型曲線曲面積分課件

1、型曲線曲面積分. :的的角角轉轉到到軸軸正正向向按按逆逆時時針針方方向向旋旋從從OPx 9.3.4 9.3.4 用球面坐標計算三重積分用球面坐標計算三重積分 . ,),( 3PoxyMRzyxM面面上上的的投投影影為為在在點點設設點點 ,:的的距距離離到到點點原原點點MOr, :軸軸正正向向的的夾夾角角與與 zOM .20 ,0 ,0 r規(guī)規(guī)定定xyzO Pr),(zyxM zxy. ) , ,( 的球面坐標的球面坐標是點是點則稱三元有序數(shù)組則稱三元有序數(shù)組Mr 型曲線曲面積分xyzO ) 0 ,( yxP r),(zyxM cos sinsin cossin rzryrx: 三三組組坐坐標標

2、面面為為; ,即即以以原原點點為為球球心心的的球球面面常常數(shù)數(shù) r ; ,軸軸為為軸軸的的圓圓錐錐面面即即以以原原點點為為頂頂點點常常數(shù)數(shù)z . ,軸軸的的半半平平面面即即過過常常數(shù)數(shù)z :關關系系為為直直角角坐坐標標與與球球面面坐坐標標的的型曲線曲面積分 .dddsind 2 rrV 體體積積元元素素 zyxzyxfddd),( dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf:式式標變換為球面坐標的公標變換為球面坐標的公角坐角坐把三重積分的變量從直把三重積分的變量從直xyzO drrd dr sinr d d dsinr型曲線曲面積分,cos20 ,20 ,20),( Rr

3、r zxyo), 0 , 0(R.2 ,ddd)( .11222222Rzzyxzyxzyxz 為為球球體體其其中中計計算算例例型曲線曲面積分 zyxzyxzddd)(222 200cos2052ddcossindRrr.386R 200cos20222d sin cosddRrrrr型曲線曲面積分xyzo1 z22yxz .cos10 ,40 ,20 ),( rr.cos1 1 rz化化為為平平面面型曲線曲面積分 40cos10220222dsin1ddddd1 rrrzyxzyx 40cos1020ddsind rr 420dcos2sin2 .)12(0cos14 型曲線曲面積分小小 結

4、結（1 1）積分區(qū)域）積分區(qū)域或被積函數(shù)或被積函數(shù)),(zyxf的表達式中含有的表達式中含有 22yx 因子，一般用柱面坐標計算三重積分；因子，一般用柱面坐標計算三重積分； 若積分區(qū)域若積分區(qū)域或被積函數(shù)或被積函數(shù)),(zyxf的表達式中含有的表達式中含有 222zyx 因子，一般用球面坐標計算三重積分；因子，一般用球面坐標計算三重積分； 型曲線曲面積分2 2第一型曲線積分的定義第一型曲線積分的定義 設設 L 為為oxy面上的一條光滑（或分段光滑）曲線弧，面上的一條光滑（或分段光滑）曲線弧， ),(yxf在在 L 上上有界有界. .任取點列任取點列121 , , , nMMM，把，把 L 分為

5、分為小小 n段段) , , 2 , 1(nili ，并以，并以iils 表表示示 的弧的弧 長長. . 任取任取iiis ),(，作和式，作和式 ) ,( 1 niiiisf ，設，設 max1inisd ，如果當，如果當時時 0d，和式的極限總存在，和式的極限總存在， 則稱此極限為則稱此極限為),(yxf在曲線弧在曲線弧 L 上上的的第一型曲線積分第一型曲線積分 型曲線曲面積分 niiiidLsfsyxf10 ),(limd ),( 被積函數(shù)被積函數(shù)弧長元素弧長元素積分弧積分弧型曲線曲面積分10.1.2 10.1.2 第一型曲線積分的性質第一型曲線積分的性質. d),(d),(d),( ),

6、( LLLsyxgsyxfsyxgyxf , d),(d),(d),( 21 LLLsyxfsyxfsyxf則有則有為常數(shù)為常數(shù)又又可積可積設設 , , , , gf)( 1 線性性質線性性質性質性質則有則有首尾相接成首尾相接成與與設設 , 21LLL)( 2 可加性可加性性質性質. d 的的長長度度LsL 3 性質性質. d),( 21 LLLsyxf簡簡記記為為.d),( ),( LsyxfLyxf為為上上對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分記記在在閉閉曲曲線線型曲線曲面積分10.1.3 10.1.3 第一型曲線積分的計算第一型曲線積分的計算,d)()(d22ttytxs .d)()()(),

7、(d),(22ttytxtytxfsyxfL 型曲線曲面積分.d)(1),(d),( ,d)(1d , , )( )( 22yyxyyxfsyxfyyxsydycyxxLLdc 為為參參數(shù)數(shù)則則取取給給出出由由方方程程若若.d)(1)(,d),( ,d)(1d , , ) ( )( . 222xxyxyxfsyxfxxysxbxaxyyLLba 為參數(shù)為參數(shù)則取則取給出給出由方程由方程若若型曲線曲面積分 d)()(sin)(,cos)(d ),(22 fsyxfLttztytxtztytxfszyxfLd)()()()(),(),(d ),(222 型曲線曲面積分型曲線曲面積分,d41d ,

