數(shù)形結(jié)合課件

如何在幾何教學中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,框架圖,一、小學數(shù)學中數(shù)形結(jié)合的思想小學數(shù)學中的數(shù)與形小學數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合的作用三、中學生的特點及數(shù)形結(jié)合思想教學的四個階段第一階段滲透孕育起期第二階段體會領悟期第三階段形成嘗試期第四階段應用發(fā)展期,二、中學數(shù)學中的數(shù)與形有理數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想應用題內(nèi)容隱含的數(shù)形結(jié)合思想不等式內(nèi)容蘊藏著數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)及其圖像內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合思想初步統(tǒng)計內(nèi)容融入了數(shù)形結(jié)合思想平面幾何內(nèi)容充滿了數(shù)形結(jié)合思想,一、小學數(shù)學中數(shù)形結(jié)合的思想,小學數(shù)學教學研究的對象，概括起來就是數(shù)和形兩個方面。“數(shù)”與“形”是貫穿整個中小學數(shù)學教材的兩條主線，更是貫穿小學數(shù)學教學始終的基本內(nèi)容?！皵?shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合既是數(shù)學的重要思想，更是解決問題的重要方法。數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)了代數(shù)和幾何中最精彩的方面：幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性、解題過程機械化、可操作性強，便于把握，因此數(shù)形結(jié)合的思想方法是學好小學數(shù)學的重要思想方法之一，承載了為中學數(shù)學打好基礎的任務。,小學數(shù)學中的數(shù)與形,與之相關的數(shù)學內(nèi)容主要集中在：用線段表示應用題中的數(shù)量關系，關于路程、行程的應用題；對“數(shù)”的涵義絕大多數(shù)人回答為：數(shù)量關系。有一部分人列舉數(shù)量關系的外延來代替，例如數(shù)字和代數(shù)的字母、表達式及其之間的運算。也有一小部分的人望文生義認為“數(shù)”指代數(shù)、數(shù)據(jù)、函數(shù)等。對“形”的涵義絕大多數(shù)人回答為：空間形式。有一部分人列舉空間形式的外延來代替，例如圖形、圖象、實物等。,小學數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合的作用,大多數(shù)人認為“結(jié)合”就是：相互轉(zhuǎn)化（換）、相互反映、相互表達、建立對應關系等等。對于“數(shù)形結(jié)合”的作用?！皵?shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”。大部分人認為“數(shù)形結(jié)合”的主要作用在于將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，化抽象為形象，使學習者建立直觀的認識，或使解題者便于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，即以“形”助“數(shù)”。但沒有人將借“數(shù)”解“形”及其同義詞名單獨地作為答案。,二、中學數(shù)學中的數(shù)與形,數(shù)形結(jié)合的思想方法是中學數(shù)學中的一種重要的思想方法數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的科學，數(shù)和形是數(shù)學知識體系中的兩大基礎概念，把刻畫數(shù)量關系的數(shù)和具體直觀的圖形有機結(jié)合，根據(jù)研討問題的需要，把數(shù)量關系的比較轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)或位置關系的討論，或把圖形的待定關系轉(zhuǎn)化為相關元素的數(shù)量計算，即數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)形結(jié)合的思想方法能揚數(shù)之長、取形之優(yōu)，使得“數(shù)量關系”與“空間形式”珠聯(lián)璧合，相映生輝,1.有理數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)軸的引入是有理數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的力量源泉由于對每一個有理數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點與它對應，因此，兩個有理數(shù)大小的比較，是通過這兩個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應位置關系進行的（實數(shù)的大小比較也是如此），相反數(shù)、對值概念則是通過相應的數(shù)軸上的點與原點的位置關系來刻劃的盡管我們學習的是（有理）數(shù)，但要時刻牢記它的形（數(shù)軸上的點），通過滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，幫助學生正確理解有理數(shù)的性質(zhì)及其運算法則。,2.應用題內(nèi)容隱含的數(shù)形結(jié)合思想,列方程解應用題的難點是如何根據(jù)題意尋找等量關系布列方程，要突破這一難點，往往就是要根據(jù)題意畫出相應的示意圖，這里隱含著數(shù)形結(jié)合的思想方法一小船由A港到B港順流需6小時，由B港到A港逆流需8小時一天，小船從早餐6點由A港出發(fā)順流到B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小時后找到救生圈問：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時？（2）救生圈是在何時掉入水中的？,分析（1）答：小船按水流速度由A港漂流到B港需用48小時（2）如圖2，設救生圈是在上午x點鐘落入水中C點的當小船由C點順流行駛到B港時，救生圈由C點順流漂到D點;當小船由B港用一小時逆流行駛到E找到救生圈時，救生圈同時用一小時由D點順流漂到了E點于是,3.