熱傳導方程(擴散方程)

1、1 從不同的物理模型出發(fā)，建立數學物理中三類從不同的物理模型出發(fā)，建立數學物理中三類 典型方程典型方程 根據系統(tǒng)邊界所處的物理條件和初始狀態(tài)列出根據系統(tǒng)邊界所處的物理條件和初始狀態(tài)列出 定解條件定解條件 提出相應的定解問題提出相應的定解問題 第一章第一章 數學建模和基本原理介紹數學建模和基本原理介紹 2 1.1 1.1 數學模型的建立數學模型的建立 數學模型建立的一般方法：數學模型建立的一般方法： 確定所研究的物理量；確定所研究的物理量； 建立適當的坐標系；建立適當的坐標系； 劃出研究小單元，根據物理定律和實驗資料寫出劃出研究小單元，根據物理定律和實驗資料寫出 該單元與鄰近單元的相互作用，分析

2、這種相互該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互 作用在一個短時間內對所研究物理量的影響，作用在一個短時間內對所研究物理量的影響， 表達為數學式表達為數學式; ; 簡化整理，得到方程。簡化整理，得到方程。 3 第一節(jié)第一節(jié) 熱傳導方程的導出和定解條件熱傳導方程的導出和定解條件 一、熱傳導方程的導出：一、熱傳導方程的導出： 給定一空間內物體給定一空間內物體 ，設其上的點，設其上的點 在時刻在時刻 的溫度為的溫度為 。 模型：模型： 問題：問題：研究溫度研究溫度 的運動規(guī)律。的運動規(guī)律。 G ( , )x y z t( , , )u x y z t ( , , )u x y z t 4 1 1、熱

3、量守恒定律、熱量守恒定律: : 2 2、傅里葉、傅里葉（Fourier）熱傳導定律熱傳導定律: : 溫度變溫度變 化吸收化吸收 的熱量的熱量 通過邊通過邊 界流入界流入 的熱量的熱量 熱源放熱源放 出的熱出的熱 量量 ( , ), u dQk x y zdSdt n 為熱傳導系數。為熱傳導系數。( , )k x y z 3 3、熱量公式、熱量公式: :Qcmu 5 任取物體任取物體 內一個由光滑閉曲面內一個由光滑閉曲面 所圍成的區(qū)所圍成的區(qū) 域域 ，研究物體在該區(qū)域，研究物體在該區(qū)域 內熱量變化規(guī)律。內熱量變化規(guī)律。 1 Q 熱傳導方程的推導：熱傳導方程的推導： GS 熱量熱量 守恒守恒 定律

4、定律 區(qū)域區(qū)域 內各點的溫度從時刻內各點的溫度從時刻 的溫度的溫度 改變?yōu)闀r刻改變?yōu)闀r刻 的溫度的溫度 所吸收（或所吸收（或 放出）的熱量，應放出）的熱量，應等于等于從時刻從時刻 到時刻到時刻 這這 段時間內通過曲面段時間內通過曲面 流入（或流出）流入（或流出） 內的內的 熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即 1 t 2 t 1 ( , , , )u x y z t 2 ( , , , )u x y z t 1 t 2 t S 內溫度變化所需要的熱量內溫度變化所需要的熱量 =通過曲面通過曲面 流入流入 內的內的熱量熱量 +熱源提供的熱量熱源提供的熱量 Q

5、 S 2 Q 下面分別計算這些熱量下面分別計算這些熱量 6 ( , , ),cc x y z （1） 內溫度變化所需要的能量內溫度變化所需要的能量 Q G 那么包含點那么包含點 的體積微元的體積微元 的溫度從的溫度從 變?yōu)樽優(yōu)?所需要的熱量為所需要的熱量為 1 C 21 ( , , ,)( , , ,)dQcu x y z tu x y z tdV dV 設物體設物體的比熱（單位質量的物體溫度改變的比熱（單位質量的物體溫度改變 所需要的熱量為所需要的熱量為 密度為密度為( , , ),x y z ( , , )x y z 1 ( , , , )u x y z t 2 ( , , , )u x

6、y z t 整個整個 內溫度變化所需要的能量內溫度變化所需要的能量 Q 22 11 21 ( , ,)( , ,) ()(1.1) tt tt QdQcu x y z tu x y z tdV uu cdt dVcdV dt tt 7 （2）通過曲面）通過曲面 進入進入 內的熱量內的熱量 1 QS 由傅里葉熱傳導定律，從由傅里葉熱傳導定律，從 到到 這段時間內通過這段時間內通過 進入進入 內的熱量為內的熱量為 2 t 1 t S 2 1 1 ( , ), t t S u Qk x y zdSdt n 由高斯公式由高斯公式 x S divAdxdydzA ndS 知知 2 1 1 ()()().

