matlab符號運算基礎(chǔ)

三、符號運算基礎(chǔ),1,MATLAB不僅具有數(shù)值運算功能，還開發(fā)了實現(xiàn)符號計算的工具包SymbolicMathToolbox,符號運算的操作對象是非數(shù)值的符號對象,2,符號數(shù)學工具箱中的工具是建立在功能強大的Maple的基礎(chǔ)上。它最初是由加拿大的滑鐵盧(Waterloo)大學開發(fā)出來的。如果要求Matlab進行符號運算，那么首先由Maple計算并將結(jié)果返回到Matlab命令窗口。,符號運算的功能,符號線性代數(shù)因式分解、展開和簡化符號代數(shù)方程求解符號微積分符號微分方程支持可變精度運算支持符號運算并能以指定的精度返回結(jié)果,符號運算與數(shù)值運算的區(qū)別,符號運算使用字符串進行符號分析，而不是基于矩陣的數(shù)值分析數(shù)值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結(jié)果以標準的符號形式表達符號運算可以求解科學計算中數(shù)學問題的解析表達式精確解符號運算速度較慢,4,基本概念,符號變量：預先不要求有確定值的量符號表達式：代表數(shù)字、函數(shù)、算子和變量的Matlab字符串或字符串數(shù)組符號方程：含有等號的符號表達式符號矩陣：數(shù)組，其元素是符號表達式符號算術(shù)：使用已知的規(guī)則和給定符號恒等式求解這些符號方程的實踐，它與代數(shù)和微積分中的求解方法完全一樣,5,1.創(chuàng)建符號變量和符號表達式,MATLAB的符號工具箱提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms函數(shù)sym的調(diào)用格式符號變量名=sym(表達式)注：函數(shù)sym可創(chuàng)建一個符號變量，表達式可以是字符、字符串、數(shù)學表達式或字符表達式等,6,函數(shù)syms的調(diào)用格式syms符號變量名1符號變量名2注：函數(shù)syms可一次創(chuàng)建多個符號變量用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔,7,8,a=sym(MATLAB)a=MATLABb=sym(3*x2+4*x+7)b=3*x2+4*x+7symscdec=3xc=3x,9,數(shù)值矩陣A=1,2;3,4A=a,b;c,d不識別用matlab函數(shù)sym創(chuàng)建矩陣命令格式：A=sym()符號矩陣內(nèi)容同數(shù)值矩陣需用sym指令定義需用單引號標識注意與a,b;c,d的區(qū)別,2.符號矩陣的創(chuàng)建,10,A=sym(a,2*b;3*a,0)A=a,2*b3*a,0,注：符號矩陣的每一行的兩端都有方括號，這是與Matlab數(shù)值矩陣的一個重要區(qū)別。,3.符號常量,當數(shù)值常量作為sym()的輸入?yún)⒘繒r，就建立了一個符號對象符號常量。雖然看上去是一個數(shù)值量，但已經(jīng)是一個符號對象了。例：a=3/4;b=3/4;c=sym(3/4);d=sym(3/4);whos查看變量類型a為實雙精度浮點數(shù)值類型；b為實字符類型；c和d都是符號對象類型。,12,當符號表達式具有多個變量時，只有一個變量是獨立變量，MATLAB將基于以下準則選擇獨立變量：小寫字母i和j不能作為自由變量小寫字母x是首選符號變量其余小寫字母被選中的次序是：在英文字母中，靠近x的優(yōu)先，如果與x距離相同，則x之后的優(yōu)先大寫字母比所有小寫字母都靠后,4.符號變量的確定,13,findsym(s,n):按以下準則確定順序給出符號表達式s中的靠近x的n個符號變量根據(jù)變量的首字母排序，排序規(guī)則為xywzvu.aXYWZVU.A隨后的字母按字母順序排列，且大寫字母比小寫字母優(yōu)先：01.9AB.Zab.z,findsym(s):按字典順序給出符號表達式s中的所有符號變量,14,symsaxyztX1x2xaxbfindsym(sin(pi*t)ans=tfindsym(x+i*y-j*z)ans=x,y,z,findsym(a+y,1)ans=yfindsym(X1+x2+xa+xb)ans=X1,x2,xa,xbfindsym(X1+x2+xa+xb,4)ans=x2,xa,xb,X1,15,符號表達式的運算與普通數(shù)值運算不同，它的運算結(jié)果是符號表達式或符號矩陣Matlab6.5及以前的版本提供了很多函數(shù)用于符號計算，如symadd,symsub,symmul,symdiv,sympow等由于計算效率和計算精度不高，Matlab7.0及以后的版本已將其刪除，相應的計算只需鍵入數(shù)學運算符+,-,*,/,或,4.符號表達式的基本運算,16,例計算表達式與表達式的和、差、積、商與乘方,symsxs1=x3-1;s2=x-1;s1+s2ans=x3+x-2s1-s2ans=x3-x,s1*s2ans=(x3-1)*(x-1)s1/s2ans=(x3-1)/(x-1)s1s2ans=(x3-1)(x-1),17,復合函數(shù)compose(f,g)：返回復合函數(shù)f(g(y),其中f=f(x),g=g(y).