2020高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第九講數(shù)學(xué)高考的創(chuàng)新試題解題指導(dǎo) 第二節(jié)需要構(gòu)建模式的創(chuàng)新試題 文

第二節(jié) 需要構(gòu)建模式的創(chuàng)新試題高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的命題方向,是引導(dǎo)學(xué)生自覺地置身于現(xiàn)實(shí)生活的大環(huán)境中,關(guān)心身邊的數(shù)學(xué)問題,了解社會(huì),關(guān)心社會(huì),形成健全的人格.題型一 構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模式的問題【例1】有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為立方米，每天流出湖泊的水量都是立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用表示某一時(shí)刻每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式： （），其中是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).（）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)； （）求證：當(dāng)時(shí)，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；（）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%？點(diǎn)撥：本題結(jié)合實(shí)際生活中湖泊水質(zhì)的問題，得到湖水污染指數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，通過分析函數(shù)的特征，得到污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)的情況.解析：（）為常數(shù)， 有， () 我們易證得， 則， .故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.()污染停止即，設(shè)經(jīng)過天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，即，故需要天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.易錯(cuò)點(diǎn)：審題不清，未能理解湖水污染指數(shù)的函數(shù)關(guān)系式中各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，對于較為復(fù)雜解析式?jīng)]能找到影響函數(shù)單調(diào)性的參數(shù).變式與引申1.設(shè)D和D1是兩個(gè)平面區(qū)域,且.在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)M，記“點(diǎn)M落在區(qū)域D1內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)=.已知有序?qū)崝?shù)對(a,b)滿足a0,3,b0,2,則關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率是 .題型二 構(gòu)建二次函數(shù)模式的問題【例2】一個(gè)人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25米時(shí)，交通燈由紅變綠，汽車以1米 / 秒2的加速度勻加速開走，那么（ ）A人可在7米內(nèi)追上汽車 B人可在10米內(nèi)追上汽車C人追不上汽車,其間距離最近為5米 D人追不上汽車,其間距離最近為7米點(diǎn)撥：本題是一道加速行程問題, 需要運(yùn)用物理現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型，即汽車行程+25=人的行程，建立二次函數(shù)關(guān)系式解析：若經(jīng)t秒人剛好追上汽車，則S+25=6 t ，由S= ，得考慮距離差故當(dāng)t = 6時(shí),d 有最小值7 , 即人與汽車最少相距7米, 故選D易錯(cuò)點(diǎn)：理解物理運(yùn)動(dòng)情境時(shí)出現(xiàn)了偏差，未能得到正確的二次函數(shù)關(guān)系式.變式與引申2.五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù),規(guī)定:第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為 易錯(cuò)點(diǎn)：在歸納報(bào)數(shù)過程中出現(xiàn)的失誤，這就要求同學(xué)將整個(gè)報(bào)數(shù)過程寫出來.題型三 構(gòu)建對勾函數(shù)模式的問題【例3】某工廠擬建一座平面圖（如圖9-3所示）為矩形且面積為的三級(jí)污水處理池，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元（池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋）.()寫出總造價(jià)（元）與污水處理池長 ()的函數(shù)關(guān)系式； ()若由于地形限制，長、寬都不能超過，求的定義域； 圖9-2-1()在條件()下，污水處理池的長和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià).點(diǎn)撥：本題給出一個(gè)實(shí)際問題的情景，如何設(shè)計(jì)污水處理池，使得造價(jià)最低.首先需要根據(jù)題意建立造價(jià)關(guān)于設(shè)計(jì)方案的函數(shù)模型，再根據(jù)條件求出函數(shù)的定義域，在求解函數(shù)的最值方面常見的方法是分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，進(jìn)而求最值.解析：()因污水處理水池的長為，則寬為，總造價(jià)為： ()由題設(shè)條件，解得，即函數(shù)定義域?yàn)?)先研究函數(shù)在上的單調(diào)性，對于任意的，不妨設(shè)則，即又，即故函數(shù)在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí) 綜上，當(dāng)污水處理池的長為，寬為時(shí)，總造價(jià)最低，最低為45000元易錯(cuò)點(diǎn)：建立函數(shù)模型后為考慮函數(shù)定義域，對對勾函數(shù)的單調(diào)性不熟悉.