2004年考研數(shù)一真題及解析

1、線 y=l nx 過(guò)此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為y -0 =1 (x-1) ，即 y = x -1.2004 年考研數(shù)學(xué)試題答案與解析 ( 數(shù)學(xué)一 )、填空題 ( 本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分.把答案填在題中橫線上 )(1) 曲線 y=l nx 上與直線 x? y=1 垂直的切線方程為 y=x_1 .【分析】 本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為 1, 由曲線 y=lnx 的導(dǎo)數(shù)為 1 可 確定切點(diǎn)的坐標(biāo) .1【詳解】由 /-(ln x)1，得 x=i,可見(jiàn)切點(diǎn)為 (1,0) ，于是所求的切線方程為xy - 0 =1 (x -1) ，即 y = x -1 .評(píng)注】 本題也可先設(shè)切點(diǎn)為

2、(x0, ln x 0)，11，得 x0 =1，由此可知所求切線方程為X。本題比較簡(jiǎn)單，類似例題在一般教科書上均可找到 .1(2) 已知 f (ex)二 xe，且 f(1)=0, 則 f(x)= (ln x) 22(3) 設(shè) L 為正向圓周 x y =2 在第一象限中的部分， 則曲線積分 Lxd2ydx 的【分先求出 f(X) 的表達(dá)式，再積分即可 .析】【詳令 e -1 ，則x -I nt ，于是有解】IntInxf (t)即f (x)tx積分得上 /、n x , 1“ 、 2 丄f (x)dx(I nx) C利用初始條件 f(1)=0, 得 c=0, 故所求函數(shù)2 為 f(x) =(Inx

3、 x )2本題屬基礎(chǔ)題型，已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分評(píng)注】3 值為一二 .2分析】 利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分詳解】2 2正向圓周 x y = 2 在第一象限中的部分，可表示為x = 2 cos 日 , y = P2 sin B,xdy2ydx cos 一 2cos 2 、2si n $2s i ndy = c 1e_L c2e2t評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式二 e，則歐拉方程刁 2sin 2 rd ： - 02評(píng)注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計(jì)算，而在添加 的線段上用參數(shù)法化為定積分計(jì)算即可( 4)歐拉方程 x2寫?

4、4x 也? 2y=0(x .0) 的通解為 y丄弋.dx dxx xax2啤dxbx 慕 cy = f(x),可化為dt2dt010，矩陣 B滿足ABA2BA E，其中 A*為A的伴隨矩_2 1(5 )設(shè)矩陣 A = 1【詳解】 令 t，則齊烏史dxe _t 魚 dy dt x dtd2y1 dydx2x2 dt21 d y dtx dt2dx1 rd2y dy2 2dt，x dt代入原方程，整理得d2 y 證0， dt2分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換x = e 化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可 .解此方程，得通解為1陣，E 是單位矩陣，則 B = 19分析】 可先用公式 A*A

5、= |AE 進(jìn)行化簡(jiǎn)詳解】 已知等式兩邊同時(shí)右乘 A, 得ABA *A=2BA *A A， 而 A = 3 ，于是有3AB =6B A ，即(3A6E)B=A，再兩邊取行列式，有 3A-6EB| = A = 3，1 而 3A6E|=27 ，故所求行列式為 B=.9【評(píng)注】先化簡(jiǎn)再計(jì)算是此類問(wèn)題求解的特點(diǎn)， 而題設(shè)含有伴隨矩陣 A*，一般均應(yīng)先 利用公式 A A = AA = A E 進(jìn)行化簡(jiǎn) .6）設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 入的指數(shù)分布，則 Px JDX =-. e分析】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量 x 的分布，求其滿足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計(jì) 算即可 .1詳解】 由題設(shè)，知 DX . 2，于

6、是扎PX . DX =PX - = edx【評(píng)注】 本題應(yīng)記住常見(jiàn)指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時(shí)再去推算.二、選擇題（本題共 8 小題，每小題 4 分，滿分 32 分 .每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題目要 求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）I X 2 門 X2廠備X 3（ 7）把 XT 0 時(shí)的無(wú)窮小量 口 = cost dt, 0 = tanwtdt, 丫 = （ sin t dt ，使 排在后面的 (A) :(B) : , / . (C) /,(D), / .是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是【分析】 先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序即可詳解】x2tan t