7、(1.2) t t uuu QkkkdV dt xxyyzz 8 （3）熱源提供的熱量）熱源提供的熱量 2 Q 用用 表示熱源強度，即單位時間內從單位表示熱源強度，即單位時間內從單位 體積內放出的熱量，則從體積內放出的熱量，則從 到到 這段時間內這段時間內 內熱內熱 源所提供的熱量為源所提供的熱量為 ( , , , )F x y z t 2 t 1 t 2 1 2 ( , , )(1.3) t t QF x y z t dV dt 由熱量守恒定律得：由熱量守恒定律得： 22 11 2 1 ()()() ( , , , ) tt tt t t uuuu cdVdtkkkdV dt txxyyzz

8、 F x y z t dVdt 由由 及及 的任意性知的任意性知 12 ,t t ()()()( , , , ).(1.4) uuuu ckkkF x y z t txxyyzz 9 三維無熱源熱傳導方程：三維無熱源熱傳導方程： 222 2 222 0 .(1.6) uuuu a txyz 三維有熱源的熱傳導方程：三維有熱源的熱傳導方程： （均勻且各向同性物均勻且各向同性物 體，即體，即 都為常數的物體）都為常數的物體） 222 2 222 ( , , ),(1.5) uuuu af x y z t txyz 2 , kF aff cc 其中其中稱為非齊次項（自由項）。稱為非齊次項（自由項）。

9、 ,ck 通常稱（通常稱（1.5）為）為非齊次的熱傳導方程非齊次的熱傳導方程，而稱（，而稱（1.6） 為為齊次熱傳導方程齊次熱傳導方程。 10 二、定解條件（初始條件和邊界條件）二、定解條件（初始條件和邊界條件） 初始條件：初始條件： ( , )( , ),( , ),0: (1.7)u x tx y zx y zGt 邊界條件：邊界條件： 1 1、第一邊界條件、第一邊界條件（ （ Dirichlet 邊界條件）邊界條件） 特別地：特別地： 時，物體表面保持恒溫。時，物體表面保持恒溫。( , , )0g x y z t ( , , ),( , ),0,(1.8)ug x y z tx y zt

10、 ()G 11 2 2、第二邊界條件、第二邊界條件 （ Neumann 邊界條件）邊界條件） ( , , )0g x y z t 特別地：特別地： 時，表示物體絕熱。時，表示物體絕熱。 3 3、第三邊界條件、第三邊界條件 ( ( D-N 混合邊界條件混合邊界條件 ) ) ( , , ),( , ),0,(1.9) u kg x y z tx y zt n ( , , ),( , ),0,(1.10) u ug x y z tx y zt n 11 1 0,. kk gu kk 其中：其中： 表示表示 沿邊界沿邊界 上的單位外法線方向上的單位外法線方向 的方向導數的方向導數 u n u n 注：

11、注： 12 注意第三邊界條件的推導：注意第三邊界條件的推導： 研究物體與周圍介質在物體表面上的熱交換問題研究物體與周圍介質在物體表面上的熱交換問題 把一個溫度變化規(guī)律為把一個溫度變化規(guī)律為 的物體放入的物體放入 空空 氣介質中，已知與物體表面接觸處的空氣介質溫度氣介質中，已知與物體表面接觸處的空氣介質溫度 為為 ，它與物體表面的溫度，它與物體表面的溫度 并不并不 相同。這給出了第三邊界條件的提法。相同。這給出了第三邊界條件的提法。 1( , , , ) u x y z t ( , , , )u x y z t ( , , , )u x y z t 熱傳導熱傳導 試驗定試驗定 律或牛律或牛 頓定

12、律頓定律 從物體流到介質中的熱量和兩者的溫差成正比從物體流到介質中的熱量和兩者的溫差成正比： 11 (),(1.11)dQk u u dSdt 其中比例常數其中比例常數 稱為稱為熱交換系數熱交換系數 1 0k 13 流過物體表面流過物體表面 的流量可以從物質內部（傅里葉的流量可以從物質內部（傅里葉 定律）和外部介質（牛頓定律）兩個方面來確定：定律）和外部介質（牛頓定律）兩個方面來確定： 11 (), u kdSdtk uu dSdt n 或或 11 (). u kk uu n ( , , ) ()|( , , , ). x y z u ug x y z t n 即得到（即得到（1.10）：）：

