高中數(shù)學(xué)第二講一圓周角定理互動(dòng)課堂學(xué)案新人教A版選修.docx

一 圓周角定理互動(dòng)課堂重難突破一、圓周角定理圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.應(yīng)當(dāng)注意的是,圓心角與圓周角一定是對(duì)著同一條弧,它們才有上面定理中所說(shuō)的數(shù)量關(guān)系.在圓周角定理的證明中,運(yùn)用了數(shù)學(xué)中分類(lèi)討論和化歸的思想以及完全歸納的證明方法.這個(gè)定理是從特殊情況入手研究的,當(dāng)角的一邊過(guò)圓心時(shí),得到圓周角與同弧上的圓心角的關(guān)系,然后研究當(dāng)角的一邊不經(jīng)過(guò)圓心時(shí),圓周角與同弧上的圓心角之間的關(guān)系,在角的一邊不經(jīng)過(guò)圓心時(shí),又有兩種情況,一是圓心在圓周角內(nèi),二是圓心在圓周角外.經(jīng)過(guò)這樣分不同情況的討論,最后得到不論角的一邊是否經(jīng)過(guò)圓心,都有定理中的結(jié)論成立.在幾何里,許多定理的證明,都需要像這樣分情況進(jìn)行,后面還會(huì)遇到這種分情況證明的定理.另外,通過(guò)這個(gè)定理的分析、證明,我們可以看到,在幾何里討論問(wèn)題時(shí),常常從特殊情況入手,因?yàn)樘厥馇闆r下問(wèn)題往往容易解決,如圖2-1-1中,中間一種情況為圓周角的一邊經(jīng)過(guò)圓心,此時(shí)AOB =2C很容易證明.特殊情況下的問(wèn)題解決之后,再想辦法把一般情況下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問(wèn)題,如圖2-1-1左圖和右圖的情況,通過(guò)輔助線(xiàn),把它們變成中間那樣的兩個(gè)角的和或差,這樣利用特殊情況下的結(jié)論,便可使一般情況下的結(jié)論得證.定理也可理解成一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的二倍;圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半.圖2-1-1二、圓周角定理的兩個(gè)推論推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.如圖2-1-2,ABE =ACE =ADE,A =B =C.圖2-1-2推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角,90的圓周角所對(duì)的弦是直徑.如圖2-1-3,ACB =ADB =AEB =90,AB是直徑.圖2-1-3圓周角定理及其推論是進(jìn)一步推導(dǎo)圓其他重要性質(zhì)的理論根據(jù),而且對(duì)于角的計(jì)算,推證角相等、弧相等、弦相等,判定相似三角形、直角三角形等平面幾何中常見(jiàn)問(wèn)題提供了十分簡(jiǎn)便的方法,學(xué)習(xí)中要注意體會(huì).三、刨根問(wèn)底問(wèn)題1在一個(gè)圓中,圓周角與它所對(duì)的弧的對(duì)應(yīng)關(guān)系,在解決問(wèn)題當(dāng)中有什么作用？實(shí)踐中如何加以應(yīng)用？探究:在圓中,只要有弧,就存在著弧所對(duì)的圓周角.同弧對(duì)的圓周角相等,而相等的角為幾何命題的推論提供了條件.但是在剛剛學(xué)習(xí)圓的知識(shí)或圖形比較復(fù)雜時(shí),往往缺少用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的意識(shí)或困難,應(yīng)該在實(shí)踐中不斷摸索和總結(jié)規(guī)律.比如由弧找角,如圖2-1-4中,已知,那么在所對(duì)的圓周上任取一點(diǎn)都可得到相等的圓周角C =D =E.也可以由角找弧,再由弧找角,如圖2-1-5中,AD平分BAC,得1=2,1對(duì),2對(duì),3也對(duì)CD,故1=2=3,如果要證DBEDAB,無(wú)疑兩個(gè)相等的角為此提供了條件. 圖2-1-4 圖2-1-5問(wèn)題2在圓中,直徑所對(duì)的圓周角等于90,解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)怎樣利用這一條件？探究:只要在已知中給出了直徑這一條件,一是要想到它和半徑的關(guān)系,還要想到封閉了它所對(duì)的圓周角,便得到了直角三角形,這樣有關(guān)直角三角形的性質(zhì)便可應(yīng)用了.