線性方程組的數(shù)值解法-安振華-2012011837

清華大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)5：線性方程組的數(shù)值解法化學(xué)工程系 分2 安振華 2012011837【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?、掌握線性方程組的常用數(shù)值解法，包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。 2、體驗(yàn)數(shù)值計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度和計(jì)算規(guī)模的關(guān)系。3、加深對(duì)數(shù)值計(jì)算誤差的理解。4、學(xué)習(xí)使用迭代法等算法，求解非線性方程。5、學(xué)習(xí)如何使用MATLAB解非線性方程組和方程組。【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】【實(shí)驗(yàn)五：習(xí)題9】種群的繁殖與穩(wěn)定收獲：種群的數(shù)量因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對(duì)于人工飼養(yǎng)的種群（比如家畜）而言，為了保證穩(wěn)定的收獲，各個(gè)年齡的種群數(shù)量應(yīng)保持不變，種群因雌性個(gè)體的繁殖而改變，為方便起見(jiàn)以下種群數(shù)量均指其中的雌性。種群年齡記作k=1,2,n，當(dāng)年年齡k的種群數(shù)量記作xk，繁殖率記作bk（每個(gè)雌性個(gè)體在1年繁殖的數(shù)量），自然存活率記作sk（sk=1-dk，dk為1年的死亡率），收獲量記作hk，則來(lái)年年齡k的種群數(shù)量應(yīng)為： 要求各個(gè)年齡的種群數(shù)量每年維持不變就是要使（1）若bk，sk已知，給定收獲量hk，建立求各年齡的穩(wěn)定種群數(shù)量xk的模型（用矩陣向量表示）（2）設(shè)n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如果要求h1h5為500,400,200,100,100,求x1x5（3）要使h1h5均為500，如何達(dá)到？【分析】為方便起見(jiàn)以下種群數(shù)量均指其中的雌性。我們并且有以下的假設(shè)：(1)雌性個(gè)體的繁殖率和存活率在特定的時(shí)間內(nèi)是不變的。(2)人工飼養(yǎng)的種群在質(zhì)量和數(shù)量上是不受外界環(huán)境和資源的限制的。(3)模型中不考慮人為的或是自然的災(zāi)害所造成的種群數(shù)量、繁殖率和存活率的變動(dòng)。(4)樣本的量足夠大使得每年新出生的個(gè)體數(shù)均為整數(shù)。(5)模型中的種群按年齡進(jìn)行分組?！窘獯稹?1)基于以上假設(shè)，要使各年齡種群數(shù)量每年維持不變即依題意得對(duì)上述方程組變換后得到 AX=H其中， X=x1,x2,x3,xnT H=0,h1,h2,hn-1T其解為X=A-1H此式即為種群數(shù)量xk 的模型。(2)MATLAB程序:clc;clear all;%按題給定的值賦予參數(shù)相應(yīng)的值s=0.4,0.6,0.6,0.4;b=0,0,5,3,0;h=500,400,200,100,100;n=5;%生成矩陣AA1=sparse(1,1:n,b,n,n);A2=-eye(n);A3=sparse(2:n,1:n-1,s,n,n);A=A1+A2+A3;%生成矩陣HH=0,h(1:4);%求解Xx=AH; X=round(x) %對(duì)結(jié)果取整運(yùn)行結(jié)果：k12345hk500400200100100XK 848128921335601141 結(jié)果分析：圖像顯示結(jié)果與前面分析大致相同，即圓桶在此過(guò)程做加速結(jié)果分析：其中x5=141h5=100，說(shuō)明方程的解滿足條件，計(jì)算正確。(3) 在上述程序中，將矩陣h的值全賦為500，其他不做任何變化，MATLAB程序:clc;clear all;%按題給定的值賦予參數(shù)相應(yīng)的值s=0.4,0.6,0.6,0.4;b=0,0,5,3,0;h=500,500,500,500,500;n=5;%生成矩陣AA1=sparse(1,1:n,b,n,n);A2=-eye(n);A3=sparse(2:n,1:n-1,s,n,n);A=A1+A2+A3;%生成矩陣HH=0,h(1:4);%求解Xx=AH; X=round(x) %對(duì)結(jié)果取整運(yùn)行結(jié)果：X1X2X3X4X51098138921835601-259結(jié)果分析：結(jié)果中X5 為負(fù)值，這顯然是不可能的，這說(shuō)明按題目中設(shè)定的前提條件是不可能使得h1,，h5 均為500 的。 對(duì)于一個(gè)特定的生物物種，通過(guò)人工條件改變其繁殖率是相當(dāng)困難的，但是可以通過(guò)改善養(yǎng)殖條件等方法增大物種的成活率。很顯然， x1x2x3x4500if sum(X)1.0769.(2) 方程有二個(gè)收斂極限時(shí)：根據(jù)，解出1.0769q0.9065.(3) 方程有四個(gè)收斂極限時(shí)：根據(jù)，解出0.9065q0.8968.(4) 方程有八個(gè)收斂極限時(shí)：根據(jù)，解出0.8968q0.8685.則。可見(jiàn)當(dāng)n較小時(shí)，其值與Feigenbaum常數(shù)差距很大。這與之前得到的結(jié)論一致！【結(jié)論】當(dāng)n值越大，比值越接近于Feigenbaum常數(shù)。 【實(shí)驗(yàn)總結(jié)】 對(duì)本章的學(xué)習(xí)讓我掌握了非線性方程及方程組的解法。在學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)我們總是比較喜歡解決線性的問(wèn)題，因?yàn)榫€性較好的函數(shù)會(huì)有一些我們?nèi)菀装盐盏男再|(zhì)。但是一旦涉及非線性問(wèn)題時(shí)，在理論上就已經(jīng)成為一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題。在本章之后我覺(jué)得數(shù)值解法基本都是通過(guò)迭代的方式進(jìn)行。像牛頓法就是在向我們展示如何科學(xué)地選擇一個(gè)高效迭代函數(shù)。 而混沌現(xiàn)象的計(jì)算又讓我對(duì)之前對(duì)“混沌”這個(gè)詞的感性認(rèn)識(shí)上升了一個(gè)層面。當(dāng)?shù)街械哪承﹨?shù)變化時(shí)，可能讓一個(gè)收斂序列變成幾個(gè)收斂子列，最終甚至完全看不出其變化規(guī)律。而實(shí)際的數(shù)值計(jì)算又難免有數(shù)值舍入誤差，這些誤差被混沌的現(xiàn)象放大之后，就會(huì)出現(xiàn)“失之毫厘，謬以千里”的錯(cuò)誤。因此一旦會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象時(shí)，對(duì)初值的代入再精確也沒(méi)有了意義。這一點(diǎn)可以指導(dǎo)實(shí)際生活中的許多事情