工程力學電子教案第七章（全沅生周家澤主編）

重點：彎曲的概念梁的內(nèi)力計算、強度、剛度計算作為本章的重點。第7章彎曲7.1彎曲概念工程中有許多元件可以承受彎曲。下圖所示。彎曲：構(gòu)件承受與軸垂直的外力時，或承受軸所在平面內(nèi)作用的力時，其軸彎曲為曲線。在上圖中，根據(jù)支撐分為簡支梁、懸臂梁和擠出梁。也是靜態(tài)梁。約束還必須考慮通過靜態(tài)平衡方程變形的靜態(tài)梁或靜態(tài)梁。梁的負載包括分布力q、集中力f、集中力偶m等。焦點：平面彎曲、平面彎曲和傾斜彎曲(取決于載荷作用位置)。平面彎曲：梁的橫截面具有對稱軸，所有橫截面的對稱軸構(gòu)成了垂直對稱面，所有外力垂直于梁的軸，作用于同一對稱面，梁彎曲后，該軸彎曲為平面曲線，并位于桿平面內(nèi)。7.2梁的內(nèi)力和內(nèi)力7.2.1剪切力和彎矩也使用截面法研究梁的左截面。創(chuàng)建表達式：Fs=FM=Fx其中Fs-剪切力；M-彎矩。兩者都是總的彎曲內(nèi)力。焦點：7.2.2剪切，彎矩正符號規(guī)則當截面外部法線與剪切力順時針旋轉(zhuǎn)900度時，剪切力為正，相反為負。剪應(yīng)力等于正值和負值。使元件向上凹進正數(shù)或負數(shù)。請參閱上面的兩幅圖。此規(guī)則非常重要，對梁的變形有特殊的機械意義。7.2.3根據(jù)截面剪切和彎矩確定剪切力和彎矩符號規(guī)則，使用截面方法指定截面剪切和彎矩的步驟如下：(1)在指定位置切割輪廓。(2)剪切中的剪切力、彎矩、集中：繪制正向未知的剪切Fs和彎矩m。(3)應(yīng)用平衡方程 fy=0和 MC=0計算剪切和彎矩值。示例7-1圖7-8中所示的簡支梁尋找橫截面1-1中的剪切力和彎矩。解決方案：計算約束反作用力。取圖b并生成方程式。fy=0；fa-f FB=0ma=0；-Fl/2 FBl=0解決方案：FA=FB=F/2剪切1-1時的剪切和彎矩。簡單的左側(cè)部分作為對象導入。建立方程式：fy=0；fa-fs=0MC=0；-FAa M=0解決方案：Fs=F/2，M=Fa/2，中點：示例7-2使用圖7-9所示的連續(xù)載荷q，集中力F=ql，無限接近支撐a的截面2-2，中間截面3解法：尋找支撐反作用力。 ma (f)=0，-q2ll Fl FB2l=0(錯誤)fy=0，fa f B- Q2-f=0 FB=QL/2；FA=5ql/2截面1-1上的內(nèi)力fs1，M1，表達式：在dx KKfy=0，fa-QL-f-fs3=0 m (f)=0，-FAl ql.l/2 F.2l M3=0表示fs3=QL/2；M3=ql2/2，焦點：示例7-3圖7-10所示的懸臂求出和比較a、b、c左右兩側(cè)的內(nèi)力。解決方案：計算固定端點約束反作用力。如圖b所示。建立方程式：fy=0，f-fc=0 MC=0，f.2l m-MC=0解決方案：Fc=F，Mc=3Fl計算a端面的內(nèi)力。如圖c所示。建立方程式：有關(guān)具體的故障排除步驟，請參閱教科書。中點：7.2.4任意截面的剪切力和彎矩表達式剪切方程，彎矩方程一般來說，梁內(nèi)的剪切力和彎矩取決于截面的變化，并通過剪切方程和彎矩方程說明其變化。Fs=Fs(x)，M=M(x)表示整個梁，因此表示截面中的剪切力和彎矩。如上例所示，在集中力、分布力和力的作用下，左右剪切力、彎矩不相等，載荷起始側(cè)和結(jié)束側(cè)的截面稱為控制面。范例7-4度7-11中展示的懸臂梁建立梁的剪切方程式、彎矩方程式。解決方案：確定分割區(qū)。只有AB端點，不需要線段。只有a，b的兩個作用點?？刂泼妫裹c：1-1，2-2。建立座標系統(tǒng)Ox。應(yīng)用截面方法。在任意點x切割梁，并使用左側(cè)線段作為研究目標，在截面中顯示剪切力Fs(x)、彎矩M(x)的正向，如圖b所示。建立方程式：fy=0，-f-fs (x)=0(錯誤)mxc=0，f.x m (x)=0解決方案：Fs(x)=-對于M(x)=-Fx，剪切方程式和彎矩方程式分別為Fs(x)=-F(誤差)(0xl-)；m(x)=-Fx(0xl-)?？