三角形 ABC 內(nèi) 外一點 且 DA DB AB BP DBP DBC 求 BPD 的度數(shù) 5 如圖 等邊 ABC 中 D 是 BC 中點 DE AC 于點 E 證明 CE AC 4 1 6 如圖 2 中 ADBE 相交于 于 ABC ABBCCAAECD PBQAD Q 求證 2BPPQ 圖 2 A CBD Q E P 19 7 已知等邊 ABC BM CN 1 探索 BN AM 的關(guān)系 2 當(dāng)點 M 運動到 BC 延長線上時 其余條件不變 則 1 的結(jié)論是否成立 K N C A BM K N C A BM 知識點三 等邊三角形的綜合應(yīng)用知識點三 等邊三角形的綜合應(yīng)用 1 如圖 在等邊 ABC 中 D 是 AC 的中點 E 是 BC 延長線上一點 且 CE CD 請說明 DB DE 的理由 2 已知 如圖 ABC 和 BDE 都是等邊三角形 且 A E D 三點在一直線上 請你說明 DA DB DC A BC D E A B C D E 20 3 如圖 ABC 中 AB AC BAC 120 AD AC 交 BC 于點 D 求證 BC 3AD 4 如圖 已知點 B C D 在同一條直線上 ABC 和 CDE 都是 等邊三角形 BE 交 AC 于 F AD 交 CE 于 H 求證 BCE ACD 求證 CF CH 判斷 CFH 的形狀并說明理由 18 分 E D C A B H F 線段的垂直平分線線段的垂直平分線 知識要點總結(jié)知識要點總結(jié) 1 定義 垂直平分 一條線段的 直線 叫線段的垂直平分線 2 性質(zhì) 線段垂直平分線上的點 到這條線段兩個端點的距離 相等 三角形三邊的垂直平分線 相交于一點 且到 三個頂點的距離 相等 3 判定 到一條線段兩個端點 距離相等 的點 在這條線段的垂直平分線上 題型一 定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等 題型一 定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等 例例 1 1 在 ABC 中 AB 的中垂線 DE 交 AC 于 F 垂足為 D 若 AC 6 BC 4 求 BCF 的周長 E C F A D B 例例 2 2 如圖 ABC 中 AD 為 BAC 的平分線 AD 的垂直平分線 EF 交 BC 的延長線于點 F 連接 AF 求證 B CAF E DFCB A DC A B 21 A D F B E G C 練習(xí) 練習(xí) 1 1 已知 如圖 BAC 1200 AB AC AC 的垂直平分線交 BC 于 D 則 ADC 2 2 ABC 中 A 500 AB AC AB 的垂直平分線交 AC 于 D 則 DBC 的度數(shù) 3 3 如圖 ABC 中 DE FG 分別是邊 AB AC 垂直平分線 則 B BAE C GAF 若 BAC 1260 則 EAG 4 4 如圖 1 26 在 ABC中 B 115 AC的垂直平分線與AB交于點D 且 ACD BCD 5 3 則 BDC 5 5 已知 如圖 DE 是 ABC 的 AB 邊的垂直平分線 分別交 AB BC 于 D E AE 平分 BAC 若 B 300 求 C 的度數(shù) 6 6 如圖 1 23 在 ABC中 AB AC A 120 AB的垂直平分線交BC于D 求證 CD 2BD 7 7 如圖所示 在 ABC 中 AB AC BAC 1200 D F 分別為 AB AC 的中點 DE ABFG AC E G 在 BC 上 BC 15cm 求 EG 的長度 8 8 圖 在 ABC 中 AB AC BC AE CD AD BE 相交于點 P BQ AD 于 Q 求證 BP 2PQ 1 23 D C BA 1 26 D C B A P Q E D CB A 22 C E A D B F 9 如圖 在中 AB AC 的平分線 BD 交 AC 于 D CE BD 的延長線于點 E 求ABC 0 90A ABC 證 1 2 CEBD 題型二 定理題型二 定理 到一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上到一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上 例例 3 3 如圖所示 AC AD BC BD AB 與 CD 相交于點 E 求證 直線 AB 是線段 CD 的垂 直平分線 例例 4 4 如圖所示 Rt ABC 中 D 是 AB 上一點 BD BC 過 D 作 AB 的垂線交 AC 于點 E CD 交 BE 于 點 F 求證 BE 垂直平分 CD 例例5 5 如圖 ABC 中 AB AC P Q R 分別在 AB BC AC 上 且 BP CQ BQ CR 求證 點 Q 在 PR 的垂直平分線上 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí) 如圖 1 ABC 中 B 2 C