空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、.第八章立體幾何初步第 1 課時(shí)空間點(diǎn)、直線、平面之間的 位置關(guān)系對(duì)應(yīng)學(xué)生用書（文）9799頁 （理）99101頁 考情分析考點(diǎn)新知理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；會(huì)用數(shù)學(xué)語言規(guī)范的表述空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān) 理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義， 系了解公理 1、2、3 及公理 3 的推論 1、2、 能判定空間兩直線的位置關(guān)系；了解異面直3，并能正確判定；了解平行公理和等角定理線所成角.1. (原創(chuàng))已知點(diǎn) p、q，平面，將命題“p，qpq”改成文字?jǐn)⑹鍪莀 答案：若點(diǎn) p 在平面 內(nèi)，點(diǎn) q 不在平面 內(nèi)，則直線 pq 不在平面 內(nèi)解析：正確理解符號(hào)語言表達(dá)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，能正確進(jìn)

2、行自然語言、 圖形語言和符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化2. (原創(chuàng))有下列命題：空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；空間四點(diǎn)不共面，則 其中任何三點(diǎn)不共線；空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)共面；空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不 共線，則此四點(diǎn)不共面其中正確的命題是_(填序號(hào))答案：解析：只須四點(diǎn)共面，任何三點(diǎn)不必共線；正確；錯(cuò)誤3. (必修 2p 習(xí)題 1 改編)在正方體 abcda b c d 中，與 ad 平行的對(duì)角線有_ 條.28 1 1 1 1 1答案：1解析：與 ad 平行的對(duì)角線僅有 1 條，即 bc .1 14. (必修 2p 練習(xí) 12 改編)如圖所示，在三棱錐 abcd 中，e，f，g，h 分別是棱 a

3、b，31bc，cd，da 的中點(diǎn)，則(1) 當(dāng) ac，bd 滿足條件_時(shí)，四邊形 efgh 為菱形；(2) 當(dāng) ac，bd 滿足條件_時(shí)，四邊形 efgh 是正方形答案：acbd acbd 且 acbd1 1解析：易知 ehbdfg，且 eh bdfg，同理 efachg，且 ef achg，2 2顯然四邊形 efgh 為平行四邊形要使平行四邊形 efgh 為菱形需滿足 efeh，即 acbd； 要使四邊形 efgh 為正方形需滿足 efeh 且 efeh，即 acbd 且 acbd.5. (必修 2p 練習(xí) 3 改編)設(shè) p 表示一個(gè)點(diǎn)，a，b 表示兩條直線，、 表示兩個(gè)平面，24給出下列四

4、個(gè)命題，其中正確的命題是_(填序號(hào)) pa，p a ； abp，ba；. ab，a，pb，pb； b，p，p p b.答案：解析：當(dāng) ap 時(shí)，p，p，但 a ， 錯(cuò)；ap 時(shí)，錯(cuò)；如圖， ab，pb， p a， 由直線 a 與點(diǎn) p 確定唯一平面 .又 ab，由 a 與 b 確定唯一平面 ，但 經(jīng)過直線 a 與點(diǎn) p， 與 重合， b 公共點(diǎn)必在其交線上，故正確，故正確；兩個(gè)平面的1. 公理 1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平 面內(nèi)公理 2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合 是一條直線公理 3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，

5、有且只有一個(gè)平面推論 1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論 2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論 3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面2. 空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系 共面情況 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線 在同一平面內(nèi) 1平行直線 在同一平面內(nèi) 沒有異面直線 不同在任何一個(gè)平面內(nèi) 沒有3. 平行直線的公理及定理(1) 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行(2) 定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角 相等備課札記.1 1.題型 1 平面的基本性質(zhì)例 1 畫一個(gè)正方體 abcda b c d ，再畫出平面 acd 與平面 bdc 的交

6、線，并且說明1 1 1 1 1 1理由解：fcd 、f平面 acd 、eac、e平面 acd 、ebd、e平面 bdc 、fdc 、 1 1 1 1 1f平面 dc b，則 ef 為所求1備選變式（教師專享）在長(zhǎng)方體 abcda b c d 的 a c 面上有一點(diǎn) p(如圖所示，其中 p 點(diǎn)不在對(duì)角線 b d )上1 1 1 1 1 1 1 1(1) 過 p 點(diǎn)在空間作一直線 l，使 l直線 bd，應(yīng)該如何作圖？并說明理由； (2) 過 p 點(diǎn)在平面 a c 內(nèi)作一直線 m，使 m 與直線 bd 成 角，其中 0， 2 ，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？解：(1) 連結(jié) b d ，bd，在平面

