(整理)合情推理和演繹推理》.0001

1、精品文檔第十七章推理與證明知識網(wǎng)絡歸納合情推理類比推理與證明演繹推理數(shù)學歸納法直接證明綜合法精品文檔分析法反證法間接證明第1講 合情推理和演繹推理知識梳理1. 推理根據(jù)一個或幾個事實（或假設）得出一個判斷，這種思維方式叫推理.從結構上說,推理一般由兩部分組成 ,一部分是已知的事實（或假設）叫做前提,一部分是由已 知推出的判斷,叫結論.2. 合情推理：根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出的推理叫合情 推理。合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：（1）歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特 征的推理，或者由個別事實概括出一般結

2、論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由 個別到一般的推理（2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另 一類對象也具有這些特征的推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。3. 演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論的推理叫演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提-已知的一般原理；（2）小前提-所研究的特殊情況；（3）結論一一根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷。重難點突破重點：會用合情推理提出猜想，會用演繹推理進行推理論證，明確合情推理與演繹推理的區(qū)別與 聯(lián)系難點:發(fā)現(xiàn)兩類對象的類

3、似特征、在部分對象中尋找共同特征或規(guī)律重難點：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進行證明1、歸納推理關鍵是要在部分對象中尋找共同特征或某種規(guī)律性問題 1:觀察：.7 .15： 2 .、肓；.55165： 2 .訶；、33 19一3 :： 2.幣；對于任意正實數(shù)a,b，試寫出使 ja + jb蘭2J右成立的一個條件可以是 .點撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22,故a 222、類比推理關鍵是要尋找兩類對象的類似特征問題2:已知拋物線有性質：過拋物線的焦點作一直線與拋物線交于A、B兩點，則當AB與拋物線的對稱軸垂直時，AB的長度最短；試將上述命題類比到其他曲線，寫出相應的

4、一個真命題為.點撥：圓錐曲線有很多類似性質,“通徑”最短是其中之一，答案可以填：過橢圓的焦點作一2b2直線與橢圓交于 A、B兩點，則當AB與橢圓的長軸垂直時，AB的長度最短（|AB|_ 魯 ）a3、運用演繹推理的推理形式（三段論）進行推理問題3 :定義x為不超過x的最大整數(shù)，則 卜2.1=點撥：“大前提”是在（：，x找最大整數(shù)，所以-2.1=-3熱點考點題型探析考點1合情推理題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律例1通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結論，并證明結論的真假。sin2150 sin275 sin2135=3 ； sin2300 sin2900 sin2150=3 ；2 2sin2450 si

5、n2105 sin2165=3 ； sin2 600 sin21200 sin2180 =彳2 2【解題思路】注意觀察四個式子的共同特征或規(guī)律（1）結構的一致性，（2）觀察角的“共性”解析猜想：sin2（： -600） sin2 ：sin2（： 60）=32、 / 0 0 2 2 0 0 2 證明：左邊=(sin ： cos60 -cos： sin 60 ) sin 工(sin : cos60 cos： sin60 )3/ .22、3 亠、丄=（sin 工cos ）=右邊2 2【名師指引】（1）先猜后證是一種常見題型，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”（2）歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特

6、征型”（周期性）例2 （09深圳九校聯(lián)考）蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖I有7個蜂巢，第三個圖有 19個蜂巢，按此規(guī)律，以f (n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù)則f=； f (n) =.【解題思路】找出 f (n) 一 f (n 一 1)的關系式解析f (1) =1, f(2) =1 6, f (3) =1 6 12 f (4) =1 6 1237.f (n) =1 6 12 186(n-1)=3n2-3n 1【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關系【新題導練】1.(2008佛山

