第53屆國際數(shù)學奧林匹克中國國家隊選拔測試三解答.doc

第53屆國際數(shù)學奧林匹克中國國家隊選拔測試三解答第一天2012年3月25日 上午8：0012：301.如圖,銳角中,為的垂心,點、分別在邊、上，,為的外心.點與在直線的同側(cè)，使得為正三角形.證明：、三點共線.證法一：如圖, 設為的垂心, 延長、交于點, 延長、交于點,易知、四點共圓.由知：,即.設為點關于的對稱點,則.由知：.因此為正三角形.由及知：與相似,因此與（順）相似,由此推出與（順）相似.用表示向量與的夾角（逆時針方向為正）.由于,因此,而與均為正三角形,所以與全等.因此.由此可知,即 . 由、即知, 、三點共線, 得證.證法二：以為原點建立復平面，以每點的字母表示這點所對應的復數(shù)，設，則，且. 由得：， 同理. 由為正三角形知：，所以，要證、三點共線,即證，也就是證明.將，代入得到，.只需證明 ，比較左右兩邊的實部與虛部即知這是成立的，得證.2. 證明：對任意給定的整數(shù), 存在個互不相同的正整數(shù), 使得對任意整數(shù), , , 以及任意非負整數(shù), 只要, 就有證明： 我們證明更強的命題：對任意正實數(shù), 以及任意正整數(shù), 都存在個正整數(shù), 滿足, , 且對任意實數(shù), , , 以及任意非負整數(shù), 只要, 就有 不妨設, 對用數(shù)學歸納法證明上述命題. 時, , 只需取即可. 假設結(jié)論對成立, 我們有滿足要求, 且, , 現(xiàn)考慮的情形. 先取定一個正整數(shù), 滿足,再令, , 取充分大的正整數(shù), 使得, 以及 . 下面證明這組滿足要求. 設實數(shù)(注意到此時有), 以及非負整數(shù),滿足.若, 則(這里用到式)若, 則(這里用到式)這不可能.若, 再考慮三種情況, 若, 則 (這里用到式)這不可能. 若, 則, 注意到, , 由歸納假設知若, 則 (這里用到式)這樣便驗證了所取的滿足條件，結(jié)論證畢.3. 求滿足下面條件的最小實數(shù): 對任意一個首項系數(shù)為1的2012次實系數(shù)多項式,都可以將其中的一些系數(shù)乘以, 其余的系數(shù)不變, 使得新得到的多項式的每個根都滿足, 這里和分別表示復數(shù)的實部和虛部.解答：首先我們說明. 考慮多項式, 通過改變的系數(shù)符號, 得到4個多項式, , 和. 注意到與有相同的根, 其中之一為, 此外與有相同的根, 且為的所有根的相反數(shù), 故有一根, 由此得下面證明滿足題目要求. 對任意,將其系數(shù)適當改變符號后可以得到多項式,其中，；對，我們證明的每一個根, 都滿足. 用反證法：假設有一個根, 使得, 則, 并且要么與的夾角小于, 要么與的夾角小于. 假設與的夾角小于, 另一種情況只需考慮的共軛虛根. 分兩種情形：若在第一象限(或虛軸上), 設, 其中為將逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與相同方向的最小角度. 對, 若, 則; 若, 則, 又, 故每個的輻角主值在中, 此角狀區(qū)域的頂角為, 又, 不全為0, 它們的和不能等于0. 若在第二象限, 設, 若, 則; 若, 則, 于是每個的輻角主值都在中, 由于, 而, , 不全為0, 它們的和不能等于0.綜上所述, 所求最小實數(shù)為.第二天2012年3月26日 上午8：0012：304. 