高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題提能三數(shù)列的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)教案理.docx

3 數(shù)列的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng) 提分策略一探究命題情景應(yīng)用能力此類問題多以新定義、新運(yùn)算或?qū)嶋H問題為背景考查數(shù)列的有關(guān)計(jì)算問題(2017高考全國(guó)卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20,21，再接下來的三項(xiàng)是20,21,22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A440B330C220D110解析：設(shè)第一項(xiàng)為第1組，接下來的兩項(xiàng)為第2組，再接下來的三項(xiàng)為第3組，依此類推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為.由題意可知，N100，令100，得n14，nN*，即N出現(xiàn)在第13組之后易得第n組的所有項(xiàng)的和為2n1，前n組的所有項(xiàng)的和為n2n1n2.設(shè)滿足條件的N在第k1(kN*，k13)組，且第N項(xiàng)為第k1組的第t(tN*)個(gè)數(shù)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則第k1組的前t項(xiàng)的和2t1應(yīng)與2k互為相反數(shù)，即2t1k2，2tk3，tlog2(k3)，當(dāng)t4，k13時(shí)，N495100，不滿足題意；當(dāng)t5，k29時(shí)，N5440；當(dāng)t5時(shí)，N440，故選A.答案：A點(diǎn)評(píng)本題以軟件激活碼為背景考查了學(xué)生利用邏輯推理分析問題解決新問題的能力，實(shí)質(zhì)上考查了數(shù)列求和的應(yīng)用對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練若數(shù)列an滿足d(nN*，d為常數(shù))，則稱數(shù)列an為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且b1b2b2 01920 190，則b2b2 018的最大值是_解析：因?yàn)閿?shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以bn1bnd，即數(shù)列bn是等差數(shù)列，所以b1b2b2 01920 190，所以b2b2 01820.又0，所以b20，b2 0180，所以b2b2 018202，即b2b2 018100(當(dāng)且僅當(dāng)b2b2 018時(shí)等號(hào)成立)，因此b2b2 018的最大值為100.答案：100提分策略二引入數(shù)學(xué)文化考核心素養(yǎng)(2017高考全國(guó)卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞B3盞C5盞D9盞解析：每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為an，則前7項(xiàng)的和S7381，公比q2，依題意，得S7381，解得a13.答案：B點(diǎn)評(píng)本例以古代傳統(tǒng)文化為背景，考查了與等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018衡水中學(xué)調(diào)研)今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，問：幾日相逢？()A12日B16日C8日D9日解析：由題易知良馬每日所行里數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an10313(n1)13n90，駑馬每日所行里數(shù)也構(gòu)成一等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn97(n1)n，二馬相逢時(shí)所走路程之和為21 1252 250，所以2 250，即2 250，化簡(jiǎn)得n231n3600，解得n9或n40(舍去)，故選D.答案：D2傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列bn，可以推測(cè)：(1)b2 012是數(shù)列an中的第_項(xiàng)；(2)b2k1_(用k表示)解析：由題意可得an123n，nN*，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述規(guī)律可知：b2ka5k(k為正整數(shù))，b2k1a5k1，故b2 012b21 006a51 006a5 030，即b2 012是數(shù)列an中的第5 030項(xiàng)答案：(1)5 030(2)提分策略三引入臨界知識(shí)考學(xué)科潛力高等數(shù)學(xué)背景型臨界問題對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，令x為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)x稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù)若anf()，nN*，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S3n()A.n2nB.n2nC3n22nD.n2n解析：由題意，當(dāng)n3k，n3k1，n3k2時(shí)均有anf()k，所以S3n001122(n1)(n1)(n1n3(n1)nn2n.答案：A點(diǎn)評(píng)本題以高斯函數(shù)為背景考查數(shù)列求和問題對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)無窮數(shù)列an，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得nN時(shí)，恒有|anA|成立，則稱數(shù)列an的極限為A.給出下列四個(gè)無窮數(shù)列：(1)n2；12222323n2n其中極限為2的數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A4B3C2D1解析：對(duì)于，|an2|(1)n22|2|(1)n1|，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，|an2|0；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，|an2|4，所以不符合數(shù)列an的極限定義，即2不是數(shù)列(1)n2的極限對(duì)于，|an2|11，所以對(duì)于任意給定的正數(shù)(無論多小)，不存在正整數(shù)N，使得nN時(shí)，恒有|an2|，即2不是數(shù)列的極限對(duì)于，由|an2|，得n1log2，即對(duì)于任意給定的正數(shù) (無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得nN時(shí)，恒有|an2|成立，所以2是數(shù)列的極限對(duì)于，|an2|12222323n2n2|222323n2n1，所以對(duì)于任意給定的正數(shù)(無論多小)，不存在正整數(shù)N，使得nN時(shí)，恒有|an2|，即2不是數(shù)列12222323n2n的極限綜上所述，極限為2的數(shù)列只有1個(gè)答案：D授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第133頁一、選擇題1在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確判斷的序號(hào)是()ABCD解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)an是等比數(shù)列，且公比q1時(shí)，an不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列0,1,0,1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個(gè)0，所以正確答案：C2九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)這個(gè)問題中，甲所得為()A.