安徽省安慶市2020屆高三數(shù)學(xué)模擬考試（二模）試題 文（含解析）

2020年安慶市高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合 ，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合M，然后和集合N取交集即可.【詳解】由題意得,則. 故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得到復(fù)數(shù)z，然后取模即可.【詳解】復(fù)數(shù),則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.3.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】等差數(shù)列中， 故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】對(duì)實(shí)數(shù)a按和進(jìn)行討論，根據(jù)自變量所在的范圍代入相應(yīng)的解析式計(jì)算即可得到答案.【詳解】由分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)知,其定義域是所以(1)當(dāng)時(shí), 即 解得 ，(2)當(dāng)時(shí), 就是,不成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計(jì)算，解決策略:(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式;(2) 求f(f(f(a)的值時(shí)，一般要遵循由里向外逐層計(jì)算的原則.5.如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿每個(gè)側(cè)面爬到，路線為，則螞蟻爬行的最短路程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】畫出棱柱的側(cè)面展開圖，由圖可得最短距離為對(duì)角線的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求.【詳解】正三棱柱的側(cè)面展開圖是如圖所示的矩形，矩形的長(zhǎng)為，寬為，則其對(duì)角線的長(zhǎng)為最短程. 因此螞蟻爬行的最短路程為. 故選:A. 【點(diǎn)睛】本題考查利用側(cè)面展開圖求最短路程，掌握把空間圖形展開轉(zhuǎn)化為平面圖形的解決方法，是基礎(chǔ)題6.函數(shù)的大致圖像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)的零點(diǎn)排除B，D選項(xiàng)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除C選項(xiàng)，即可求出結(jié)果.【詳解】令可得，即函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以排除B，D選項(xiàng)；又，所以由，可得，由得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故排除C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題型.7.“勾股圓方圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的一幅用來證明勾股定理的圖案，如圖所示.在“勾股圓方圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形.若直角三角形中較小的銳角滿足，則從圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在陰影部分的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為5，由已知條件求出小正方形和大正方形的面積，利用幾何概型公式即可得到答案.【詳解】設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為,由知直角三角形中較小的直角邊長(zhǎng)為，較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為，所以小正方形的邊長(zhǎng)為且面積,大正方形的面積為25，則此點(diǎn)落在陰影部分的概率是.故選：D.【點(diǎn)睛】處理這類與平面區(qū)域面積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把握題意,數(shù)形結(jié)合,畫出所有試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面區(qū)域和事件A所構(gòu)成的平面區(qū)域,求出兩個(gè)圖形的面積再求概率即可.8.為了計(jì)算，設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后輸出的SNT，由此知空白處應(yīng)填入的條件【詳解】模擬程序框圖的運(yùn)行過程知，該程序運(yùn)行后輸出的是SNT1+-=（1）+（）+（）；累加步長(zhǎng)是2，則在空白處應(yīng)填入ii+2故選：B【點(diǎn)睛】對(duì)于程序框圖的讀圖問題，一般按照從左到右、從上到下的順序，理清算法的輸入、輸出、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)等基本單元，并注意各要素之間的流向是如何建立的特別地，當(dāng)程序框圖中含有循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，需首先明確循環(huán)的判斷條件是什么，以決定循環(huán)的次數(shù)9.若函數(shù)在上的最大值是，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將cos2x寫成，然后轉(zhuǎn)為求二次函數(shù)類型的最值，即可得到m值.【詳解】因?yàn)楫?dāng)sinx=1時(shí)取到函數(shù)的最大值，即解得m=-3故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦的二倍角公式，考查二次函數(shù)求最值問題，屬于基礎(chǔ)題.10.直線是拋物線在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線l的方程，再利用圓心到直線的距離減半徑即為點(diǎn)P到直線的距離的最小值.【詳解】拋物線,即，,在點(diǎn)（-2,2）處的切線斜率為-2，則切線l的方程為y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0,所以圓心到的距離是，圓的半徑為2，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.11.