AD BC 于 D 求證 CD AB BD 一變 ABC 中 ABC 2 C AD BC 于 D 延長 CB 到 N 使 BN AB 連接 AN 如圖 2 求證 CD AB BD Q R P BC A 213 A C D E B 23 二變 ABC 中 B 2 C AD BC 于 D 作 AC 的中垂線分別交 AC 于 G 交 CD 于 H 連接 AH 如 圖 3 求證 CD AB BD 用尺規(guī)作線段的垂直平分線用尺規(guī)作線段的垂直平分線 已知 線段 AB 求作 線段 AB 的垂直平分線 作法 1 分別以點 A 和 B 為圓心 以大于 AB 的長為半徑作弧 兩弧相交于點 C 和 D 1 2 2 作直線 CD 直線 CD 就是線段 AB 的垂直平分線 因為直線 CD 與線段 AB 的交點就是 AB 的中點 所以我們也用這種方法作線段的中點 定理 三角形三邊的垂直平分線相交于一點 并且這一點到三個頂點的距離相等定理 三角形三邊的垂直平分線相交于一點 并且這一點到三個頂點的距離相等 證明 在 ABC 中 設(shè) AB BC 的垂直平分線相交于點 P 連接 AP BP CP 點 P 在線段 AB 的垂直平分線上 PA PB 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離 相等 同理 PB PC PA PC 點 P 在 AC 的垂直平分線上 到一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直 平分線上 AB BC AC 的垂直平分線相交于點 P 題型三 軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用題型三 軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用 最短路線問題最短路線問題 例 1 如圖 在直線 CD 上有一動點 P P 在 CD 上從右往左運動的過程中 找出 1 點 P 到 A B 距離之和最小時的位置 2 點 P 到 A B 距離相等時的位置 3 點 P 到 A B 的距離之差最大時 P 的位置 24 例 2 在銳角 AOB 內(nèi)有一定點 P 試在 OA OB 上確定兩點 C D 使 PCD 的周長最短 例 3 如圖 EFGH是一個長方形的彈子球臺面 有黑白兩球 分別位于A B兩點的位置 1 試問 怎樣撞擊黑球A 使黑球A先碰撞臺邊EF 反彈后再撞擊白球B 2 怎樣撞擊黑球A 使黑球先碰撞臺邊GH反彈后再擊臺邊EF 最后擊白球B 如圖 EFGH是一個長方形的彈子球臺面 有黑白兩球分別位于A B兩點的位置 1 試問 怎樣撞擊黑球A 使黑球A先碰撞臺邊EF反彈后再撞擊白球B 2 怎樣撞擊黑球A 使黑球先碰撞臺邊GH反彈后再擊臺邊EF 最后擊白球B 練習(xí) 練習(xí) 1 在一條大的河流中有一形如三角形的小島 如圖 3 岸與小島有一橋相連 現(xiàn)準(zhǔn)備在小島的三 邊上各設(shè)立一個水質(zhì)取樣點 水利部門在岸邊設(shè)立了一個觀測站 每天有專人從觀測站步行去三 個取樣點取樣 然后帶回去化驗 請問 三個取樣點應(yīng)分別設(shè)在什么位置 才能使得每天取樣所 用時間最短 假設(shè)速度一定 25 O 1 21 CB A 課外練習(xí) 一 填空題 1 如圖 1 21 ABC中 A 52 點O是AC AB的垂直平分線的交 點 則 OCB 2 在 ABC中 AB AC 20cm AB的垂直平分線交AC于點D 若 BCD的周長為 32cm 則BC 二 選擇題 1 若某三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上 則該三角形是 A 銳角三角形 B 鈍角三角形 C 直角三角形 D 不能確定 2 如圖 1 22 ABC中 AB AC C 72 AB的垂直平分線交AC于 D 則下列結(jié)論 A 36 BD平分 ABC AD DB BC DB2 AB DC 其中正確的結(jié)論共有 A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 三 解答題 如圖 1 24 已知 在 ABC中 ACB 90 延長BC到D BD的垂直平分線交AB于 E DE交AC于F 求證 點E在AF的垂直平分線上 如圖 ABC 中 BAC 110 AB 的垂直平分線交 BC 于點 D AC 的垂直平分線交 BC 于點 E BC 10cm 1 22 D CB A F 1 24 E D C B A 小 島 小 島 觀測點 26 1 求 ADE 的周長 2 求 DAE 的度數(shù) 14 如圖 求作一點P 使 并且使點P到 的兩邊的距離相等 并說明你的理由 垂直平分線強化訓(xùn)練垂直平分線強化訓(xùn)練 1 AD BC BD DC 點 C 在 AE 的垂直平分線上 求證 AB AC CE DE AB BD 2 如圖 已知 線段CD垂直平分AB AB平分 求證 DAC BCAD F G EDCB