高中數(shù)學：巧用曲線系求解曲線題

巧用曲線系，求解曲線題曲線系問題是高中數(shù)學課中重要而又難以掌握的問題，它可分為直線系、圓系、圓錐曲線系三類。在求解曲線問題時，若能巧妙的應用曲線系知識，將會使煩瑣的運算變的輕而易舉。現(xiàn)歸納分析并舉例應用如下。一、 直線系1過兩直線交點的直線系若點P（x0,y0）是兩直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2+B2+C2=0的交點，則過點P的直線系方程為：A1x+B1y+ C1+ ( A2+B2+C2)= 0 例1 已知直線l1:3x+4y-10=0，l2:4x-6y+7=0,l3過l1,l2的點且過點A(4,-7)，求l3的方程。解:由題意可得l3方程為:3x+4y-10+ (4x-6y+7)=0 l3過點A(4,-7), 3 4+4 (-7)-10+ 4 4-6 (-7)+7=0 因此 l3的方程為3x+4y-10+(4x-6y+7)=0，即23x+8y-36=02 平行直線系 方程y=kx+b，當k為定值時，表示斜率為k的平行直線系。方程A0x+B0y+C=0(A0,B0為定值,B0 0)表示斜率為的平行直線系。 例2 、直線l:3x-2y+5=0, l1l且l1過點P(3,-2)，求l1方程。解： 因為l1l，故設l1方程為3x-2y+m=0,。P(3,-2) l1, m=-33+2(-3)=-13 ，即l1的方程3x-2y-13=0 。3 過定點直線系當k為變量時，方程y-y0=k(x-x0)表示過定點P(x0,y0)的直線系。例3、求證：當m任意實數(shù)時，直線y=(m2+2m+2)x-3m2-6m-1必過一定點。證明：將原方程變形為:y=(m2+2m+2)x-3(m2+2m=2)+5，即y-5=(m2+2m+2)(x-3), 由此可知直線過定點(3,5)。二、 圓系(1)過直線和圓交點或兩圓交點的圓系 過圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和直線l:Ax+By+C=0的交點的圓系方程為：x2+y2+Dx+Ey+F+ (Ax+By+C)=0,過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圓 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的曲線系方程為：x2+y2+D1x+E1y+F1+( x2+y2+D2x+E2y+F2)=0例4、求過圓C1:x2+y2-4x+2y=0和圓C2:x2+y2-2y-4=0的交點，且圓心在直線l:2x+4y=1上的圓的方程。解：所求的圓過已知圓交點，故可表示為：x2+y2-4x+2y+( x2+y2-2y-4)=0即 (1+)x2+(1+)y2-4x+(2-2)y-4=0 (1)，圓心坐標為，因為圓心在直線l上，代入可得,例5、方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圓，直線x+2y-4=0與圓相交于M、N兩點，且OMON(O為坐標原點)，求以MN為直徑的圓。解：因為方程表示圓，則(-2)2+(-4)2-4m0, m5 過交點M,N的曲線方程為：x2+y2-2x-4y+m+ ( x+2y-4)=0， 化簡得x2+y2+(-2)x+(2-4)y+m-4=0,因為OMON，則O為以為直徑圓上點，則m-4=0， 且圓心在直線x+y-4=0上,故,得,則，代入曲線方程，得即為所求。(2)同心圓系 方程(x-a)2+(y-b)2=R2，當(a,b)為定點，R為變量時，表示同心圓系。例6、求與圓x2+y2-4x+6y-3=0同心，且過點(-1,1)的圓的方程。解：所求圓與已知圓同心，可得方程x2+y2-4x+6y-m=0， 又所求圓過點(-1,1)，將此點坐標代入方程，得 m=-(1+1+4+6)=-12, 則所求圓方程為x2+y2-4x+6y-12=0。(3)同半徑動圓圓系方程(x-a)2+(y-b)2=R2，當R為定值，點(a,b)為動點時，表示同半徑動圓圓系。例7、求證:不論m為何值,圓x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0的圓心在同一直線上。證明：原方程配方，得(x-3m)2+y-(m-1)2=25， 設圓心坐標為(u,v)，則，即為圓心軌跡參數(shù)方程，消去m，得u-3v-3=0，即圓心在同一直線上。三、 圓錐曲線系(1)離心率相同圓錐曲線系 表示離心率相同的橢圓系；表示離心率相同（且漸近線相同）的雙曲線系。(2)共焦點的圓錐曲線系 表示共焦點的橢圓系；表示共焦點的雙曲線系。例9、求與橢圓有公共焦點，且過點(0,3)的橢圓方程。解：所求橢圓與已知有相同焦點，可設所求橢圓方程為，將點坐標代入得k=-15，故所求橢圓方程為.例10、求與雙曲線共漸近線，且過點A的雙曲線方程。解：設與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程為， 因為A在所求雙曲線上，故代入可得， 所以 即例11、求漸近線方程為，經過