不等式內(nèi)容蘊藏著數(shù)形結(jié)合思想,“九義”教材代數(shù)第一冊（下）第六章內(nèi)容是“一元一次不等式和一元一次等式組”，教學時，為了加深初一學生對不等式解集的理解，老師要適時地把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表達出來，使學生形象地看到，不等式有無限多個解這里蘊藏著數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)軸上表示數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)，而在數(shù)軸上表示數(shù)集，則比在數(shù)軸上表示又前進了一步確定一元一次不等式組的解集時，利用數(shù)軸更為有效相關內(nèi)容的中考題，也著重考察學生對數(shù)形結(jié)合思想方法的應用,4.函數(shù)及其圖像內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合思想,由于在直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x,y）點P的一一對應，使函數(shù)與其圖像的數(shù)形結(jié)合成為必然一個函數(shù)可以用圖形來表示，而借助這個圖形又可以直觀地分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點，這為數(shù)學的研究與應用提高了很大的幫助因此，函數(shù)及其圖像內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法教學時老師若注意了數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，將會收到事半功倍的效果,5.初步統(tǒng)計內(nèi)容融入了數(shù)形結(jié)合思想,在初步統(tǒng)計中，一組數(shù)據(jù)反映在坐標平面上就是一群離散點研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)），相當于考察這群離散點的分布狀態(tài)；而研究一組數(shù)據(jù)的波動大?。ǚ讲睢藴什睿?，就相當于考察坐標平面上這群離散點的分布規(guī)律這里融入了數(shù)形結(jié)合的思想方法，教學中老師若注意到了這一數(shù)形結(jié)合的思想方法，可加深學生對平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標準差概念的理解,例5如圖7是某單位職工的年齡（取正整數(shù)）的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形提供的信息，回答下列問題（直接寫出答案）（1）該單位職工共有多少人？（2）不大于38歲但小于44歲的職工人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比是多少？（3）如果42歲的職工有4人，那么年齡在42歲以上的職工有幾人？,答案：（1）該單位職工有50人（2）不小于38歲但小于44歲的職工人數(shù)占總?cè)藬?shù)的60（3）年齡在42歲以上的職工15人,6.平面幾何內(nèi)容充滿了數(shù)形結(jié)合思想,平面幾何研究的是圖形的性質(zhì)及其位置關系，然而平面幾何內(nèi)容中又充滿了數(shù)形結(jié)合的思想和方法例如，三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理及其逆定理、平行線分線段成比列定理、解直角三角形、點和圓的位置關系、直線和圓的位置關系、圓和圓的位置關系、切線長定理、相交弦定理、正多邊形的有關計算、三角形的面積、平行四邊形的面積、梯形的面積、圓的面積、扇形的面積、弓形的面積等內(nèi)容中，無一不與數(shù)量關系緊密相聯(lián)教學時老師若注重了相應內(nèi)容中體現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合思想，對于學生學好平面幾何無疑是大有脾益的,三、中學生的特點及數(shù)形結(jié)合思想教學的四個階段第一階段滲透孕育起期,由于學生剛升入中學，他們對數(shù)形結(jié)合的認識主要還停留在用線段圖解應用題這種簡單淺顯的層次，因此這一時期的要求不能太高，因以“數(shù)軸”、“相反數(shù)”、“絕對值”、“有理數(shù)是計算”等內(nèi)容為載體，以數(shù)軸為結(jié)合點在數(shù)學中提出數(shù)與形的問題，使學生感受到“數(shù)”與“形”間存在著相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證關系并且通過問題的解決，察覺到數(shù)軸的作用如：設點A在數(shù)軸上的數(shù)為-3，點B在數(shù)軸上，且點B到點A的距離是5,則點B所表示的數(shù)是多少？這個對剛升入中學的學生來說比較抽象，若借助數(shù)軸將抽象的數(shù)的關系轉(zhuǎn)化為直觀的位置關系，則問題就容易解決了,第二階段體會領悟期,這一時期，代數(shù)以“不等式”的知識為載體繼續(xù)向?qū)W生介紹數(shù)形結(jié)合思想，使學生明白如果不借助“數(shù)軸”這個工具，就不容易找出不等式組的解集由此而領悟到，數(shù)形結(jié)合對解決數(shù)學問題不是可有可無的，而是一種非常重要的辦法另一方面，學生開始學習幾何知識，幾何入門比較難，但借助以學過的代數(shù)知識，將直觀圖形數(shù)量化轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算加以解決，可降低機幾何學習的難度具體的做法有：不考慮幾何問題中的位置關系，直接采用代數(shù)和的方法解題,第三階段形成嘗試期,以平面幾何知識為載體由于知識深化“數(shù)”與“形”之間的因果關系不那么明顯，因此學生在解決問題時很難將“數(shù)”與“形”有效的結(jié)合進行思考這個階段的教學可分為兩個層次進行：理解遷移深刻理解數(shù)學知識中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想，找出概念、定理、性質(zhì)中“數(shù)”與“形”的特征如勾股定理，代數(shù)的特征是一個數(shù)的平方等于兩個數(shù)的平方和.幾何的特征是這三個數(shù)是某直角三角形的三邊解決相關問題時可以引導學生與已有的知識經(jīng)驗“直角三角形求線段長解方程”產(chǎn)生關聯(lián)，找出解題途徑提煉方法作為第二層次的教學,應該引導學生從解決問題的技巧中提煉出蘊含數(shù)、形結(jié)合思想且又易于操作的辦法進而理解這