A 27 3 如圖 已知 DE是AB的垂直平分線 D為垂足 交BC于E 求證 90CACAB2 DECE 4 如圖所示 ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分線 AE 3cm ABD 的周長為 13cm 求 ABC 的周長 5 如圖 在 ABC 中 AB AC A 120 AB 的垂直平分線 MN 分別交 BC AB 于點 M N 求證 CM 2BM 6 如圖在 ABC 中 AB AC BC 12 BAC 120 AB 的垂直平分線交 BC 邊于 點 E AC 的垂直平分線交 BC 邊于點 N 1 求 AEN 的周長 2 求 EAN 的度數(shù) 3 求證 AEN 是等腰三角形 A BC D E M N 28 7 如圖 在中 DE是AB的垂直平分線 ABC ACAB 65ABC 求 CBE 的度數(shù) 8 如圖 在 ABC 中 AC 的垂直平分線交 AC 于 E 交 BC 于 D ABD 的周長為 cm12 cmAC5 則 ABC 的周長 9 在 ABC 中 AD 是 BAC 平分線 AD 的垂直平分線分別交 AB BC 延長線 于 F E 求證 1 EAD EDA 2 DF AC 3 EAC B 10 如圖 AB AC MB MC 求證 直線 AM 是線段 BC 的垂直平分線 29 11 如圖 已知 E 是的平分線上的一點 垂AOB OAEC OBED 足分別是 C D 求證 OE 垂直平分 CD 12 如圖 已知 在中 的平分線交BC于D 且 垂足分別是ABC BAC ABDE ACDF E F 求證 AD是EF的垂直平分線 軸對稱之角平分線軸對稱之角平分線 一一 知識要點 知識要點 1 角平分線的作法 尺規(guī)作圖 思考 這一畫法的根據(jù)是什么 2 角平分線的性質(zhì)及判定 1 角平分線的性質(zhì) 文字表達文字表達 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等 幾何表達幾何表達 OP OP 平分平分 MON MON 1 1 2 2 PA OMPA OM PB ONPB ON 已知 已知 PA PA PBPB 角平分線的性質(zhì) 角平分線的性質(zhì) 思考 這一性質(zhì)定理的根據(jù)是什么 2 角平分線的判定 30 文字表達文字表達 到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上 幾何表達幾何表達 PA OM PA OM PB ONPB ON PAPA PBPB 已知 已知 1 1 2 2 OPOP 平分平分 MON MON 角平分線的判定 角平分線的判定 思考 這一判定定理的根據(jù)是什么 二 典型例題典型例題 題型一 角平分線的性質(zhì)題型一 角平分線的性質(zhì) 例 1 1 三角形內(nèi)一點到三角形的三個頂點的距離相等的點是三角形 的交點 2 三角形內(nèi)一點到三角形的三邊的距離相等的點是三角形 的交點 例 2 ABC中 C 90 AD平分 BAC交BC于D 且BD CD 3 2 BC 15cm 則點D到AB的距 離是 例 3 已知 如圖 在 ABC中 A 90 AB AC BD平分 ABC 求證 BC AB AD 練習(xí) 練習(xí) 如圖所示 在 ABC 中 C 90 AC BC DA 平分 CAB 交 BC 于 D DE AB 于 E AB 10 求 BDE 的周長 已知 如圖 3 ABC 中 C 90 點 O 為 ABC 的三條角平分線的交點 OD BC OE AC OF AB 點 D E F 分別是垂足 且 AB 10cm BC 8cm CA 6cm 則點 O 到三邊 AB AC 和 BC 的距離分別等于 cm A 2 2 2 B 3 3 3 C 4 4 4 D 2 3 5 題型二 角平分線的判定及應(yīng)用題型二 角平分線的判定及應(yīng)用 例 1 如圖所示 已知 ABC 的角平分線 BM CN 相交于點 P 那么 AP 能否平分 BAC 請說明理 由 由此題你能得到一個什么結(jié)論 例 2 如圖 BP是 ABC的外角平分線 點P在 BAC的角平分線上 求證 CP是 ABC的外角平分 線 D B A C 31 例 3 如圖 AD DC BC DC E 是 DC 上一點 AE 平分 DAB E 是 DC 的中點 求證 BE 平分 ABC 例 4 如圖 ABC 中 ABC 1000 ACB 的平分線交 AB 于 E 在 AC 上取一點 D 使 CBD 200 連結(jié) DE 求 CED 的度數(shù) 例 5 在四邊形 ABCD 中 AC 平分 BAD 且 BC CD 求證 B D 180 變式 如圖 ABC 中 AD 是 BAC 的平分線 E F 分別為 AB AC 上的點 且 EDF BAF 180 求證 DE DF 32 角平分線課后作業(yè) 1 在 Rt ABC 中 C 90 AD 是角平分線 若 BC 10 BD CD 3 2 則點 D 到 AB 的 距離是 A 4 B 6 C