【注】 對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù).所謂的對勾函數(shù)，是形如的函數(shù)，是一種教材上沒有但考試?yán)舷矚g考的函數(shù)，所以更加要注意和學(xué)習(xí). 我們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過的均值不等式實(shí)際就是對勾函數(shù)的參數(shù)a，b同號(hào)時(shí)的特例，等號(hào)成立時(shí)能取到最值；當(dāng)不能取到等號(hào)時(shí)就要用對勾函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值. 若a，b異號(hào)： （1）a0，b0時(shí)，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，遞增區(qū)間為（-，0）和（0，+）, （2）a0，b0時(shí)，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，遞減區(qū)間為（-，0）和（0，+）. 通過研究我們可以知道高中階段的對勾函數(shù)的參數(shù)主要是a，b同號(hào)，求最值的應(yīng)用，所以我們要熟悉對勾函數(shù)的圖像、性質(zhì)和單調(diào)性.本題考查的是學(xué)生對于對勾函數(shù)單調(diào)性的理解，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上取得極小值，這一函數(shù)性質(zhì)在不等式和導(dǎo)數(shù)中均有重要應(yīng)用.學(xué)生可思考若不限制函數(shù)的定義域，此題的最優(yōu)造價(jià)方案又將如何.變式與引申3.要建一間地面面積為20，墻高為的長方形儲(chǔ)藏室，在四面墻中有一面安裝一扇門（門的面積和墻面的面積按一定的比例設(shè)計(jì)）.已知含門一面的平均造價(jià)為300元，其余三面的造價(jià)為200元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為250元.問怎樣設(shè)計(jì)儲(chǔ)藏室地面矩形的長與寬，能使總價(jià)最低，最低造價(jià)是多少？本節(jié)主要考查：近年高考應(yīng)用題的背景始終以“貼近生活、背景公平、控制難度”為命題原則.隨著學(xué)習(xí)能力、理性思維能力、創(chuàng)新意識(shí)逐步納入高考考查的軌道，關(guān)心社會(huì)熱點(diǎn)的結(jié)合新增內(nèi)容的新穎的原創(chuàng)應(yīng)用試題會(huì)大量出現(xiàn).點(diǎn)評(píng)：所謂應(yīng)用意識(shí)就是能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)和說明.應(yīng)用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決.情境創(chuàng)新問題，題型新穎，形式多樣，融綜合性、應(yīng)用性、開放性、創(chuàng)新性于一體要求認(rèn)真理解題意，透過“現(xiàn)象”把握問題的本質(zhì)，并將它抽象成數(shù)學(xué)(如函數(shù)、數(shù)列、概率、不等式、三角等)問題，運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)求解習(xí)題921設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合.對于映射,記的象為.若映射滿足:對所有及任意的實(shí)數(shù)都有,則稱為平面M上的線性變換,現(xiàn)有下列命題:設(shè)為平面M上的線性變換,則;對,設(shè),則為平面M上的線性變換;若是平面M上的單位向量,對,設(shè),則為平面M上的線性變換;設(shè)是平面M上的線性變換,若共線,則也共線. 其中正確的命題序號(hào)是: .(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)2（2020年高考全國新課標(biāo)卷文）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到時(shí)下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)412423210（I）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（II）已知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為：估計(jì)用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤3如圖9-2-2，某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位：百米)的正方形剩余地塊，中間部分是一片池塘，池塘的邊緣曲線段為函數(shù)的圖像，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段為了美化該地塊，計(jì)劃修一條穿越該地塊的直路（寬度不計(jì)），直路與曲線段相切（切點(diǎn)記為），并把該地塊分為兩部分記點(diǎn)到邊距離為，表示該地塊在直路 左下部分的面積 （1）求的解析式； （2）求面積的最大值4某人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、第100站一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋子向前跳一站；若擲出反面，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時(shí)，該游戲結(jié)束設(shè)棋子跳到第站的概率為；()求，；()求證:；()求玩該游戲獲勝的概率【答案】習(xí)題9-21提示：答案為 容易判斷該命題正確; ,所以該命題是正確的; 運(yùn)用上面判斷的方法可以判斷該命題是錯(cuò)誤的; ,所以該命題正確2解：（）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的頻率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42（）由條件知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0當(dāng)且僅當(dāng)其質(zhì)量指標(biāo)值t94，由試驗(yàn)結(jié)果知，質(zhì)量指標(biāo)值t94的頻率為0.96，所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計(jì)值為0.96.用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均一件的利潤為（元）.3. 解：（1）因?yàn)?，?