蓪懀篎s(x)=-F(錯誤)(0xl)；m(x)=-Fx(0xl)。焦點：示例7-5簡支梁應(yīng)力創(chuàng)建集中力F=8kN、力偶M=10kN.m的梁的剪切方程、彎矩方程，如圖7-12所示。解決方案：查找約束反作用力。以梁為研究對象。建立方程式：fy=0，fa f b-f=0 ma (f)=0，fb3-f1-m=0解決方案FA=4kN；FB=6kN段剪切表達式，創(chuàng)建彎矩表達式AC段：圖b . 0x11mfy=0，fa-Fs(x1)=0M=0，-Fas fa-f-Fs(x3)=0-M=0，-fax 3f (x3-1)-m (x3)=0解釋的Fs(x3)=-6kN，-fax 3f 建立此梁的剪切方程式、彎矩方程式。解決方案：查找約束反作用力。圖b .創(chuàng)建表達式：fy=0，-fa f b-f=0 ma=0，-m fbl/2-fl=0，中點：FB=4F，F(xiàn)A=3F分段圖a中有6個控制平面，實際上除以3個區(qū)段即可。CA段。圖c，0x1l/2，建立方程式：fy=0，-Fs(x1)=0 m=0，-m (x1)=0解決方案Fs()圖d，l/2x2l，創(chuàng)建表達式：fy=0，-fa-Fs(x2)=0M=0，-m fa (x2)圖e，lx23l/2，建立方程式：fy=0，-fa f b-fs (x3)=0 m=0，-M fa(x3-x3)(2)坐標系左端作為原點；(3)根據(jù)載荷情況分段；(4)分別計算每個剖面的剪切方程式和彎矩方程式。即使梁更長、載荷更復雜，也可以使用右端的坐標進行對象研究。焦點：7.2.5剪切力和力矩表達式通過根據(jù)剪切力、力矩、力矩表達式在梁上繪制內(nèi)力分布，可以直觀地查看梁的力情況。示例7-7繪制了7-14所示的集中力作用的簡支梁的剪切力、力矩圖。解決方案：查找約束反作用力。圖b，創(chuàng)建表達式。 ma=0，-fa FB (a b)=0 ma=0，F(xiàn)b-FA(a b)=0解決方案FA=bF/(a b)，F(xiàn)B=aF/(a b)圖c . Fs(x1)=fa；M(x1)=FAx1CB線段。圖d . Fs(x2)=fa-f；M (x2)=剪切力，力矩圖使用fax 2-f (x2-a)。根據(jù)計算結(jié)果，在梁上繪制剪切和彎矩(請參見圖e、f)。示例7-8繪制了7-15所示的均布載荷簡支梁的剪切力和力矩圖。解決方案：計算約束反作用力。圖b .創(chuàng)建可計算表達式：FA=FB=ql/2剪切表達式，彎矩表達式，圖c . Fs(x)=FA-qx=QL/2-qxm(x)=fax-qxx中點：剪切力為0至最大。也就是說，x=l/2。Mmax=ql2/8示例以7-9度7-16所示的集中力對運行的簡支梁。建立剪切力、力矩圖表。解決方案：查找約束反作用力。圖b .生成表達式：FA=FB=M/l剪切表達式，創(chuàng)建彎矩表達式。熟練后，可以直接寫內(nèi)力方程，不必再切斷截面。fs(x1)=-fa=-m/l(0x1l/3)m(x1)=-fax 1=-mx1/l(0)圖c，d .示例7-10如圖7-17所示，拉伸梁，AB段為均布載荷q，拉伸終點c為集中力對，M=ql2。確定此梁的剪切力、力矩和 Fs max和 M max的值。解決方案：查找約束反作用力。圖b .從方程式導出：FA=ql/2，F(xiàn)B=3ql/2建立剪切方程式，彎矩方程式：fs(x1)=-FA-qx1=-QL/2-qx1m(2彎矩最大值M max=ql2。7.3剪切、彎矩和載荷集之間的微分關(guān)系假定任意載荷m、f、q(x)作用于梁，取坐標系A(chǔ)xy，圖a。在x中取微段dx時，假設(shè)q(x)連續(xù)。此段左側(cè)和右側(cè)的剪切力為Fs(x)、Fs(x) dFs(x)、彎矩為M(x)、M(x) dM(x)、方程式。fy=0，fs (x) q (x) dx-fs (x) DFS (x)=0，即：=q(x)，中點：-MMS=Fs(x)表示剪切方程的一階導數(shù)等于載荷集度，彎矩方程的一階導數(shù)等于剪切方程，二階導數(shù)等于載荷集度。