高考數(shù)學應(yīng)用題歸類解析

1、高考數(shù)學應(yīng)用題歸類解析富源六中 樊加虎類型一：函數(shù)應(yīng)用題1.1 以分式函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題例1. 工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x(萬件)間的關(guān)系為：（c為常數(shù)， 且0c6）. 已知每生產(chǎn)1件合格產(chǎn)品盈利3元，每出現(xiàn)1件次品虧損1.5元.（1）將日盈利額y(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)；（2）為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬件？(注：次品率100%)【解】（1）若，則， 若，則 ， （2）當，則若，則，函數(shù)在上為增函數(shù)， 若，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當時，. 綜上，若，則當日產(chǎn)量為c萬件時，日盈利額最大；若，則當日產(chǎn)量為3萬件時，日盈利額最大. 例2. 近年來，某企業(yè)每年消耗

2、電費約24萬元, 為了節(jié)能減排, 決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng), 安裝這種供電設(shè)備的工本費(單位: 萬元)與太陽能電池板的面積(單位: 平方米)成正比, 比例系數(shù)約為0.5. 為了保證正常用電, 安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式. 假設(shè)在此模式下, 安裝后該企業(yè)每年消耗的電費（單位：萬元）與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)). 記為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與該村15年共將消耗的電費之和. （1）試解釋的實際意義, 并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當為多少平方米時, 取得最小值？最小值是多少萬元？【解】（1）的實際意義是安裝這

3、種太陽能電池板的面積為0時的用電費用，即未安裝電陽能供電設(shè)備時全村每年消耗的電費，由,得，所以；（2）因為.當且僅當，時取等號，所以當為55平方米時, 取得最小值為59.75萬元.1.2 以分段函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題例3. 在等邊中,=6cm，長為1cm的線段兩端點都在邊上，且由點向點運動（運動前點與點重合），,點在邊或邊上；,點在邊或邊上，設(shè). （1）若面積為,由圍成的平面圖形面積為，分別求出函數(shù)的表達式；（2）若四邊形為矩形時，求當時, 設(shè)，求函數(shù)的取值范圍 .解：（1） 當時，f在邊ac上，；當時，f在邊bc上， ,， 當時，f、g都在邊ac上，；當時，f在邊ac上，g在邊bc上, ；當

4、時，f、g都在邊bc上, . （2） 當時， 當時，例4. 如圖，長方體物體在雨中沿面（面積為）的垂直方向作勻速移動，速度為v（v0），雨速沿移動方向的分速度為，移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）或的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與s成正比，比例系數(shù)為1；（2）其他面的淋雨量之和，其值為. 記為移動過程中的總淋雨量，當移動距離，面積s=.（1）寫出的表達式；（2）設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)的不同取值范圍，確定移動速度，使總淋雨量最少.1.3 以二次函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題例5. 輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運動如圖，助跑道abc是一段拋物線，某輪滑運動員通過助

5、跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米的平臺上e處，飛行的軌跡是一段拋物線cde（拋物線cde與拋物線abc在同一平面內(nèi)），d為這段拋物線的最高點現(xiàn)在運動員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標系，軸在地面上，助跑道一端點a(0，4)，另一端點c(3，1)，點b(2，0)，單位：米（1）求助跑道所在的拋物線方程；（2）若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點c處有相同的切線，為使運動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運動員的飛行距離在4米到6米之間（包括4米和6米），試求運動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍？（注：飛行距離指點c與點e的水平距離，即這兩點橫坐標差的絕對值）【解】（1）

6、設(shè)助跑道所在的拋物線方程為，依題意： 解得，助跑道所在的拋物線方程為 （2）設(shè)飛行軌跡所在拋物線為（），依題意：得解得，令得，當時，有最大值為，則運動員的飛行距離， 飛行過程中距離平臺最大高度，依題意，得，即飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍為在2米到3米之間例6. 某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出x (x)名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元(a0)，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高0.2x%（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)

7、業(yè)？（2）在（1）的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？【解】（1）由題意，得10(1000x)(10.2x %)101000，即500x0，又x0，所以0x500即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè)（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，所以ax10002xx，所以ax1000x，即a1恒成立因為4，當且僅當，即x500時等號成立，所以a5，又a0，所以0a5所以a的取值范圍為(0，類型二：三角測量應(yīng)用題2.1 以三角函數(shù)的定義為載體的三角應(yīng)用題a oz oz cz bz 1 2 x y 例