13、 14 例例 長為長為l 的均勻桿，兩端有恒定熱流進入，其強度為的均勻桿，兩端有恒定熱流進入，其強度為 0 q ，寫出這個熱傳導問題的邊界條件。，寫出這個熱傳導問題的邊界條件。 在邊界上有：在邊界上有： 若端點是絕熱的，則 解： n u kq 0 0 |qq x u k n u k n lx lx x=l處： 0| 0 x lx x u x u x q0 q0 nn k q x u x 0 0 | x=0處： 00 )( |qq x u k n u k n lx x k q x u lx 0 | 15 三、定解問題三、定解問題 定義定義1 在區(qū)域在區(qū)域0,)G 上，由偏微分方程、初上，由偏微分

14、方程、初 始條件和邊界條件中的其中之一組成的定解問題稱為始條件和邊界條件中的其中之一組成的定解問題稱為 初邊值問題或混合問題初邊值問題或混合問題。 2 12 0,0,0, ,0( ),0,0, ,( ),( ),0,0. txx x ua uxlt u xxxl t u o ttul thu l ttth 例如三維熱傳導方程的第一初邊值問題為：例如三維熱傳導方程的第一初邊值問題為： 2 0 ( , , ) ()( , , , ), ( , , , ),0, ( , , , )|( , , ),( , , , ), |( , , , ),0. txxyyzz t x y z ua uuuf x

15、y z tx y z tt u x y z tx y zx y z t ug x y z tt 16 始條件組成的定解問題稱為始條件組成的定解問題稱為初值問題或柯西問題初值問題或柯西問題。 例如三維熱傳導方程的初值問題為：例如三維熱傳導方程的初值問題為： 定義定義2 在區(qū)域在區(qū)域 3 0,)R 上，由偏微分方程和初上，由偏微分方程和初 23 3 0 ()( , , , ), ( , , , ),0, ( , , , )|( , , ),( , , , ). txxyyzz t ua uuuf x y z tx y z tRt u x y z tx y zx y z tR 17 2 2、上述邊界

16、條件形式上與波動方程的邊界條件上述邊界條件形式上與波動方程的邊界條件 一樣，但表示的物理意義不一樣；一樣，但表示的物理意義不一樣； 3 3、熱傳導方程的初始條件只有一個，而波動方熱傳導方程的初始條件只有一個，而波動方 程有兩個初始條件。程有兩個初始條件。 1 1、熱傳導、熱傳導方程不僅僅描述熱傳導現象，也可以方程不僅僅描述熱傳導現象，也可以 刻畫分子、氣體的擴散等，也稱擴散方程；刻畫分子、氣體的擴散等，也稱擴散方程； 注注 4 4、除了三維熱傳導方程外，物理上，除了三維熱傳導方程外，物理上，溫度的分溫度的分 布在同一個界面上是相同的布在同一個界面上是相同的，可得，可得一維熱傳導方一維熱傳導方

17、程：程： 2 2 2 .(1.12) uu a tx 而對于薄片的熱傳導，而對于薄片的熱傳導，可得可得二維熱傳導方程：二維熱傳導方程： 22 2 22 ().(1.13) uuu a txy 18 3 3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 當我們研究物理中的各類現象，如振動、熱傳導、當我們研究物理中的各類現象，如振動、熱傳導、 擴散等的擴散等的穩(wěn)定穩(wěn)定過程時，由于表達該物理過程的物過程時，由于表達該物理過程的物 理量理量 不隨時間變化而變化，因此不隨時間變化而變化，因此 . .u 0 u t 如果我們考慮的是一個穩(wěn)定的熱場，則可以得到如果我們考慮的是一個穩(wěn)定的熱場，則可以得到 不隨時間變化而變化的溫度

18、不隨時間變化而變化的溫度 所滿足的方所滿足的方 程：程： , , ,u x y z t 222 222 0,(*) uuu xyz 方程方程( (* *) )稱為三維稱為三維拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程或者或者 調和方程調和方程，它通常表示成為，它通常表示成為 或者或者 的形式。的形式。 0u 2 0u 19 拉普拉斯方程和泊松方程不僅描述穩(wěn)定狀態(tài)下溫拉普拉斯方程和泊松方程不僅描述穩(wěn)定狀態(tài)下溫 度的分布規(guī)律，而且也描述穩(wěn)定的濃度分布及靜度的分布規(guī)律，而且也描述穩(wěn)定的濃度分布及靜 電場的電位分布等物理現象。電場的電位分布等物理現象。 222 222 , ,( )