如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位：）求得該幾何體的表面積是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體以一個(gè)頂點(diǎn)挖去一個(gè)八分之一的球體,利用表面積公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】由三視圖可以看出，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體以一個(gè)頂點(diǎn)挖去一個(gè)半徑為3的八分之一的球體.則幾何體的表面積為故選:A.【點(diǎn)睛】解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖.12.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)滿足，則下列命題中正確的是（）A. 函數(shù)圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為B. 函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. 函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱D. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)【答案】D【解析】【分析】由已知可得和是函數(shù)的兩條對(duì)稱軸，可確定出和值，得到f(x)解析式，由平移可得函數(shù)g(x)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)檢驗(yàn)判斷即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最大值是，所以，周期是，則又故n=1時(shí)，又因?yàn)樗?，故于是函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到.函數(shù)g(x)周期為,則兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；將代入函數(shù)g(x)解析式，函數(shù)值不為0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；將代入函數(shù)g(x)解析式，函數(shù)取不到最值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng) 時(shí)，由正弦函數(shù)圖像可知函數(shù)單調(diào)遞減，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)圖像的周期性，對(duì)稱性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像的平移變換，屬于中檔題.二、填空題：每題5分，滿分20分，將答案寫在題中橫線上.13.向量與向量的夾角余弦值是_【答案】【解析】【分析】利用向量夾角的公式計(jì)算即可得答案.【詳解】由已知向量，向量，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角運(yùn)算公式，屬于簡(jiǎn)單題.14.若雙曲線的一條漸近線方程是，則此雙曲線的離心率為_【答案】【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程可求得a,然后利用離心率公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)雙曲線方程可知其漸近線方程為,而已知是一條漸近線方程，則有，解得，又b=2,則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)實(shí)數(shù)滿足不等式，則函數(shù)的最大值為_【答案】11【解析】【分析】本題首先可以通過不等式組畫出在平面直角坐標(biāo)系中所表示的區(qū)域，然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為與直線平行的直線系，最后根據(jù)圖像得出結(jié)果?！驹斀狻坎坏仁奖硎緟^(qū)域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)為，是與直線平行的直線系，當(dāng)直線向上平移時(shí)，在增大，且過點(diǎn)時(shí)達(dá)到最大值，由得，從而?！军c(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)性質(zhì)，能否通過不等式組畫出其在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉了學(xué)生的繪圖能力，是簡(jiǎn)單題。16.在中，為的外心，若，其中.則點(diǎn)的軌跡所對(duì)應(yīng)圖形的面積是_【答案】【解析】【分析】畫出圖形，根據(jù)余弦定理即可求出cosA，從而得出A，再根據(jù)正弦定理即可求出OB，據(jù)題意可知，點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及內(nèi)部，從而可求出該軌跡所對(duì)應(yīng)圖形的面積【詳解】由余弦定理得，,所以.因此由題意知，點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)圖形是邊長(zhǎng)為的菱形,于是這個(gè)菱形的面積是故答案為：【點(diǎn)睛】考查正弦定理及余弦定理，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的幾何意義，考查三角形外心的應(yīng)用，屬于中檔題三、解答題 ：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.已知等比數(shù)列滿足：（）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（） ,；（）.【解析】【分析】（）由可得首項(xiàng)和公比，即可寫出通項(xiàng)和前n項(xiàng)和;（）寫出數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求和法可得結(jié)果.【詳解】（）由題可知，解得，即.所以的通項(xiàng)公式.前項(xiàng)和.（）. 所以數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.18.如圖所示，在三棱柱中，平面是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是線段上的中點(diǎn).（）證明：；（）若，且直線所成角的余弦值為，試指出點(diǎn)在線段上的位置，并求三棱錐的體積.【答案】（）見解析；（）.