高考數(shù)學必修知識講解空間幾何體的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)

空間幾何體的結(jié)構(gòu)【學習目標】1利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征；2認識由柱、錐、臺、球組成的幾何組合體的結(jié)構(gòu)特征；3能用上述結(jié)構(gòu)特征描繪現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)【要點梳理】【高清課堂：空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱柱的結(jié)構(gòu)特征】要點一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點棱柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對角面2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱3、棱柱的表示方法：用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、；用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行.要點詮釋：有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱【高清課堂：空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱錐的結(jié)構(gòu)特征】要點二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐這個多邊形面叫做棱錐的底面有公共頂點的各個三角形叫做棱錐的側(cè)面各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐 ；SSDDCCBBAAECBAS3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐要點詮釋：棱錐有兩個本質(zhì)特征：（1）有一個面是多邊形；（2）其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可【高清課堂：空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】要點三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱要點詮釋：（1）用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面（2）經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸要點四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐要點詮釋：（1）用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面（2）經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線（3）圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側(cè)面的母線【高清課堂：空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱臺的結(jié)構(gòu)特征】要點五：棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征、定義：用一個平行于棱錐(圓錐)底面的平面去截棱錐(圓錐)，底面和截面之間的部分叫做棱臺(圓臺)；原棱錐(圓錐)的底面和截面分別叫做棱臺(圓臺)的下底面和上底面；原棱錐(圓錐)的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺(圓臺)的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺的軸.2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺；3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺；要點詮釋：（1）棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體所以，棱臺可還原為棱錐，即延長棱臺的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點（2）棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方（3）圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成.（4）圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方要點六：球的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球.半圓的半徑叫做球的半徑.半圓的圓心叫做球心.半圓的直徑叫做球的直徑.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要點詮釋：（1）用一個平面去截一個球，截面是一個圓面如果截面經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑（2）若半徑為的球的一個截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有要點七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；注：簡單幾何體的分類如下表：要點八：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、組合體的基本形式：由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常見的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合. 多面體與多面體的組合體 由兩個或兩個以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體如下圖（1）是一個四棱柱與一個三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖（3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組合體 多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體 由一個多面體與一個旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個三棱柱與一個圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成的 旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體 由兩個或兩個以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是由一個球體和一個圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個圓臺、一個圓柱和一個圓錐組合而成的 要點九：幾何體中的計算問題幾何體的有關(guān)計算中要注意下列方法與技巧：(1)在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個直角三角形，有關(guān)證明及運算往往與兩者相關(guān)(2)正四棱臺中要掌握其對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計算，有關(guān)問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個等腰梯形中另外要能夠?qū)⒄睦馀_、正三棱臺中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來(3)研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系(4)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一(5)圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決(6)關(guān)于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面幾何的有關(guān)知識解決；關(guān)于球與多面體的切接問題，要恰當?shù)剡x取截面，化“空間”為平面【經(jīng)典例題】類型一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1判斷下列說法是否正確 （1）棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形； （2）一個n（n3）棱柱共有2n個頂點； （3）棱柱的兩個底面是全等的多邊形；（4）如果棱柱有一個側(cè)面是矩形，則其余各側(cè)面也都是矩形【答案】（1）（2）（3）正確，（4）不正確 【解析】 （1）由棱柱的定義可知，棱柱的各側(cè)棱互相平行，同一個側(cè)面內(nèi)兩條底邊也互相平行，所以各側(cè)面都是平行四邊形（2）一個n棱柱的底面是一個n邊形，因此每個底面都有n個項點，兩個底面的頂點數(shù)之和即為棱柱的頂點數(shù)，即2n個（3）因為棱柱同一個側(cè)面內(nèi)的兩條底邊平行且相等，所以棱柱的兩個底面的對應(yīng)邊平行且相等，故棱柱的兩個底面全等（4）如果棱柱有一個側(cè)面是矩形，只能保證側(cè)棱垂直于該側(cè)面的底邊，但其余側(cè)面的側(cè)棱與相應(yīng)底邊不一定垂直，因此其余側(cè)面不一定是矩形 故（1）（2）（3）正確，（4）不正確【總結(jié)升華】解決這類與棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的命題真假判定的問題，其關(guān)鍵在于準確把握它們的結(jié)構(gòu)特征，也就是要以棱柱、棱錐、棱臺概念的本質(zhì)內(nèi)涵為依據(jù)，以具體實物和圖形為模型來進行判定舉一反三：【變式1】如下圖中所示幾何體中是棱柱有（ ） A1 B2個 C3個 D4個【答案】C【高清課堂：空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 同步練習】【變式2】 有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱嗎？【答案】不一定例2有下面五個命題： （1）側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐； （2）側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐； （3）底面是正方形的棱錐是正四棱錐； （4）正四面體就是正四棱錐； （5）頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是底面多邊形的外心的棱錐必是正棱錐其中正確命題的個數(shù)是（ ） A1個 B2個 C3個 D4個 【答案】 A 【解析】 本題主要考查正棱錐的概念，關(guān)鍵看是否滿足定義中的兩個條件 命題（1）中的“各側(cè)面都是全等的等腰三角形”并不能保證底面是正多邊形，也不能保證頂點在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱錐，如下圖（1）中的三棱錐S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，則此三棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱錐；命題（2）中的“側(cè)棱都相等”并不能保證底面是正多邊形，如下圖（2）中的三棱錐P-DEF，可令PD=PE=PF=1，EF=1，三條側(cè)棱都相等，但它不是正三棱錐；命題（3）中的“底面是正方形的棱錐”，其頂點在底面上的射影不一定是底面的中心，如下圖（3），從正方體中截取一個四棱錐D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱錐；命題（4）中的“正四面體”是正三棱錐三棱錐中共有4個面，所以三棱錐也叫四面體四個面都是全等的正三角形的正三棱錐也叫正四面體；命題（5）中的“頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心”，說明了底面是一個正多邊形，符合正棱錐的定義 舉一反三：【變式1】如果一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐這種說法是否正確？如果正確說明理由；如果不正確，舉出反例【答案】不正確【解析】如圖所示的幾何體由兩個底面相等的四棱錐組合而成，它有一個面是四邊形，其余各面都是三角形，但是該幾何體不是棱錐例3判斷下圖所示的幾何體是不是臺體？為什么？ 【解析】三個圖都不是臺體（1）AA1，DD1交于一點，而BB1，CC1交于另一點，此圖不能還原成錐體，故不是臺體：（2）中面ABCD與面A1B1C1D1不平行，故也不是臺體；（3）中應(yīng)O與O1不平行，故也不是臺體 【總結(jié)升華】判斷一個幾何體是否為臺體，必須緊扣臺體的兩個本質(zhì)特征：（1）由錐體截得的；（2）截面平行于錐體的底面即棱臺的兩底面平行，且側(cè)棱必須相交于同一點；圓臺的兩底面平行，且兩底面圓心的連線與兩底面垂直舉一反三：【變式1】判斷如下圖所示的幾何體是不是臺體？為什么？ 【答案】 都不是臺體【解析】因為和都不是由棱錐所截得的，故都不是臺體；雖然是由棱錐所截，但截面不和底面平行，故不是臺體只有用平行于錐體底面的平面去截錐體，底面與截面之間的部分才是臺體是一個臺體，因為它是用平行于圓錐SO底面的平面截圓錐SO而得的類型二：幾何體中的基本計算 例4圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角是45，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑【答案】14 cm，7 cm和21 cm【解析】圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，延長交的延長線于點S在RtSOA中，ASO45，則SAO45SOAO3x cm， ，解得x7，圓臺的高，母線長，底面半徑分別為7 cm和21 cm【總結(jié)升華】對于這類旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計算問題，其關(guān)鍵在于作出它們的軸截面（即過旋轉(zhuǎn)鈾的截面），再把它們轉(zhuǎn)化為平面幾何問題即可舉一反三：【變式1】已知圓臺的上、下底面積之比為1：9，圓臺的高為10，求截得圓臺的圓錐的高【解析】設(shè)圓錐的高為，上、下底半徑為則，解得類型三、簡單幾何體的組合體例5指出下圖中的圖形是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的 【解析】 分割原圖，使它們的每一部分構(gòu)成簡單幾何體 （1）是一個三棱柱和一個四棱柱組合而成的； （2）是一個圓錐和一個四棱柱組合而成的 【總結(jié)升華】判定實物圖是由哪些簡單幾何體所組成的圖形問題，首先要熟練掌握簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，其次要善于將復雜的組合體“分割”成幾個簡單的幾何體會識別較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力舉一反三：【變式1】如下圖，觀察下列幾何體，分析它們是由哪些基本幾何體組成的，并說出它們的主要結(jié)構(gòu)特征 【答案】圖（1）是由一個四棱柱在它的上、下底面上向內(nèi)挖去一個三棱柱組成的幾何體，它有9個面，14個頂點，21條棱，具有四棱柱和三棱柱的結(jié)構(gòu)特征 圖（2）是一個四棱柱和一個底面與該四棱柱上底面重合的四棱錐組成的幾何體，它有9個面，9個頂點，16條棱，具有四棱柱和四棱錐的結(jié)構(gòu)特征 圖（3）是由一個三棱柱和一個底面與該三棱柱的上底面重合的三棱臺組成的幾何體，它有9個頂點，8個面，15條棱，具有三棱柱和三棱臺的結(jié)構(gòu)特征【變式2】 如下圖（1）是由圖（2）中的平面圖形（ ）旋轉(zhuǎn)得到的 【答案】A【總結(jié)升華】要作出一個平面圖形繞某一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，一般是先作出這個平面圖形的各頂點（如果是