19、uuu fx y z xyz 其中其中 , ,( , , )/ .fx y zF x y xk 如果我們考慮有源的穩(wěn)定熱場，則可以得到方程：如果我們考慮有源的穩(wěn)定熱場，則可以得到方程： 非齊次方程非齊次方程 通常叫做通常叫做泊松泊松(Poisson)(Poisson)方程方程，記作，記作 , ,uf x y z 或者或者 2 , ,.ufx y z ( ) 20 ()( , , ),( , , ), ( , , )|( , , ),( , , ). xxyyzz uuuf x y zx y z u x y zx y zx y z ( , , ),( , , ), ( , , ),( , , )

20、. uf x y zx y z u x y zx y z n ( , , ),( , , ), ( , , ),( , , ). uf x y zx y z u ux y zx y z n 1 1、DilichletDilichlet問題。問題。 2 2、NeumannNeumann問題。問題。2 2、NeumannNeumann問題。問題。 3 3、 第三邊值問題。第三邊值問題。 21 波動方程（雙曲型）波動方程（雙曲型） 聲波、電磁波、桿的振聲波、電磁波、桿的振 動；動； 熱傳導方程（拋物型）熱傳導方程（拋物型） 熱傳導，物質擴散時熱傳導，物質擴散時 的濃度變化規(guī)律的濃度變化規(guī)律, , 土

21、壤力學土壤力學 中的滲透方程中的滲透方程; ; LaplaceLaplace方程方程 （橢圓型）（橢圓型） 穩(wěn)定的濃度分布穩(wěn)定的濃度分布, , 靜電場的電位靜電場的電位, , 流體的勢。流體的勢。 總總 結：結： 22 1.3 1.3 定解問題的提法定解問題的提法 初始條件和邊界條件通稱為初始條件和邊界條件通稱為定解條件定解條件。 定解問題定解問題是指泛定方程和相應定解條件的結合體。是指泛定方程和相應定解條件的結合體。 泛定方程和相應初始條件構成的定解問題稱為泛定方程和相應初始條件構成的定解問題稱為初值初值 問題問題或者或者柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)問題問題。 )( )(| )0

22、,( 0 0 2 xxu txuau t xxt 23 )(| )( )(| )0,( 0 0 0 2 xu xxu txuau tt t xxtt 波方程的Cauchy問題 由泛定方程和相應邊界條件構成的定解問題稱為由泛定方程和相應邊界條件構成的定解問題稱為 邊值問題。邊值問題。 ).,( ,),( , 0 yxfu yxu Laplace方程的邊值問題 24 由偏微分方程和相應的初始條件及邊界條件構成由偏微分方程和相應的初始條件及邊界條件構成 的定解問題稱為的定解問題稱為混合問題混合問題。 ), ,()( ),( ),( 0,),( 0)( 0 2 tzyxfu n u zyxzyxu t

23、zyxuuuau t zzyyxxt 熱傳導方程的混合問題熱傳導方程的混合問題 25 22 2 0,0; 22 uu axlt tx , 2 2 ll l 0 例例 設弦的兩端固定于設弦的兩端固定于x=0 和和x=l，弦的初始位移，弦的初始位移 如下圖，初速度為零，求弦滿足的定解問題。如下圖，初速度為零，求弦滿足的定解問題。 解：解： ,0 2 ,0 0 0 , 2 l xx u u t lt t lxxl 0; 0 uu xxl 26 一個定解問題的一個定解問題的適定性適定性(Well-posedness)(Well-posedness)包含以包含以 下幾個方面：下幾個方面： 1 1）解的）

24、解的存在性存在性，即所提的定解問題是否有解；，即所提的定解問題是否有解； 3 3）解的）解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性，即看定解問題的解是否連續(xù)依賴，即看定解問題的解是否連續(xù)依賴 定解條件。也就是說，當定解條件有微小變動時，定解條件。也就是說，當定解條件有微小變動時， 引起解的變動是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定的，引起解的變動是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定的， 否則稱解是不穩(wěn)定的。否則稱解是不穩(wěn)定的。 2 2）解的）解的唯一性唯一性，即所提的定解問題是否有唯一的，即所提的定解問題是否有唯一的 解；解； 27 數理方程的一些基本概念數理方程的一些基本概念 (1) 偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函數及其偏導