8、7. 如圖，兩個圓形飛輪通過皮帶傳動，大飛輪的半徑為（為常數(shù)），小飛輪的半徑為，.在大飛輪的邊緣上有兩個點，滿足，在小飛輪的邊緣上有點設(shè)大飛輪逆時針旋轉(zhuǎn)一圈，傳動開始時，點，在水平直線上m（1）求點到達最高點時，間的距離；（2）求點，在傳動過程中高度差的最大值. 【解】（1）以為坐標系的原點，所在直線為軸，如圖所示建立直角坐標系當點a到達最高點時，點a繞o1轉(zhuǎn)過，則點c繞o2轉(zhuǎn)過 此時a（0，2r），c （2）由題意，設(shè)大飛輪轉(zhuǎn)過的角度為，則小飛輪轉(zhuǎn)過的角度為2，其中此時b（2r，2r），c（4r + r，r）記點高度差為，則即設(shè)，則 令，得或1則，0或2 列表：02+0-0+0極大值f()極

9、小值f()0當 =時，f()取得極大值為；當 =時，f()取得極小值為答：點b，c在傳動中高度差的最大值 2.2 以三角函數(shù)的圖象為載體的三角應(yīng)用題例8. 如圖，摩天輪的半徑為，點距地面的高度為，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處.（1）試確定在時刻時點距離地面的高度；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點距離地面超過？（3）求證：不論為何值，是定值.2.3 以解三角形為載體的三角應(yīng)用題（例9不含分式結(jié)構(gòu)的解三角形問題；例10和例11含有分式結(jié)構(gòu)的解三角形問題，方法略有不同）例9. 在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直，燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，

10、射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬米，設(shè)燈柱高（米），（）. （1）求燈柱的高（用表示）；（2）若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出的最小值 例10. 如圖，將邊長為3的正方形abcd繞中心o順時針旋轉(zhuǎn)a (0a)得到正方形abcd根據(jù)平面幾何知識，有以下兩個結(jié)論：afea；對任意a (0a)，eal，eaf，gbf，gbh，ich，icj，kdj，kdl均是全等三角形（1）設(shè)aex，將x表示為a的函數(shù)；（2）試確定a，使正方形abcd與正方形abcd重疊部分面積最小，并求最小面積【解】（1）在rteaf中，因為afea，aex，所以ef，af 由題意a

11、eaex，bfaf，所以abaeefbfx3所以x，a(0，) （2）saefaeafx()2 令tsinacosa，則sinacosa 因為a(0，)，所以a(，)，所以tsin(a)(1， saef(1)(1) 正方形abcd與正方形abcd重疊部分面積 ss正方形abcd4saef99 (1)18(1) 當t，即a時等號成立 例11. 如圖所示，直立在地面上的兩根鋼管ab和cd，m，m，現(xiàn)用鋼絲繩對這兩根鋼管進行加固，有兩種方法：（1）如圖（1）設(shè)兩根鋼管相距1m，在ab上取一點e，以c為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的f處,形成一個直線型的加固（圖中虛線所示）則be多長時鋼絲繩最短？（2

12、）如圖（2）設(shè)兩根鋼管相距m，在ab上取一點e，以c為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的f 處，再將鋼絲繩依次固定在d處、b處和e處，形成一個三角形型的加固（圖中虛線所示）則be 多長時鋼絲繩最短？aedcbfaedcbf圖1圖2【解】（1）設(shè)鋼絲繩長為ym，則（其中，），當時，即時，（2）設(shè)鋼絲繩長為ym，則（其中，）9分令得，當時，即時12分例12. 海岸線，現(xiàn)用長為的攔網(wǎng)圍成一養(yǎng)殖場，其中（1）若, 求養(yǎng)殖場面積最大值；（2）若、為定點，在折線內(nèi)選點，使，求四邊形養(yǎng)殖場dbac的最大面積；（3）若(2)中b、c可選擇，求四邊形養(yǎng)殖場acdb面積的最大值.【解】（1）設(shè)，所以，面積的最大值為，

13、當且僅當時取到（2）設(shè)為定值) (定值) ，由，a =l，知點在以、為焦點的橢圓上，為定值只需面積最大,需此時點到的距離最大, 即必為橢圓短軸頂點 面積的最大值為，因此,四邊形acdb面積的最大值為（3）先確定點b、c，使. 由(2)知為等腰三角形時，四邊形acdb面積最大.確定bcd的形狀，使b、c分別在am、an上滑動，且bc保持定值，由(1)知ab=ac時四邊形acdb面積最大. acdabd，cad=bad=，且cd=bd=.來s=.由(1)的同樣方法知，ad=ac時，三角形acd面積最大，最大值為.所以，四邊形acdb面積最大值為.2.4 以立體幾何為載體的三角應(yīng)用題例13. 某企業(yè)