7、 a c 內(nèi)過 p 作直線 l，使 lb d ，則 l 即為所求作的直1 1 1 1 1 1線，如圖(a) b d bd，lb d ， l直線 bd.1 1 1 1圖(a)(2) bdb d ， 直線 m 與直線 bd 也成 角，即直線 m 為所求作的直線，如圖(b)由1 1 圖知 m 與 bd 是異面直線，且 m 與 bd 所成的角 0， . 2 當(dāng) 時(shí)，這樣的直線 m 有且只有一條，當(dāng) 時(shí)，這樣的直線 m 有兩條 2 2圖(b)題型 2 共點(diǎn)、共線、共面問題.1,例 2) 如圖，四邊形 abef 和 abcd 都是直角梯形，badfab90，bc=21ad，be= fa，g、h 分別為 f

8、a、fd 的中點(diǎn)2(1) 證明：四邊形 bchg 是平行四邊形(2) c、d、f、e 四點(diǎn)是否共面？為什么？1 1(1) 證明：由已知 fgga，fhhd，可得 gh= ad.又 bc= ad， gh=bc.2 2四邊形 bchg 為平行四邊形1(2) 解：(解法 1)由 be= af，g 為 fa 中點(diǎn)知，be=fg， 四邊形 befg 為平行四2邊形 efbg.由(1)知 bgch， efch， ef 與 ch 共面又 dfh， c、 d、f、e 四點(diǎn)共面1(解法 2)如圖，延長(zhǎng) fe、dc 分別與 ab 交于點(diǎn) m、m， be= af， b 為 ma2中點(diǎn)1 bc= ad， b 為 ma

9、 中點(diǎn) m 與 m重合，即 fe 與 dc 交于點(diǎn) m(m) 2c、d、f、e 四點(diǎn)共面變式訓(xùn)練如圖，在正方體 abcda b c d 中，對(duì)角線 a c 與平面 bdc 交于點(diǎn) o，ac、bd 交于1 1 1 1 1 1點(diǎn) m，e 為 ab 的中點(diǎn)，f 為 aa 的中點(diǎn)求證：1(1) c 、o、m 三點(diǎn)共線；1(2) e、c、d 、f 四點(diǎn)共面1證明：(1) c 、o、m平面 bdc ，又 c 、o、m平面 a acc ，由公理 2 知，點(diǎn)1 1 1 1 1c 、o、m 在平面 bdc 與平面 a acc 的交線上， c 、o、m 三點(diǎn)共線1 1 1 1 1(2) 連結(jié) ef，a、b、c、d

10、， e、f 分別是 ab，a a 的中點(diǎn)， efa b. a b1 1 1cd ， efcd . e、c、d 、f 四點(diǎn)共面1 1 1題型 3 空間直線位置關(guān)系問題.2 22 2 2 2 2.例 3 已知 a 是bcd 平面外的一點(diǎn)，e，f 分別是 bc，ad 的中點(diǎn)(1) 求證：直線 ef 與 bd 是異面直線；(2) 若 acbd，acbd，求 ef 與 bd 所成的角(1) 證明：假設(shè) ef 與 bd 不是異面直線，則 ef 與 bd 共面，從而 df 與 be 共面，即 ad 與 bc 共面，所以 a、b、c、d 在同一平面內(nèi)，這與 a 是bcd 平面外的一點(diǎn)相矛盾故直 線 ef 與

11、bd 是異面直線(2) 解：取 cd 的中點(diǎn) g，連結(jié) eg、fg，則 egbd，所以相交直線 ef 與 eg 所成的角，1即為異面直線 ef 與 bd 所成的角在 egf 中，由 egfg ac，求得feg45，即2異面直線 ef 與 bd 所成的角為 45.備選變式（教師專享）已知四棱錐 pabcd 的頂點(diǎn) p 在底面的射影恰好是底面菱形 abcd 的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)， 若 ab3，pb4，則 pa 長(zhǎng)度的取值范圍為_答案：( 7，5)解析：由題意知 po平面 abcd，ab3，pb 4，設(shè) poh，obx，則 pa h 9 x 16x x 9252x ，因?yàn)?0x3，所以 7252x 2

12、5，所以 7pa5.1. (2013 福州檢測(cè))給出下列四個(gè)命題：1 沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行；2 互相垂直的兩條直線是相交直線；3 既不平行也不相交的直線是異面直線；4 不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線其中正確命題是_(填序號(hào))答案：解析：沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行或異面，故命題錯(cuò)；互相垂直的兩條直線相交或異 面，故命題錯(cuò)；既不平行也不相交的直線是異面直線，不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異 面直線，命題、正確2. 下列命題錯(cuò)誤的是_ (填序號(hào))1 如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)一定存在直線平行于平面 ；2 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 ；3 如果平面 平面