如圖2-1-6,以CD為直徑的O交ACD的兩邊于B、E,連結(jié)BE.求證:ADcosA=AB.圖2-1-6此題必須先證AD、AB所在ABD為直角三角形,此時(shí)連結(jié)BD,可由直徑所對(duì)的圓周角為90,創(chuàng)設(shè)了所需的條件.又如圖2-1-7,在O中,直徑ABCD,弦AECF.要證ABECDF,在知A =C,AB =CD時(shí),缺少一個(gè)條件,由AB、CD為直徑,想到連結(jié)BE、CF,便可知E =F =90,這就為證三角形全等提供了條件.活學(xué)巧用【例1】如圖2-1-8,已知O中,AOB=2BOC.求證:ACB=2BAC.圖2-1-8思路解析:圓周角ACB與圓心角AOB對(duì)同一條弧,所以ACB =AOB,同理,BAC =BOC,再利用已知條件可得結(jié)論.證明:ACB =AOB,AOB =2BOC,ACB =BOC,BAC =BOCACB =2BAC.【例2】 如圖2-1-9,已知圓心角AOB的度數(shù)為100,則圓周角ACB的度數(shù)為()圖2-1-9A.80B.100C.120D.130思路解析:要求ACB,只需求所對(duì)的圓心角,然后利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可求解.解:AOB =100,所對(duì)的圓心角為260,ACB =130.故選D.【例3】如圖2-1-10,以AB為直徑的半圓上任取兩點(diǎn)M和C,過(guò)點(diǎn)M作MNAB,交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于E,交BC于F.求證:MN是NF和NE的比例中項(xiàng).圖2-1-10思路解析:題目即證MN2=NFNE,連結(jié)AM、BM,從而構(gòu)造出RtAMB,但MN、NE、NF共線(xiàn),無(wú)法由相似三角形直接證得,因此要考慮用等積式或等比式過(guò)渡.注意到MNAB,MN2=ANBN,下面只需證ANBN =NENF,這可以由AEN與BFN相似證得.證明:連結(jié)AM、BM,AB為直徑,AMB =90.又MNAB,AMNMBN.MN2=ANBN.又FNAB,E +EAB =90.E =ABC.又ENA =FNB =90,AENFBN.=,即ANBN =NENF.MN2 =NENF,即MN為NE和NF的比例中項(xiàng).【例4】如圖2-1-11,在RtABC中,BCA =90,以BC為直徑的O交AB于E點(diǎn),D為AC的中點(diǎn),連結(jié)BD交O于F點(diǎn).求證: =.圖2-1-11思路解析:要證=,雖然四條線(xiàn)段分別在BEF與BCF中,但這兩個(gè)三角形一個(gè)是鈍角三角形,另一個(gè)是直角三角形,不可能相似,故只能夠借助中間比.證明:連結(jié)CE,BC為O的直徑,BFC =90,BEC=90.又ACB =90,BCE =A.又BF =BCE,BFE =A.BEFBAD.=.BFC =BCA,CBD=CBD,CBFDBC.=.又AD =CD,=.【例5】AB為O中的一條長(zhǎng)為4的弦,P為O上的一動(dòng)點(diǎn),cosAPB =.問(wèn)是否存在以A、P、B為頂點(diǎn)的面積最大的三角形,試說(shuō)明理由.若存在,求出這個(gè)三角形的面積.思路解析:因?yàn)锳B為定值,要使SAPB最大,只要AB邊上的高最大,所以P在弓形的最高點(diǎn)即可,又APB為定值,根據(jù)圓周角定理的推論,想到構(gòu)造直角三角形,使其一銳角等于APB.圖2-1-7解法一:存在以A、P、B為頂點(diǎn)的面積最大的三角形.圖2-1-12cosAPB=,APB90.AB不是直徑.過(guò)O作AB的垂線(xiàn)并延長(zhǎng),分別交優(yōu)弧和劣弧的中點(diǎn)于P、Q,且PD、QD為弓形的高,P為優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí),APB面積最大,作O直徑AC,連結(jié)BC,則ABC =90,APB=C,cosAPB =cosC = =.設(shè)BC=x,則AC =3x,在RtABC中,AB =4,由勾股定理AC2 =AB2+BC2,(3x)2 =42+x2,解得x =2.BC=2,AC =32. .AO =OC,AD =BD, .PD = PO + OD = + =.SAPB = ABPD =42=.解法二:同解法一,P為優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí),APB面積最