7、二模文、理)對大于或等于2的自然數(shù)m的n次方幕有如下分解方式：2222=133=1354=13573332=353=79114 =13 15 17 19根據(jù)上述分解規(guī)律， 則52 =1 3 5 7 9,若m3(m N )的分解中最小的數(shù)是 73,則m的 值為.32解析m的分解中，最小的數(shù)依次為3, 7, 13,，m -m 1，由 m2 - m 1 = 73 得 m = 92. (2010惠州調研二理)函數(shù)f(x)由卜表疋乂.x25314f (x)12345若 a0= 5 , an 1= f (an ),n =0,1,2川 1，則a2007 二4解析a。= 5 ,a0,且a豐1)的圖象與y=x的

8、圖象有公共點，證明：f(x)=ax M ;(3) 若函數(shù)f(x)=sinkx M ,求實數(shù)k的取值范圍.【解題思路】 函數(shù)f(x)是否屬于集合 M ,要看f(x)是否滿足集合 M的“定義”，解(1)對于非零常數(shù) T, f(x+T)=x+T, f(x)=Tx.因為對任意x R, x+T= Tx不能恒成立，所以 f(x)= x 一 M .(2)因為函數(shù)f(x)=ax (a0且a豐1)的圖象與函數(shù) y=x的圖象有公共點，r _ X所以方程組：丿y=a有解，消去y得ax=x,y=x顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T,使aT=T.于是對于 f(x)=ax有 f (x T) = ax T

9、=aT ax = T ax=Tf (x)故 f(x)=ax M.(3)當 k=0 時，f(x)=0，顯然 f(x)=0 M.當k豐0時，因為f(x)=sinkx M ,所以存在非零常數(shù)T,對任意x R,有f(x+T)=T f(x)成立，即 sin(kx+kT)=Tsirkx .因為 k豐 0，且 x R,所以 kx R, kx+kT R,于是 sinkx 1, 1, sin(kx+kT) 1, 1,故要使 sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有 T=二1，當 T=1 時，sin(kx+k)=sinkx 成立，則 k=2m n , m Z .當 T= 1 時，sin(kx k)= si

10、nkx 成立，即 sin(kx k+ n )= sinkx 成立,則一k+ n =2m n , m Z，即 k= 2(m 1) n , m Z .實數(shù)k的取值范圍是k| k= m n , m Z【名師指引】 學會緊扣“定義”解題【新題導練】10. (20101珠海質檢理)定義a*b是向量a和b的“向量積”，它的長度 |(*b |=| a|J | sin已其中,為向量a和b的夾角，若 u (2,0), u v (1,-、.3),則 |u*( u v) |=.1解析v=(1, .3),u v=(3, .3),sin : u,u v|u (u v)|=2、32B、C、D、E、F、G、H、11. (2

11、010深圳二模文)一個質點從 A出發(fā)依次沿圖中線段到達I、J各點，最后又回到 A (如圖所示)，其中：AB_BC，AB/CD/EF /HG /IJ，BC/DE / FG / /HI /JA . 欲知此質點所走路程，至少需要測量n條線段的長度，則 n = ( B )A. 2 B. 3C. 4 D. 5解析只需測量AB,BC,GH 3條線段的長AB12. (2010惠州調研二)為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文 密文(加密)，接受方由密文 、明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文 a,b, c, d對應密文A.4 , 6, 1, 7 B .7 , 6, 1 , 4 C3 +2b =5a =6

12、2b +c=7b =41 , 6, 4, 76 , 4, 1, 7 Da 2b,2b c,2c 3d ,4d，例如，明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16 .當接受方收到密文 14,9,23,28時，則解密得到的明文為().解析由2c 3d =18得c=1，選C4d = 16d = 713.對于任意的兩個實數(shù)對 (a,b)和(c,d)，規(guī)定：(a,b)=(c,d)，當且僅當a=c,b=d ；運算“： 為：(a,b) ： (c,d)二(ac-bd,bc ad);運算“二”為：(a,b)二(c,d) = (a c,b d),設 p,q ：= R , 若(1,2)： (p,q) =(5,0)，