14、擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設(shè)該容器的建造費用為千元（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；（2）求該容器的建造費用最小時的【解】（i）設(shè)容器的容積為v，由題意知故由于，因此所以建造費用因此（2）由（1）得由于當令，所以 （1）當時，易得是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點。 （2）當即時，當函數(shù)單調(diào)遞減，所以r=2是函數(shù)y的最小值點，綜上所述，當時，建造費用最小時當時，建造費用最小時

15、例14. 某部門要設(shè)計一種如圖所示的燈架，用來安裝球心為，半徑為r（米）的球形燈泡該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成，其中圓弧形燈托所在圓的圓心都是、半徑都是r（米）、圓弧的圓心角都是（弧度）；燈桿ef垂直于地面，桿頂e到地面的距離為h（米），且；燈腳fa1，fb1，fc1，fd1是正四棱錐f - a1b1c1d1的四條側(cè)棱，正方形a1b1c1d1的外接圓半徑為r（米），四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為（弧度）已知燈桿、燈腳造價都是每米（元），燈托造價是每米（元），其中都為常數(shù)設(shè)該燈架的總造價為（元）o ab c de f a1 dc b1 1 1 （1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當取何值時

16、，取得最小值？【解】（1）延長與地面交于，由題意：，且， 從而， .， （2） 設(shè) ，令 . 當時，；時，設(shè)，其中，. ，時，最小. 答：當時，燈架造價取得最小值. 例15. 要制作一個由同底圓錐和圓柱組成的儲油罐（如圖），設(shè)計要求：圓錐和圓柱的總高度和圓柱底面半徑相等，都為米.市場上，圓柱側(cè)面用料單價為每平方米元，圓錐側(cè)面用料單價分別是圓柱側(cè)面用料單價和圓柱底面用料單價的4倍和2倍.設(shè)圓錐母線和底面所成角為（弧度），總費用為（元）.（1）寫出的取值范圍；（2）將表示成的函數(shù)關(guān)系式；（3）當為何值時，總費用最小?【解】設(shè)圓錐的高為米，母線長為米,圓柱的高為米；圓柱的側(cè)面用料單價為每平方米2元，

17、圓錐的側(cè)面用料單價為每平方米4元. （1） （2）圓錐的側(cè)面用料費用為,圓柱的側(cè)面費用為,圓柱的地面費用為, 則 =, =. （3）設(shè),其中則， 當時，當時，當時，則當時，取得最小值，則當時，費用最小. 2.5 以追擊問題為載體的三角應(yīng)用題例16. 如圖，是沿太湖南北方向道路,為太湖中觀光島嶼, 為停車場，km某旅游團游覽完島嶼后，乘游船回停車場q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行駛， 游船離開觀光島嶼3分鐘后，因事耽擱沒有來得及登上游船的游客甲為了及時趕到停車地點與旅游團會合，立即決定租用小船先到達湖濱大道m(xù)處，然后乘出租汽車到點q(設(shè)游客甲到達湖濱大道后能立即乘到出租車)假設(shè)游客甲

18、乘小船行駛的方位角是，出租汽車的速度為66km/h（1）設(shè)，問小船的速度為多少km/h時，游客甲才能和游船同時到達點q；（2）設(shè)小船速度為10km/h，請你替該游客設(shè)計小船行駛的方位角，當角余弦值的大小是多少時，游客甲能按計劃以最短時間到達【解】(1) 如圖，作,為垂足，在中，(km), =(km)在中，(km) 設(shè)游船從p到q所用時間為h，游客甲從經(jīng)到所用時間為h，小船的速度為 km/h，則 (h),（h） 由已知得：，小船的速度為km/h時，游客甲才能和游船同時到達 （2）在中，(km),(km)(km) , 令得：當時，；當時，在上是減函數(shù)，當方位角滿足時，t最小，即游客甲能按計劃以最短

19、時間到達例17. 已知島南偏東方向，距島海里的處有一緝私艇，一艘走私船正從處以海里每小時的航速沿正東方向勻速行駛. 假設(shè)緝私艇沿直線方向以海里每小時的航速勻速行駛，經(jīng)過小時截住該走私船. （1）為保證緝私艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）截住該走私船，試確定緝私艇航行速度的最小值；（2）是否存在，使得緝私艇以海里每小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向截住該走私船？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由. 【解】（1）最小速度為海里每小時；（2）2.6 以米勒問題為載體的三角應(yīng)用題 例18. 如圖，有一壁畫，最高點處離地面，最低點處離地面.若從離地高的處觀賞它，則離墻多遠時，視角最大？