25、數的方程，如含有未知多元函數及其偏導數的方程，如 222 22 ( , , ,)0 uuuuu F x yu xyxyx y 其中其中( , ,)u x y 是未知多元函數，是未知多元函數，而而 , ,x y 是未知變量；是未知變量； , uu xy 為為 u 的偏導數的偏導數. 有時為了書有時為了書寫方便，通常記寫方便，通常記 2 2 , xyxx uuu uuu xyx 28 (2)方程的階方程的階 偏微分方程中未知函數偏導數的最高階數稱偏微分方程中未知函數偏導數的最高階數稱 為方程的階為方程的階 (3)方程的次數方程的次數 偏微分方程中最高階偏導數的冪次數稱為偏微分方程中最高階偏導數的冪

26、次數稱為 偏微分方程的次數偏微分方程的次數 (4)線性方程線性方程 一個偏微分方程對未知函數和未知函數的所一個偏微分方程對未知函數和未知函數的所 有（組合）偏導數的有（組合）偏導數的冪次數冪次數都是一次的，就稱為線性方程，都是一次的，就稱為線性方程， 高于一次以上的方程稱為非線性方程高于一次以上的方程稱為非線性方程 29 (5)準線性方程準線性方程 一個偏微分方程，如果僅對方程中所有最一個偏微分方程，如果僅對方程中所有最 高階偏導數是線性的，則稱方程為準線性方程高階偏導數是線性的，則稱方程為準線性方程 (6)自由項自由項 在偏微分方程中，不含有未知函數及其偏導數的在偏微分方程中，不含有未知函數

27、及其偏導數的 項稱為自由項項稱為自由項 30 5 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果將某個函數 u 代入偏微分方程中，能使方程成 為恒等式，且方程中出現的偏導數都連續(xù)，則這個 連續(xù)函數就是該偏微分方程的古典解。 通解： 解中含有相互獨立的和偏微分方程階數相同的任意常 數的解。 特解： 通過定解條件確定了解中的任意常數后得到的解。 形式解：未經過嚴格數學理論驗證的解為形式解。 6 6、求解方法、求解方法 分離變量法、 特征線法、格林函數法 31 例例2.1 設 在直線R上具有二階連續(xù)導 數， ，驗證 在 平面上都是 的古典解. ),(),( 1 atxFtxu ,F xG x )(),

28、( 2 atxGtxu 21 uu 和 xot0 2 xxtt uau 解解 直接計算可得 ).( ),( 2 1 2 1 atxF x u atxF x u ).()( ,)( 22 2 1 2 1 atxFaaatxF t u aatxF t u 2 1 2 x u 2 1 2 t u 2 u 代 ， 到方程中即得結論成立. 類似可證 也是方程的古典解. 32 33 (4) 按未知函數及其導數的系數是否變化分為常系數和按未知函數及其導數的系數是否變化分為常系數和 變系數微分方程變系數微分方程； (5) 按自由項是否為零分為按自由項是否為零分為齊次方程齊次方程和和非齊次方程非齊次方程 3 3

29、、微分方程一般分類、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個數，分為二元和多元方程按自變量的個數，分為二元和多元方程； (2) 按未知函數及其導數的冪次，分為線性微分方程和按未知函數及其導數的冪次，分為線性微分方程和 非線性微分方程非線性微分方程； (3) 按方程中未知函數導數的最高階數，分為一階、二階按方程中未知函數導數的最高階數，分為一階、二階 和高階微分方程和高階微分方程； 34 x x u a t u 2 2 2 2 2 22 2 22 uu au xt 2 2 2 uu axu xt 2 22 11 0 uu 判斷下列方程的類型 思考 35 36 2 111 0 nnn iki iki

30、 iki uu ABcuf x xx fFu y u E x u D y u C yx u B x u A 2 22 2 2 2 一般二階線性偏微分方程（n個自變量） 兩個自變量二階線性偏微分方程的一般形式 線性方程的疊加原理線性方程的疊加原理 37 稱形如 0 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 x x B c y b x b y a yx a x aL 的符號為微分算子。 0 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 x x u uB c y u b x u b y u a yx u a x u auL 38 二階偏微分方程 fcu y u b x u b y u a yx u a x u a 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 可簡寫為.fuL 定解條件定解條件 g x u x 0 可簡寫為可簡寫為.guB 39 幾種不同的原因的綜合所產生的效果等于這些不同原 因單獨產生的效果的累加。(物理上) 40 線性方程的解具有疊加特性 ii fLu ffi uui fLu 0 i Luuui 0Lu 4 4、疊加原理、疊加原理 疊加原理的疊加