7、dt lim = lim 0 T%T0 x C2.0 PSmt dt(A)f(x)在(0，. )內(nèi)單調(diào)增加 .(B)f(x)在( -0)內(nèi)單調(diào)減少 ?(C) 對(duì)任意的 x (0,、)有 f(x)f(0).t arx 22 x =0,可排除( C),(D) 選項(xiàng), cox【評(píng)注】本題是無(wú)窮小量的比較問(wèn)題，也可先將 ：-,-, 分別與 xn 進(jìn)行比較，再確定相互的高低次序(8)設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù)，且 f (0) ? 0,則存在 :. 0 ，使得(D) 對(duì)任意的 X ：= ( -、,0)有 f(x)f(0).【分析】函數(shù) f(x)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性， 因此可排除 (A),(

8、B)選項(xiàng)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性進(jìn)行分析即可【詳解】 由導(dǎo)數(shù)的定義，知 f(x)-f(O) 門 f(o)Pm0根據(jù)保號(hào)性，知存在 0，當(dāng) x ? (- 、；, 0) (0, 時(shí)，有f(X)- f (0)即當(dāng) x (- 、, 0)時(shí)， f(x)f(0). 故應(yīng)選 (C).【評(píng)注】題設(shè)函數(shù)一點(diǎn)可導(dǎo)，一般均應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行討論CO(9)設(shè) v an 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是1 lim- x 30 sint dt3321Sinx2 2一lim x_0 x_0limxxx2xta nx0 tan Vtdt1x-=lim=：: ，可見(jiàn) 是比：低階的無(wú)窮小量，故應(yīng)選x2(B). 4x

9、刃(B) 若存在非零常數(shù)，使得 lim nan = ，則級(jí)數(shù) a n n_jpc發(fā)散.(A)(D);又取 an1， n* n則級(jí)數(shù) J an 收斂，但 limn 2a.n，排除 (C),故應(yīng)選 (B).積函數(shù)若 lim nan =0, 則級(jí)數(shù) a.收斂 . n & :(C) 若級(jí)數(shù) v a n收斂，則 limn2an =0. nc(D) 若級(jí)數(shù) v a n發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得 lim nan njpc【分析】 對(duì)于斂散性的判定問(wèn)題，若不便直接推證，往往可用反例通過(guò)排除法找到 正確選項(xiàng) .【詳解】 取 an，貝 U lim na n =0，但發(fā)散，排除 (A),nlnnn-:n =1nA

10、n ln n【評(píng)注】 本題也可用比較判別法的極限形式 ,lim na n = lim 丄 0，a而級(jí)數(shù) 上發(fā)散，因此 1 級(jí)數(shù)二 an也發(fā)散，故應(yīng)選 (B). n 廠n : 1 n =1t t(10)設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)， F(t)二dy f(x)dx ，則F (2)等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) -(2). (D) 0. B 【分析】 先求導(dǎo)，再代入 t=2 求 F (2)即可.關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被 中不含有變量 t.【詳解】 交換積分次序，得t t t x tF(t) = dyjy f (x)dx = J f (x)dydx = f (x)(x-1)d

11、xX：(A)(B) 1 0 1 . (C)(D) 1 0 0【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對(duì) 個(gè)相應(yīng)的初等矩陣，而 Q 即為此兩個(gè)初等矩陣的乘積 ?【詳解】由題設(shè)，有A 作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩于是 ,1 00B 011 =C ，001一0 0 0 1 11 1 =A 1 0 0 =C0 0 1 一B 的行向量組線性相關(guān) B 的列向量組線性相關(guān) B 的行向量組線性相關(guān) B 的列向量組線性相關(guān)【分析】 A,B 的行列向量組是否線性相關(guān)， 是否有非零解進(jìn)行分析討論 ?可從 A,B 是否行 ( 或列 ) 滿秩或 Ax=0 ( Bx=0 )評(píng)注】在應(yīng)用變限的積分對(duì)變量 x 求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)

12、注意被積函數(shù)中不能含有變量b(x)a ( x) f(t)dt=fb(x)b(x) fa(x)a(x)否則，應(yīng)先通過(guò)恒等變形、 變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量x 換到積分號(hào)外或積分線上 ?(11) 設(shè) A 是 3 階方陣，將 A 的第 1 列與第 2 列交換得 B 再把 B 的第 2 列加到第 3 列 得 C,則滿足 AQ=C 的可逆矩陣 Q 為可見(jiàn)，應(yīng)選 ( D).【評(píng)注】 涉及到初等變換的問(wèn)題，應(yīng)掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初 等變換的關(guān)系(12) 設(shè) A,B 為滿足 AB=O 的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有(A) A 的列向量組線性相關(guān) (B) A 的列向量組線性相關(guān)(