8、,10 :22xxsxyxxyBO 解解：BOABOAL oxABy1 x2xy 0 y,dd , 0 ,100 :xsyxyOA ,dd , ,101 :ysyyyxAB 型曲線曲面積分xxxyyxd41dd 01 0 21 0 1 0 ).755(121)155(121320 oxABy1 x2xy 0 y OAABBOLsyd 故故型曲線曲面積分yoxAB,dd)(cos)sin(d22tttts 2422dcosdttesxeLyx.)221(e ,cos 22texeyx 被積函數(shù)被積函數(shù).) 22 ,22 ( 1 ) 1 0, ( ,d . 22222處處的的一一段段劣劣弧弧到到沿

9、沿圓圓周周是是從從其其中中計計算算例例 ByxALsxeLyx型曲線曲面積分解法解法 2 2 L的極坐標方程為的極坐標方程為 1 ，24 ， ,ddd22 s.)221(dcosd 2422eesxeLyx yoxAB,cos 22 exeyx 被被積積函函數(shù)數(shù)型曲線曲面積分 1 22221d1d22yyyesxeLyxyoxAB解解法法 3 3 L：21 yx ，122 y， .)221(e ,12yyxy ,1dd1d22yyyxsy ,1 222yexeyx 被被積積函函數(shù)數(shù)型曲線曲面積分 .1 , 142)21(22xzyx).20( .cos221 ,sin2 ,cos221 ttz

10、tytx其參數(shù)方程為其參數(shù)方程為. 1 29 , d)( . 3 222222的的交交點點與與平平面面為為球球面面其其中中計計算算例例 zxzyxLszyxL型曲線曲面積分,d2d)sin2()cos2()sin2(d222ttttts LLsszyxd 29 d)( 222故故.18d229 20 t型曲線曲面積分 LLsxysd 2d12 Lsxy d)212(L L關于關于y y軸對稱，被積函數(shù)軸對稱，被積函數(shù)xyxy關于關于x x為奇函數(shù)為奇函數(shù) .12012aa （代入（代入L L的方程）的方程） Lsxyyxd)243(22. d)243( , , 134 . 42222的的值值求

11、求其其周周長長為為為為橢橢圓圓設設例例 LsxyyxayxL型曲線曲面積分而平面而平面0 zyx通過原點，通過原點， . 0d )(31ddd szyxsysxszLLLL型曲線曲面積分szyxszsxsyLLLLd )(31ddd222222 LsRd312,3223132RRR .32ddd)( 322RsyszsyzLLL 故故型曲線曲面積分定義定義 設設),(zyxf是定義在光滑曲面是定義在光滑曲面上上的的 有界函數(shù)有界函數(shù). . 把把 任意分成任意分成in 小塊小塊) , , 2 , 1(ni , ,以以iS 表示表示i 的面積的面積. .iiii ),( ，作和式，作和式 ),(1

12、 niiiiiSf . . 令令max 1的直徑的直徑iniSd ，如果當，如果當時時0d，上述和式，上述和式 的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)上的上的在在 ) , ,(zyxf 第一型曲面積分第一型曲面積分( (或稱為或稱為對面積的曲面積分對面積的曲面積分) )，記作，記作 dSzyxf),(，即，即 型曲線曲面積分面積元素面積元素（2 2）第第一一型型曲曲面面積積分分具具有有與與第第一一型型曲曲線線積積分分相相類類似似的的性性質質. . niiiiidSfSzyxf10),( limd ),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面積分和式積分和式型曲線曲面積分則則面

13、面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為在在若若曲曲面面 , ),(: . 1xyDoxyyxzz 按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：記憶口訣記憶口訣：“一代二換三投影一代二換三投影”. . . dd 1),(,22yxzzyxzyxfxyDyx Szyxfd),( 10.2.2 10.2.2 第一型曲面積分的計算第一型曲面積分的計算型曲線曲面積分則則若若曲曲面面 ,),(),(: . 2zxDzxzxyy Szyxfd),(.dd1),(,22xzyyzzxyxfzxDzx .dd1,),(22zyxxzyzyxfyzDzy Szyxfd),(則則：若若曲曲面面 ,),(),( . 3yzDzyzyxx 型曲線曲面積分解解：21 ， xyzo12 1 . 1 ,d)( . 1 2222所所圍圍立立體體的的表表面面及及錐錐面面是是其其中中計計算算例例 zyxzSyx, 1 , :22221 yxyxz; dd2dyxS , 1 , 1 :222 yxz.dddyxS 型曲線曲面積分 21d )(22Syx xyxyDDyxyxyxyxdd)(dd2)(2222 xyDyxyxdd)()12( 22 10320dd)12( ).12(2 .1),( 22 yxyxDoxyxy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為它它們們在在型曲線