這是載荷的微分關(guān)系。示例7-11梁AB及其剪切力、力矩圖如圖7-19所示。在上例中，總結(jié)了載荷分叉處的內(nèi)力特性，并使用彎矩、剪切力和線分布力集之間的微分關(guān)系驗證了圖c，d的準確性。解決方案：1，集中力的用處，剪切力想擁有突然的跳躍。重點是，突然的跳躍量等于其作用下的集中力值，力矩地圖上有尖點，但連續(xù)但不光滑；2、在集中偶作用下，剪切力不受影響，力矩圖中有突然的跳躍，突然的跳躍量等于這里的集中雙力矩；3、均布載荷的起點和終點在剪切力上具有尖銳點，彎矩插圖是直線和拋物線的平滑連接。7.4梁剪力和力矩圖，復疊方法透過復疊每個個別負載的剪切力、彎矩圖，更直觀。示例7-12使用疊加方法繪制7-20所示的梁的力矩圖。解法：您可以在梁上分別載入集中力和連續(xù)負載，繪制梁對集中力和連續(xù)負載的力矩圖，然后執(zhí)行正負復疊。圖c是合成后的力矩圖。焦點：7.5彎曲法向應(yīng)力7.5.1彎曲法向應(yīng)力公式梁的強度計算與拉伸壓力，扭轉(zhuǎn)一樣，需要分析截面應(yīng)力情況。根據(jù)該值確定強度。橫向彎曲：剖面既有剪切力，也有彎矩。純彎曲：僅截面，焦點：彎矩，無剪切力。本節(jié)重點介紹純彎曲。圖7-21中所示的矩形輪廓在變形時上部縮短，下部延長，截面線為中性軸z的中性層，應(yīng)力必須是線性關(guān)系。=e。選擇任意點dA距離中性軸y，y。負載m越大，正應(yīng)力也越大。截面的Iz越大，正應(yīng)力越小。Iz是截面軸慣性矩。彎曲法向應(yīng)力公式為=my/iz (7-1)，僅適用于彈性范圍內(nèi)的彎曲。7.5.2慣性矩1，簡單截面慣性矩1)，矩形截面寬度，高度分別為b，h。尋找剖面相對于z軸線的慣性矩。取微面元素dA=bdy。中點：Iz=相同y軸的慣性矩為Iy=2)圓形截面對稱，Iy=Iz，微段da，2=y2z2，因此I A=Iy Iz，Iy其中D-空截面的外徑；d型腔截面內(nèi)徑；-內(nèi)部外徑的比率，32;=D/D/D .慣性矩的尺寸為長度4。中點：2，復合剖面的慣性矩工程實際上，許多元件斷面是稱為復合剖面的簡單圖形的組合。I形梁、通道、角鋼等。1，如果部件公式的一個截面中有多個簡單圖形，則慣性矩是各個圖形慣性矩的總和。Iz=(7-2)2，平移軸公式相關(guān)參數(shù)如圖7-24所示。慣性矩為Iz=，其中izc=；=0(zc表示質(zhì)心軸)=A，中點：Iz=Izc a2A是平移軸定理，其中每個軸的截面慣性矩等于質(zhì)心軸平行的慣性矩與附加項的總和，附加項等于截面與2軸距離的2次冪的乘積。從上面看，截面相對于中心軸的慣性矩最低。示例7-13圖7-25中顯示的t形截面。尋找剖面相對于中心軸線z的慣性矩Iz。解決方案：取“坐標系Oyz”并將截面分割為、兩部分。單獨計算：a1=6020mm 2=1200 m2 YC 1=20/2mm=10mm a2=4020mm 2=800mm 2 YC 2=(40/2)mm=40mm，中點根據(jù)組合公式，iz=iz (I) iz (ii)軸z不是兩部分的中心軸，因此需要轉(zhuǎn)換。iz(I)=60203/12(22-10)21200=21.28904mm 4 iz(ii)=20403/12(40-22)22示例7-14圖7-26顯示了字體部分。尋找中心軸線YC，ZC的剖面慣性矩Iyc，Izc和y，z軸線的慣性矩Iy，Iz。解決方案：找到Iyc。將截面分為、三部分。Yc軸是中心軸和三截面對稱軸。例如，中點：iyc=iyc(I)iyc(ii)iyc(iii)=2=3hb 3/64 Izc。可以理解為大矩形減去兩個小矩形。因此，尋找Izc=Izc(a1)-2izc(a2)=bh3/12-2=5 BH 3/64 Iy，iz。y和YC匹配，因此Iy=Iyc=3bh 3/64 A=BH-2b/4h/2=3bh/4(錯誤)為：iz=izc a2a=5b H3/64(h/2)23bh/4=17 BH 3/64，中點：7.5.3彎曲法向應(yīng)力公式的應(yīng)用示例7-15支架