2019年高考數(shù)學復習三角函數(shù)解三角形第6節(jié)正弦定理和余弦定理學案文北師大版.docx

第六節(jié)正弦定理和余弦定理 考綱傳真掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題 (對應學生用書第50頁) 基礎知識填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C公式變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2. 在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin Aababab解的個數(shù)一解兩解一解一解3. 三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r為內切圓半徑)知識拓展1三角形內角和定理在ABC中，ABC；變形：.2三角形中的三角函數(shù)關系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sincos ；(4)cossin .3在ABC中，sin Asin BABabcosAcos BABab基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在ABC中，若AB，則必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，則B45或135.()(4)在ABC中，.()解析(1)正確ABabsin Asin B(2)錯誤由cos A0知，A為銳角，但ABC不一定是銳角三角形(3)錯誤由ba知，BA(4)正確利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知結論正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定C由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形3(2016全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()AB C2D3D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故選D4(2017全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，C已知C60，b，c3，則A_.75如圖，由正弦定理，得，sin B.又cb，B45，A180604575.5在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積等于_. 【導學號：00090109】2由題意及余弦定理得cos A，解得c2，所以Sbcsin A42sin 602.(對應學生用書第51頁)利用正、余弦定理解三角形(1)(2017全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，C已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()ABCD(2)在ABC中，BAC，AB6，AC3，點D在BC邊上，ADBD，求AD的長B(1)因為a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A.由A知C為銳角，故C.故選B(2)設ABC的內角BAC，B，C所對邊的長分別是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由題設知0B，所以cos B.在ABD中，因為ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.規(guī)律方法1.正弦定理是一個連比等式，只要知道其比值或等量關系就可以運用正弦定理通過約分達到解決問題的目的2(1)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應用變式訓練1(1)(2017鄭州模擬)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，則角B的大小為()A30B45C60D120(2)(2016全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.(1)A(2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2aC又cos B，cos B，B30.(2)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.判斷三角形的形狀(1)(2017東北三省四市二聯(lián))在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，滿足acos Abcos B，則ABC的形狀為() 【導學號：00090110】A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2018廣州模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2c2a2bc，若sin Bsin Csin2A，則ABC的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形(1)D(2)C(1)因為acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D(2)由b2c2a2bc得cos A.A(0，)，A.由sin Bsin Csin2A得bca2，代入b2c2a2bc得(bc)20，即bc，從而ABC是等邊三角形規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁2無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能變式訓練2設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因為AB，所以AB法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2aB與三角形面積有關的問題(2015全國卷)已知a，b，c分別為ABC內角A，B，C的對邊，sin2B2sin Asin C(1)若ab，求cos B；(2)設B90，且a，求ABC的面積解(1)由題設及正弦定理可得b22aC2分又ab，可得b2c，a2C由余弦定理可得cos B.5分(2)由(1)知b22aC7分因為B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，進而可得ca.9分所以ABC的面積為1.12分規(guī)律方法三角形面積公式的應用方法：(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化變式訓練3(2016全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)C(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定