20、例19. 某興趣小組測量電視塔ae的高度h（單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿bc的高度h=4m，仰角abe=，ade=（1）該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出h的值；（2）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？類型三：數(shù)列應(yīng)用題 例20. 在金融危機中,某鋼材公司積壓了部分圓鋼,經(jīng)清理知共有2009根.現(xiàn)將它們堆放在一起.（1）若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根)，并使剩余的圓鋼盡可能地少,則剩余了多少根圓鋼？

21、（2）若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根),且不少于七層，（）共有幾種不同的方案?（）已知每根圓鋼的直徑為10cm，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m，則選擇哪個方案，最能節(jié)省堆放場地？【解】（1）當縱斷面為正三角形時，設(shè)共堆放層,則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以1為首項、1為公差的等差數(shù)列，且剩余的圓鋼一定小于根，從而由且得，當時，使剩余的圓鋼盡可能地少，此時剩余了56根圓鋼；（2）（）當縱斷面為等腰梯形時，設(shè)共堆放層,則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以為首項、1為公差的等差數(shù)列，從而，即，因與的奇偶性不同，所以與的奇偶性也不同，且，從而由上述等式得：或或或，共有4種方案可供選擇.（

22、）因?qū)訑?shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以由（2）可知：若，則，說明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為400 cm，上下底之長為280 cm和680cm，從而梯形之高為 cm，而，所以符合條件；若，則，說明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為480 cm，上下底之長為160 cm和640cm，從而梯形之高為 cm，顯然大于4m，不合條件，舍去；綜上所述，選擇堆放41層這個方案，最能節(jié)省堆放場地.高考 例21. 某啤酒廠為適應(yīng)市場需要，2011年起引進葡萄酒生產(chǎn)線，同時生產(chǎn)啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生產(chǎn)量為16000噸，葡萄酒

23、生產(chǎn)量1000噸該廠計劃從2012年起每年啤酒的生產(chǎn)量比上一年減少50%，葡萄酒生產(chǎn)量比上一年增加100%，試問：（1）哪一年啤酒與葡萄酒的年生產(chǎn)量之和最低？（2）從2011年起（包括2011年），經(jīng)過多少年葡萄酒的生產(chǎn)總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產(chǎn)總量之和的？（生產(chǎn)總量是指各年年產(chǎn)量之和）【解】設(shè)從2011年起，該車第年啤酒和葡萄酒年生產(chǎn)量分別為噸和噸，經(jīng)過年后啤酒和葡萄酒各年生產(chǎn)量的總量分別為噸和噸（1）設(shè)第年啤酒和葡萄酒生產(chǎn)的年生產(chǎn)量為噸，根據(jù)題意，得=，=，（），則=+=，當且僅當，即時取等號， 故年啤酒和葡萄酒生產(chǎn)的年生產(chǎn)量最低，為噸（2）依題意，得，答：從第6年起，葡萄酒各年生產(chǎn)的

24、總量不低于啤酒各年生產(chǎn)總量與葡萄酒各年生產(chǎn)總量之和的 類型四：線性規(guī)劃應(yīng)用題例22. 某公司計劃2010年在甲、乙兩個電視臺做廣告總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？【解】設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得，即，目標函數(shù)為，作出二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖，作直線，即平移直線，從圖中可

25、知，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值聯(lián)立方程解得點的坐標為（元）答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元 類型五：解析幾何應(yīng)用題例23. 某人欲設(shè)計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”其中是過拋物線焦點且互相垂直的兩條弦，該拋物線的對稱軸為，通徑長為4記，為銳角（通徑：經(jīng)過拋物線焦點且垂直于對稱軸的弦）（1）用表示的長；（2）試建立“蝴蝶形圖案”的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計的大小，使“蝴蝶形圖案”的面積最小【解】（1）由拋物線的定義知，解得，（2）據(jù)（1）同理可得，所以“蝴蝶形圖案”的面積， 即， 令，則，所以當，即時，的最小值為8 答：當時，可使“蝴蝶形圖案”的面積最小 例24. 如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.（1）若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧 道的土方工程量最??？（半個橢圓的面積公式為）【解】（1）如圖建立直角坐標系，則點，橢圓方程為.將b=h=6與點p坐標代入橢圓方程，得此時