13、C)A 的行向量組線性相關(guān)(D)A 的行向量組線性相關(guān)詳解 1】設(shè) A 為 m n 矩陣， B 為 n s 矩陣，則由 AB=O 知，B的r(A) r(B) 0,r(B)0. 可見(jiàn) r(A)n, r(B)n, 即 A 的列向量組線性相關(guān)，行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選 ( A).【詳解 2】由 AB=O 知， B的每一列均為 Ax=0 的解，而 B為非零矩陣，即 Ax=0存在非 零 解，可見(jiàn) A 的列向量組線性相關(guān) .同理，由 AB=O 知，BTAT =0，于是有 BT的列向量組，從而 B 的行向量組線性相關(guān)， 故應(yīng)選(A).【評(píng)注】 AB=0 是?？缄P(guān)系式，一般來(lái)說(shuō)，與此相關(guān)的兩個(gè)結(jié)論是應(yīng)記住的：

14、1) AB=0 二 r( A) r(B) ： n ;2) AB=0= B 的每列均為 Ax=0 的解 .( 13)設(shè)隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布滿足N(0,1) ，對(duì)給定的：? (0 ： 1)，數(shù) u-.PX AU，若 P X| X ，則 x 等于(A) U. . (B) U . .2 2 2(C) Uy .(D) Uj：分析】此類問(wèn)題的求解，可通過(guò) U-.的定義進(jìn)行分析，也可通過(guò)畫出草圖，直觀地得 到結(jié)論 .詳解】 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對(duì)稱性知，PX-U 一. = , 于是0.令1 a =1PX x =PX Ax =PX Zx +PX 蘭x =2PX 王 x1 -a即有 PX _x ，可

15、見(jiàn)根據(jù)定義有 x 二 5_一，故應(yīng)選 (C). 2 2(14) 設(shè)隨機(jī)變量 XX2，Xn( n? 1)獨(dú)立同分布，且其方差為二【評(píng)注】本題 U ：. 相當(dāng)于分位(A) Cov( X1,Y)=n(C) D(X i Y) j.n(B) Cov(X Y)-.(D) D(X Y)二衛(wèi)【分析】 本題用方差和協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可，注意利用獨(dú)立性有 CovXXj) =0,i =2,3, n.Cov( Xi ,Y) =Cov(X i Xi)JCov(X i,X i)丄、 Cov(X i,Xi) nn y11 _2=DX1.nn評(píng)注】本題 (C),(D) 兩個(gè)選項(xiàng)的方差也可直接計(jì)算得到：如D(Xi1 -

16、Xn)2(1 n)n -1D(X1 Y)二 D(n 1X1 -丄 X2 - An) n n n(n -1) 22-1n e 時(shí)， (t) ： 0,所以:(t)單調(diào)減少，從而 ? (e2)，即e2故 In2 b 一 In2 a g (b 一 a). e【證法 2】設(shè) (x) =1 n 2x-聳 x，則 eIn x(x)二 2(x)二 22(x) . (e24 4- 飛 =0, e e故 In b - In a 2 (b - a).(x) = In 2 bIn2 x - $ (b x),e ： ex : b e2 ，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可 .InIn e2所以當(dāng) xe 時(shí)， (x) :0,故 :(

17、x)單調(diào)減少，從而當(dāng) e ： x ：e2時(shí),即當(dāng) e ：2x : e 時(shí)， (x) 單調(diào)增加 .因此當(dāng) x :.: e 2 時(shí)， (b):(a),2即 In b b In a42 a，e評(píng)注】本題也可設(shè)輔助函數(shù)為： e2 或(x) = In 2x-ln2 a - 4(x -a),e ： a ：以增大阻(16)( 本題滿分 11 分) 某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘， 力，使飛機(jī)迅速減速并停下現(xiàn)有一質(zhì)量為 9000kg 的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為 700km/h. 經(jīng)測(cè)試，減速傘打開后 , 飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比 ( 比例系數(shù)為 k=6.0

18、10 6).問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛 機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是 多少？注 kg 表示千克， km/h 表示千米 / 小時(shí) .【分析】本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可詳解 1】 由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量 m=9000kg ，著陸時(shí)的水平速度 v0 =700km/h .從飛機(jī)接觸跑道開始記時(shí)，設(shè) t 時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t) ，速度為 v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得積分得 x(t)x(t)m( t).當(dāng) v0 時(shí)，心 kmv 9000 700=1.05(km).6.0 10 6所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 1.05km.dv 【詳解 2】 根據(jù)牛頓第二定律，得m 一dt所以dvkdt.