其中符號x為函數(shù)f中由命令findsym(f)確定的符號變量,符號y為函數(shù)g中由命令findsym(g)確定的符號變量compose(f,g,z)：返回復合函數(shù)f(g(z)compose(f,g,x,z)：返回復合函數(shù)f(g(z),將函數(shù)f中的自變量x用g(z)代替compose(f,g,x,y,z)：返回復合函數(shù)f(g(z),將函數(shù)f中的自變量變量x用g(y)代替，然后用指定的變量z代替變量y,18,symsxyztu;f=1/(1+x2);g=sin(y);h=xt;p=exp(-y/u);compose(f,g)ans=1/(sin(y)2+1)compose(f,g,t)ans=1/(sin(t)2+1),compose(h,g,x,z)ans=sin(z)tcompose(h,g,t,z)ans=xsin(z)compose(h,p,x,y,z)ans=(1/exp(z/u)tcompose(h,p,t,u,z)ans=x(1/exp(y/z),19,反函數(shù)finverse(f)：返回函數(shù)f的反函數(shù)，其中f為單值的一元數(shù)學函數(shù)finverse(f,v)：若符號函數(shù)f中有多個符號變量時，對指定的符號變量v計算其反函數(shù),20,例求y=x2的反函數(shù),symsx;f=x2;g=finverse(f)Warning:finverse(x2)isnotunique.Insym.finverseat46g=x(1/2)compose(f,g)ans=x,21,例求y=tex的反函數(shù),f=sym(t*ex)f=t*exg=finverse(f)g=log(x/t)/log(e)g=finverse(f,t)g=t/ex,22,合并同類項collect(S,v)：合并多項式S中自變量v的同類項collect(S)：以findsym確定的變量合并多項式S的同類項,23,symsxf=(x3+x+1)*(x2+1)f=(x2+1)*(x3+x+1)collect(f)ans=x5+2*x3+x2+x+1,例合并多項式的同類項,24,例合并多項式的同類項,s=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t);e1=collect(s)%合并關(guān)于x的同類項系數(shù)e1=x3+(2*x2)/exp(t)+(1/exp(2*t)+1)*x+1/exp(t)e2=collect(s,exp(-t)%合并關(guān)于exp(-t)的同類項系數(shù)e2=x*(x2+1)+x/exp(2*t)+(2*x2+1)/exp(t)e3=collect(s,t)%合并關(guān)于t的同類項系數(shù)e3=(x+1/exp(t)*(x2+x/exp(t)+1),25,因式分解factor(s)：符號表達式s的因式分解horner(s)：符號表達式s的嵌套形式，即用多層括號的形式表示,26,例分解因式,symsxa;f=x3-a3f=x3-a3factor(f)ans=-(a-x)*(a2+a*x+x2),27,例將符號矩陣表達式的各個元素分解為多個因式,symsxb;f=x3+b3x4-1;x5-1x6-1f=b3+x3,x4-1x5-1,x6-1factor(f),28,例將多項式表示為嵌套形式,symsx;f=x6-x4-5*x3+5*x2+5*x-6f=x6-x4-5*x3+5*x2+5*x-6horner(f)ans=x*(x*(x*(x*(x2-1)-5)+5)+5)-6,29,例將數(shù)字1025分解為正整數(shù)之積,factor(1025)ans=5541factor(1025)?Errorusing=factorat21Nmustbeascalar.factor(sym(1025)ans=52*41,30,其它一些函數(shù)expand(s)：符號表達式s的展開numden(s)：返回符號表達式s經(jīng)過分式通分后的分子和分母simplify(s)：利用各種形式的代數(shù)恒等式對符號表達式s進行化簡simple(s)：通過對符號表達式s嘗試多種不同的方法（包括simplify）進行化簡，以尋求符號表達式S的最簡形式double(s)：將符號表達式s轉(zhuǎn)換為雙精度浮點數(shù),31,subs(s)：用工作空間中的變量替換符號表達式s中的所有變量subs(s,new)：用變量new替換符號表達式s中的自由變量subs(s,old,new)：用變量new替換符號表達式S中的變量old當變量new是數(shù)值形式時，顯示的結(jié)果雖然是數(shù)值，但實際上是符號變量.要強制求值,需要用vpa或eval函數(shù)vpa(s,n)：將s表示為n位有效位數(shù)的符號對象digits(d)：設(shè)置當前的可變算術(shù)（vpa）精度的位數(shù)為整數(shù)d位.d=digits返回當前的可變算術(shù)精度的位數(shù)給d,32,例將以下矩陣各元素展開,symsxy;f=exp(x+y)log(x2*y2);2(x+2)+1sin(x+y)f=exp(x+y),log(x2*y2)2(x+2)+1,sin(x+y)expand(f)ans=exp(x)*exp(y),log(x2*y2)4*2x+1,cos(x)*sin(y)+cos(y)*sin(x),33,例求出下列表達式的分子和分母,symsx;f=6/x2f=6/x2nd=numden(f)n=6d=x2,f=1/x3+6/x2+12/x+8f=12/x+6/x2+1/x3+8nd=numden(f)n=8*x3+12*x2+6*x+1d=x3,34,例化簡,symsx;f=sin(x)2+cos(x)2f=cos(x)2+sin(x)2sym