給定整數(shù)，設，已知對任意，為平方數(shù)，證明：證明：引理：設正整數(shù)為中元素，為中元素，則引理的證明：首先注意（這等價于）故但由條件，此式左右兩邊均為整數(shù)，由此得到將上式兩邊展開，得到因，故，結(jié)合上式得到，故回到原題， 設， ，不妨設由于為平方數(shù)，故若，不妨設，則由均為平方數(shù)及，易知，從而因此，或者有，或者有應用引理可知，從而，若，則有，若，則有，故總有5. 求所有具有下述性質(zhì)的整數(shù)：存在整數(shù)，滿足, , , , 且.證: 若有平方因子, 設, , 取即滿足條件.下設無平方因子.若存在兩個素數(shù), 使得，設，兩兩不同，. 由于與中至少有1個數(shù)與互素（否則整除它們的差，即，矛盾），取這個數(shù)為，則，. 同理可在與兩數(shù)中取一個數(shù)，使，. 從而，且.這樣的滿足條件.若不存在兩個素數(shù), 使，易驗證這樣的整數(shù)只可能等于15, 30或者形如（其中為奇素數(shù)）. 易知時，不存在滿足條件的；當時，滿足條件.綜上所述，整數(shù)滿足題設當且僅當不是奇素數(shù)、奇素數(shù)的兩倍及30.6. 由個單位方格構(gòu)成的正方形棋盤的一些小方格中停有甲蟲, 一個小方格中至多停有一只甲蟲. 某一時刻, 所有的甲蟲飛起并再次全部落在這個棋盤的方格中, 每一個小方格中仍至多停有一只甲蟲. 一只甲蟲飛起前所在小方格的中心指向再次落下后所在小方格的中心的向量稱為該甲蟲的“位移向量”, 所有甲蟲的“位移向量”之和稱為“總位移向量”. 就甲蟲的個數(shù)及始、末位置的所有可能情況, 求“總位移向量”長度的最大值.解答: 以棋盤中心為原點, 平行于格線建立直角坐標系, 將所有小方格的中心點記為集合, 初始時停有甲蟲的小方格中心點記為集合, 再次落下后停有甲蟲的小方格中心點記為集合, 同一甲蟲前后兩次停留的小方格給出了到的一一對應, 于是總位移向量等于. 注意到式與無關, 因此只需對所有, 求式的最大值. 可不妨設, 否則將同時減去它們的交集后式不改變. 由于的選取方式有限, 設對某一對, 取得最大值. 顯然，過作垂直于的直線.引理一: 不過中任意一點, 且為某一側(cè)的所有中的點，為另一側(cè)的所有中的點.引理一的證明: 首先, 否則由于為偶數(shù), 至少有兩個點不在中, 不妨設與的夾角不超過, 則, 故將加入, 加入后, 嚴格增大, 這與的最大性矛盾. 于是互為補集. 其次, , 如若不然, 則中都包含一對對稱點, 即存在, 使得, . 不妨設與的夾角不超過, 則與的最大性矛盾, 故是對稱的點集. 不過中任意一點，如若不然，設過, ，則將換入, 換入后, 總位移向量為, 注意與的夾角等于，則, 矛盾. 最后我們說明，是一側(cè)的所有中的點（指向的那一側(cè)），是另一側(cè)的所有中的點如若不然，在指向的一側(cè)有，另一側(cè)有，則與的夾角小于，這樣將換入，換入，變?yōu)?，長度嚴格變大，與的最大性矛盾. 至此引理一獲證.引理二: 設, 是過的一條直線, 且不過中點. 在一側(cè)的所有點記為, 另一側(cè)的所有點記為, 則的最大值在水平(或垂直)時取得, 此時的方向為垂直(或水平).引理二的證明: 的點落在一個正方形邊界上, 每邊上有個點. 設該正方形的四個頂點分別為, , , . 由對稱性, 不妨設過AD內(nèi)部, 且斜率非負, 這樣設與AD的交點在AD上從上往下第個中的點和第個中的點之間. 此時算得， 其中分別表示水平和垂直單位向量. 記，則.上式作為關于的二次函數(shù), 對稱軸在處, 易知當時，取最大值，即取最大值, 此時，即是水平直線