19、v m兩端積分得通解 v = Ce，代入初始條件J%解得k 故 v(t)二 v e m . 飛 機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為mvX = 0 v(t)dt咼 mv00 =1.05( km). kkdx t=v0e m，知 x(t)0v0ekm dtkkv(e t -1) ，故最長(zhǎng)距離為當(dāng) t 時(shí),x(t) 也 m =1.05(km).詳解 3】 根據(jù)牛頓第二定律，得d2x m2 dtkdxdtdx dv, kv C.由于 v(0) = v0, x(0) = 0 ,故得 C v0，從而 kd2x K=0, dt2 dtk其特征方程為 + 九=0，解之得 人=0,幾 2 m故 C1 C2e m由x= 0,v

20、tz0dx7 dtt=0mt 廠 Vodv m dt=-kv.dvdv dxdvdtv - dx dtdx又由以上兩式得- 3dxdy 二 3 x2 y2-i1mvo得 C1-C2 k曰疋x(t)=當(dāng) t? :* 時(shí)， x(t) ； m = 1.05(km). k所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 1.05km.【評(píng)注】 本題求飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離，可理解為t? - 或 v(t) 0 的極限值，這種條件應(yīng)引起注意 .(17)( 本題滿分 12 分)計(jì)算曲面積分3 3 2I 二 2x dydz 2y dzdx 3(z -1)dxdy, Z其中 v 是曲面 z =1 -x2 -y2(z _0) 的上側(cè) .【

21、分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加 的曲面 上應(yīng)用直接投影法求解即可 .2 2【詳解】 取 1 為 xoy 平面上被圓 x y =1 所圍部分的下側(cè)，記 門為由 7 與 7 1 圍 成的空間閉 區(qū)域，貝 UI 二 2x3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 -1)dxdy- 2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 -1)dxdy.由高斯公式知3 3 2 2 22x dy dz2y dzdx3(z -1)dxdy 6(x y z)d x d y d z 八 1 -J22 二 1 1 -4 2 =6 .0 d o dr p (z r )rdz1 1

22、=12 二. ?r(1 -r 2)2 r3(1 -r2)dr =2 ；而 11 2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 -1)dxdy - - 、1故 I 二 2 恵一 30，及連續(xù)函數(shù)故方程【評(píng)注】本題選擇時(shí)應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)(或內(nèi)側(cè) )，再就是在 1 上直接投影積分時(shí)，應(yīng)注意符號(hào) Ci 取下側(cè)，與 z 軸正向相反，所以取負(fù)號(hào) ).(18)(本題滿分 11 分)設(shè)有方程 xn ? nx 一 1 = 0，其中 n為正整數(shù) .證明此方程存在惟一正實(shí)根xn，并證明當(dāng) 1時(shí)，級(jí)數(shù) V x收斂?n 4【分析】利用介值定理證明存在性， 利用單調(diào)性證明惟一性 ?而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可

23、用 比較法判定 ?【證】記 fn(x)二 xn ? nx-1.由 fn(0) =-1 :： 0 , fn(1)= n ?的介值定理知，方程 xn nx-1 =0 存在正實(shí)數(shù)根 xn ? (0,1).當(dāng) x0 時(shí)， fn(x)二 nxnJ1 ? n .0 ,可見(jiàn) fn(x)在 0, =)上單調(diào)增加，xn 5X -1 =0 存在惟一正實(shí)數(shù)根 xn ?由 xn ? nx -1 = 0 與 Xn 0 知1 _ x n 1.0 x n 二 - : 一，故當(dāng) -1 時(shí)，0 ： xn (一)：n nnoO 1co而正項(xiàng)級(jí)數(shù) 7 收斂，所以當(dāng) :1 時(shí)，級(jí)數(shù) 7 X；收斂?n 二 nn T【評(píng)注】本題綜合考查

24、了介值定理和無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性， 題型設(shè)計(jì)比較新穎，但難度 并不大，只要基本概念清楚，應(yīng)該可以輕松求證(佃)( 本題滿分 12 分)設(shè) z=z(x,y) 是由 x2 -6xy ? 10y2 -2yz -z2 T8 =0 確定的函數(shù)，求 z= z(x, y) 的極值 點(diǎn)和極值 .【分析】可能極值點(diǎn)是兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定 極值點(diǎn) 即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值， 并求出相應(yīng)的極值 .cy【詳解】因?yàn)?x2 -6xy T0y 2-2yz-z 2 T8 = 0 ，所以 cz cz2x-6y-2y 2z 0 ，x:Xcz cz-6x 20y -2z-2y 2z 0 .cy得*x 3y 二 0, 3x:z c010y - z = 0,x=3y,z = y.將上式代入 x26xy 10y 22yz z218=0 ，可得由于所以 A =故 AC -B 2=3,x = -9, y -3 z = -3.2-2yj:x-2-2z 5=02x一6一2exdz20 - ：2z.x-2(9,3,3)z -2z； :xxy:z:ycz-2y 2 y z：2z(9,3,3)-2z2 = 0 ，丄 ，C 仝y2 (9,3,