錢B.錢C.錢D.錢解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意有解得故選D.答案：D3宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著四元玉鑒中提出了一個(gè)“茭草形段”問題：“今有茭草六百八十束，欲令落一形(同垛)之，問底子幾何？”他在這一問題中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束，下一層3束，再下一層6束)成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù)，則本問題中三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為()A91B105C120D210解析：由題意得，從上往下第n層茭草束數(shù)為123n.136680，即n(n1) (n2)680，n(n1)(n2)151617，n15.故倒數(shù)第二層為第14層，該層茭草總束數(shù)為105.答案：B4(2018成都聯(lián)考)等差數(shù)列an中的a3，a2 017是函數(shù)f(x)x36x24x1的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a1 010的值為()A2BC2D解析：由題易得f(x)3x212x4，因?yàn)閍3，a2 017是函數(shù)f(x)x36x24x1的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以a3，a2 017是方程3x212x40的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以a3a2 0174.又?jǐn)?shù)列an為等差數(shù)列，所以a3a2 0172a1 010，即a1 0102，從而a1 0102，故選B.答案：B5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn3)(nN*)在函數(shù)y32x的圖象上，等比數(shù)列bn滿足bnbn1an(nN*)，其前n項(xiàng)和為Tn，則下列結(jié)論正確的是()ASn2TnBTn2bn1CTnanDTnbn1答案：D6中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，則第二天走了()A192里B96里C48里D24里解析：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比q，依題意有378，解得a1192，則a219296，即第二天走了96里，故選B.答案：B7我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，.第二步：將數(shù)列的各項(xiàng)乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，an.則a1a2a2a3an1an等于()An2B(n1)2Cn(n1)Dn(n1)解析：a1a2a2a3an1ann2n2n2n(n1)答案：C8(2018衡水中學(xué)期末改編)已知函數(shù)f(x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，對(duì)任意的x，yR，f(x)f(y)f(xy)2成立，若數(shù)列an滿足a1f(0)，且f(an1)f()，nN*，則a2 018的值為()A2B.C.D.解析：令xy0得f(0)2，所以a12.設(shè)x1，x2是R上的任意兩個(gè)數(shù)，且x1x2，則x2x10，因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)2，所以f(x2x1)2，即f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)22f(x1)2f(x1)，所以f(x)在R上是減函數(shù)因?yàn)閒(an1)f()，所以an1，即1，所以3()，所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以3n1，即an.所以a2 018.故選C.答案：C二、填空題9意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列an稱為斐波那契數(shù)列，則iai2的值為_解析：由題意，得a1a3a1211，a2a4a1341，a3a5a2591，a4a6a38251，a8a10a21553421，a9a11a34895521，所以iai2(aiai2a)1.答案：110“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2 016這2 016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_解析：能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15除余1的數(shù)，故an15n14.由an15n142 016，解得n，又nN*，故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為135.答案：13511已知冪函數(shù)f(x)x的圖象過點(diǎn)(9,3)，令an(nN*)，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 018_.解析：由冪函數(shù)f(x)x的圖象過點(diǎn)(9,3)，可得93，解得，所以f(x)x，則an.所以S2 018a1a2a2 01811.答案：112定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)列叫作等差列，這個(gè)常數(shù)叫作等差列的公差已知向量列an是以a1(1,3)為首項(xiàng)，公差為d(1,0)的等差向量列，若向量an與非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，則_.解析：易知an(1,3)(n1,0)(n,3)，因?yàn)橄蛄縜n與非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，所以，所以.答案：三、解答題13(2018臨川模擬)若數(shù)列bn對(duì)于任意的nN*，都有bn2bnd(常數(shù))，則稱數(shù)列bn是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列如數(shù)列cn則數(shù)列cn是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an滿足a1a，對(duì)于nN*，都有anan12n.(1)求證：an是準(zhǔn)等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20.解析：(1)證明：anan12n(nN*)，an1an22(n1)(nN*)，得an2an2(nN*)an是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列(2)a1a，anan12n(nN*)，a1a221，即a22a.其奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都為等差數(shù)列，公差為2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an2a(1)2na；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ana(1)2na1.ananan12n，S20(a1a2)(a3a4)(a19a20)2(1319)2200.14(2018孝感七校聯(lián)盟)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，且a23，S525.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn1.解析：(1