13、則(1,2)二(p,q)二()A. (4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,-4)p2q=5p=1解：由題意，丿，解得丿，所以正確答案為(B).gp+q=01=-2點評：實際上，本題所定義的實數(shù)對的兩種運算就是復數(shù)的乘法與加法運算我們可以把該題還原為：已知復數(shù)z滿足(1+2i)z = 5，貝U (1+2i)+z=.搶分頻道基礎鞏固訓練1、對于集合A,B,定義運算A-B二x|xA且x P B，則A-(A-B)=()A.B B.A C. A B D. AB解析D 用圖示法2、命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題, 推理錯誤的原因是A.使用了歸

14、納推理B.使用了類比推理C.使用了“三段論”，但大前提錯誤D.使用了“三段論”，但小前提錯誤解析大前提是特指命題，而小前提是全稱命題，故選C3、(華南師大附中2007 2008學年度高三綜合測試(三)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復數(shù)集)： “若 a、b R,則 a b = 0 = a = b ”類比推出“ a、c C,則a b = 0= a = b “若 a、b、c、d R,則復數(shù) a bi 二 c di = a 二 c, b = d ”類比推出a、b、c、d ：= Q，則 a b、_ 2 = c d . 2 = a = c,b = d ”b C側a - b 0=

15、a b ” “若a、b、 R,則a -b 0= a b ”類比推出“若a、 “若 xR,則 | x | ： 1 = -1 ： x : 1 ” 類比推出“若 z- C,則 | z | ： 11 ： z ： 1其中類比結論正確.的個數(shù)有C. 3D. 4A. 1B. 2解析類比結論正確的只有解析設第n個圖中有an個頂點，則a 33 3 , a 44 4， q二n，n r ,玄2=( n-2)2 n-2 二 n23n 25、如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間 D內的任意Xi , X2，Xn ,都有f（Xi）f（X2）血豈f （3Xn）.若八sin X在區(qū)間（0,二）上是凸nn函數(shù)，那么在

16、 A ABC中，sin A + sinB+sinC的最大值是 .解析sin A si n B sin Cm 3s inABC3.ji=3si n38、（2009惠州一模）設又記fi X 二 f x , fk i X 二 f fk X ,k =1,2,1 H,6、類比平面向量基本定理:“如果e,e2是平面內兩個不共線的向量，那么對于平面內任一向量a，有且只有一對實數(shù)入，入2，使得彳=為 +規(guī) ”，寫出空間向量基本定理是：解析如果ei,e2,e3是空間三個不共面的向量，那么對于空間內任一向量a，有且只有一對實數(shù)Wr*1, 2, 3，使得 a 二心一2e2 3$綜合提高訓練7、（2009汕頭一模）設

17、P是 ABC內一點，AABC三邊上的高分別為hA、hp、he , P到三邊的距離依次為la、lb、lc，則有*+5=；類比到空間，hA hB hC設P是四面體ABCD內一點，四頂點到對面的距離分別是 hA、hB、he、hD , P到這 四個面的距離依次是la、lb、lc、Id，則有。解析用等面積法可得,hAhBhC類比到空間有豆.也.L . R = 1hAhBhC hD1 XX -11A； B C.X ;D. 1 -xX 1X1 +x1X 1解析Cf1（x）：f2（X）二f3(XPf4(X)1XXX 1f2008(X)二 f4（x）二 X則 f2008 X =()aia29、（ 1）已知等差數(shù)列 :,bnX，- fn 4（X）二 fn（x）- an /-(nN ），求證：仏詁仍為等差數(shù)列;(2 )已知等比數(shù)列 tn , Cn aO ( nw N ),類比上述性質，寫出一個真命題并加以證 明.n an)解析(1) bn-01 01， bn .1 - bn 二，n22Gn 1為等差數(shù)列.bn 1 -bn工0= d為常數(shù)，所以 匕仍為等差數(shù)列；2 2(2)類比命題：若gn ?為等比數(shù)列,Cn A 0 ( n N*)，dn = g C2Cn，則dn 為等比數(shù)列證明：dn = #(G ,cn)2 = *C|Cn ， d =侖為常數(shù)，(dn 為等比數(shù)列dn V Cn1