【解析】【分析】（）根據(jù)棱柱為直棱柱可得平面平面BC，由D為BC中點(diǎn)，得AD垂直BC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，從而得到證明；（）由直線所成角得，可得長(zhǎng)度，從而看確定點(diǎn)E的位置，然后利用可求得所求體積.【詳解】（）因?yàn)?，所以平面ABC.而平面BC,所以平面平面BC.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，且是等腰三角形，所以而平面ABC, 平面ABC平面BC=BC ,所以.又因?yàn)?，所以（），則.，即.又，所以，故，所以是直角三角形.在三棱柱中，直線所成角的余弦為，則在中，所以. 在中，所以.因?yàn)?，所以點(diǎn)是線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).因?yàn)樗?【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查棱錐體積的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求解體積是常用方法.19.我們知道，地球上的水資源有限，愛護(hù)地球、節(jié)約用水是我們每個(gè)人的義務(wù)和責(zé)任.某市政府為了對(duì)自來水的使用進(jìn)行科學(xué)管理，節(jié)約水資源，計(jì)劃確定一個(gè)家庭年用水量的標(biāo)準(zhǔn)，為此，對(duì)全市家庭日常用水的情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，并獲得了個(gè)家庭某年的用水量（單位：立方米），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.（）分別求出的值；（）若以各組區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值，試估計(jì)全市家庭平均用水量；（）從樣本中年用水量在（單位：立方米）的個(gè)家庭中任選個(gè)，作進(jìn)一步跟蹤研究，求年用水量最多的家庭被選中的概率（個(gè)家庭的年用水量都不相等）.【答案】（）n=200，a=0.0025，b=0.0125；（）27.25；（）【解析】【分析】（）利用頻率等于頻數(shù)比總數(shù)，即可求出n,a,b的值；（）利用每個(gè)矩形的底邊的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的小矩形的面積的乘積，然后作和，即可估計(jì)平均用水量；（）利用列舉法列舉出基本事件的總數(shù)，從中找到符合條件的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算【詳解】（）用水量在內(nèi)的頻數(shù)是，頻率是，則. 用水量在內(nèi)的頻率是，則.用水量在內(nèi)的頻率是，則.（）估計(jì)全市家庭年均用水量為 （）設(shè)代表年用水量從多到少的個(gè)家庭，從中任選個(gè)，總的基本事件為 共個(gè),其中包含的有 共個(gè).所以. 即年用水量最多的家庭被選中的概率是.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查古典概型概率的求法，利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時(shí)，易出錯(cuò)，應(yīng)注意區(qū)分這三者在頻率分布直方圖中：(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和20.如圖所示，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，離心率，長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)度之和為. （）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）在橢圓上任取點(diǎn)（與兩點(diǎn)不重合），直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，證明：為定值.【答案】（）；（）見解析.【解析】【分析】（）由題意，2a+2b10，結(jié)合 解得a3，b2，即得到橢圓方程；（）設(shè)P（x0，y0），直線PA交y軸于點(diǎn)C（0，y1），直線PB交y軸于點(diǎn)D（0，y2），求得直線PA，PB的方程，分別求出y1，y2，再根據(jù)向量的數(shù)量積即可證明.【詳解】（）由題可知，又解得.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）解法1：設(shè)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).則，即.易知同向，故. 因?yàn)椋缘弥本€的方程為，令，則；直線的方程為，令，則,所以 ，為定值.解法2：的左、右頂點(diǎn)分別為、，則有由（）知，設(shè)直線、的斜率分別為，則. 直線的方程為，令得；直線的方程為令得.所以.解法3：的左、右頂點(diǎn)分別為、，則 如題圖所示，.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用直線與曲線聯(lián)立求交點(diǎn)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題21.設(shè)函數(shù)，其中.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線互相垂直.（）求的值；（）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，代入g（x），對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A處的切線與g（x）的圖象在點(diǎn)B處的切線互相垂直列式求t值；（）設(shè)函數(shù)F（x）kg（x）2f（x）2kex（x+1）2x28x4，（x2），求其導(dǎo)函數(shù)，分類求得函數(shù)最小值，可得k的取值范圍【詳解】（）由得，.于是，所以.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直，所以，即 （），.設(shè)函數(shù)=（），則=.由題設(shè)可知，即.令 得 ， .（1）若，則，此時(shí)，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在取最小值.而 當(dāng)時(shí),，即恒成立.若則，此時(shí)在單調(diào)遞增，而 ，當(dāng)時(shí),，即恒成立. 若則，此時(shí) .當(dāng)時(shí)， 不能恒成立.綜上所述，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題請(qǐng)考生在（22）、（23）兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，