13、，平面 平面 ，l，那么直線 l平面 ；4 如果平面 平面 ，那么平面 內(nèi)所有直線都垂直于平面 .答案：解析：根據(jù)長(zhǎng)方體模型可知，是錯(cuò)的3. 如圖是正四面體的平面展開圖，g，h，m，n 分別為 de，be，ef，ec 的中點(diǎn)，在 這個(gè)正四面體中：.1 gh 與 ef 平行；2 bd 與 mn 為異面直線；3 gh 與 mn 成 60角；4 de 與 mn 垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的是_(填序號(hào))答案：解析：還原成正四面體知 gh 與 ef 為異面直線，bd 與 mn 為異面直線，gh 與 mn 成 60角，demn.4. 若直線 l 不平行于平面 ，且 l ，則下列命題正確的是_ (填序號(hào)

14、)1 內(nèi)的所有直線與 l 異面；2 內(nèi)不存在與 l 平行的直線；3 內(nèi)存在唯一的直線與 l 平行；4 內(nèi)的直線與 l 都相交答案：5. 從正方體 abcda b c d 的 8 個(gè)頂點(diǎn)中任意取 4 個(gè)不同的頂點(diǎn)，這4 個(gè)頂點(diǎn)可能是：1 1 1 1(1) 矩形的 4 個(gè)頂點(diǎn)；(2) 每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的 4 個(gè)頂點(diǎn)；(3) 每個(gè)面都是直角三角形的四面體的 4 個(gè)頂點(diǎn)；(4) 有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體的 4 個(gè)頂點(diǎn)其中正確的結(jié)論有_ 個(gè)答案：4解析：四邊形 abcd 適合(1)，四面體 acb d 適合(2)，db c d 適合(3)，da c d 適合(4

15、)，1 1 1 1 1 1 1 1因此正確的結(jié)論有 4 個(gè)1. 若空間中有兩條直線，則 “這兩條直線為異面直線 ”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn) ” 的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)答案：充分不必要解析：若兩條直線無公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行若兩條直線是異面直 線，則兩條直線必?zé)o公共點(diǎn)2. (2013 南昌模擬)若 p 是兩條異面直線 l、m 外的任意一點(diǎn)，則下列命題中假命題的是 _ (填序號(hào))1 過點(diǎn) p 有且僅有一條直線與 l、m 都平行；2 過點(diǎn) p 有且僅有一條直線與 l、m 都垂直；3 過點(diǎn) p 有且僅有一條直線與 l、m 都相交；4

16、 過點(diǎn) p 有且僅有一條直線與 l、m 都異面答案：解析：是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn) p 不存在一條直線與 l、m 都平行；是真命題，因?yàn)檫^ 點(diǎn) p 有且僅有一條直線與 l、m 都垂直，這條直線與兩異面直線的公垂線平行或重合；是 假命題，因?yàn)檫^點(diǎn) p 也可能沒有一條直線與 l、m 都相交；是假命題，因?yàn)檫^點(diǎn) p 可以作 出無數(shù)條直線與 l、m 都異面，這無數(shù)條直線在過點(diǎn) p 且與 l、m 都平行的平面上.3. 如圖，在四面體 abcd 中作截面 pqr，若 pq、cb 的延長(zhǎng)線交于 m，rq、db 的延 長(zhǎng)線交于 n，rp、dc 的延長(zhǎng)線交于 k.求證： m、n、k 三點(diǎn)共線證明： mpq，直線 pq

17、平面 pqr，mbc，直線 bc平面 bcd， m 是平面 pqr 與平面 bcd 的一個(gè)公共點(diǎn)，即 m 在平面 pqr 與平面 bcd 的交線 l 上同理可證：n、k 也在 l 上 m、n、k 三點(diǎn)共線4. 已知：a、b、c、d 是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a、b、c、d 共面 證明：證法 1：若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè) a、b、c 相交于一點(diǎn) a，直線 d 和 a 確定一個(gè)平面 .又設(shè)直線 d 與 a、b、c 分別相交于 e、f、g，則 a、e、f、g.a、e，a、ea， a .同理可證 b，c. a、b、c、d 在同一平面 內(nèi)證法 2：當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖 這四條直線兩兩相交，則設(shè)相 交直線 a、b 確定一個(gè)平面 .設(shè)直線 c 與 a、b 分別交于點(diǎn) h、k，則 h、k.又 h、kc， c.同理可證 d. a、b、c、d 四條直線在同一平面 內(nèi)1. 證明點(diǎn)線共面的常用方法：一是依據(jù)題中所給條件先確定一個(gè)平面，然后證明其余