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文檔簡介

在介紹本節(jié)內(nèi)容之前,我們先介紹幾個常用的數(shù)學(xué)符號.設(shè)A，B是滿足某種性質(zhì)元素的兩個集合,如果a是A中的元素，記作aA；如果a不是A中的元素，記作aA；如果A是B的子集,即任取aA，都有aB，記作AB；如果A是B的真子集，即AB，存在bB，但bA，記作AB.,1.5數(shù)域,在數(shù)學(xué)中，許多問題的討論都與數(shù)的范圍有關(guān).例如一元二次方程x2+1=0的求解問題,它在有理數(shù)范圍或?qū)崝?shù)范圍內(nèi)都沒有解,只在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)才有解x=i.為了對于不同的數(shù)的范圍統(tǒng)一地討論這些問題,常常需要用到數(shù)域的概念.,定義1.5.1設(shè)P是由一些數(shù)組成的集合,包含0和1.如果P中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不等于零）仍在P中,那么我們稱P是一個數(shù)域.,例如,全體有理數(shù)組成的集合Q,全體實(shí)數(shù)組成的集合R,全體復(fù)數(shù)組成的集合C,都是數(shù)域,分別稱為有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域,它們之間的關(guān)系是:QRC.顯然全體整數(shù)組成的集合就不是數(shù)域.,例1.5.1證明:所有形如,(a,b是有理數(shù))的實(shí)數(shù)組成的集合P是一個數(shù)域.,證在集合P中任取二數(shù):,則有,由于,所以a2,b2不全為0,注意到,于是,顯然這仍是P中的一個數(shù).所以P是一個數(shù)域.,由這個例子看出,數(shù)域有窮多個.下面的定理指出，有理數(shù)域是所有的數(shù)域中最小的一個.,定理1.5.1設(shè)P為任何一個數(shù)域，則QP.,證因P是一個數(shù)域，所以它含有1.由于P滿足加法運(yùn)算，則1+1=2,2+1=3,(n-1)+1=n全在P中，即P包含全體自然數(shù).又0在P中，P滿足減法運(yùn)算，0-n=-n也在P中，因此P包含了全體整數(shù).因?yàn)槿魏我粋€有理數(shù)都可以表成兩個整數(shù)之商，再由P滿足除法運(yùn)算，即知題設(shè)結(jié)論成立.證畢.,本

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