型曲面積分最新課件

1、型曲面積分最新3.1 第二型第二型曲面積分的概念與性質(zhì)曲面積分的概念與性質(zhì) 3.3 第二型第二型曲面積分的計(jì)算法曲面積分的計(jì)算法3.2 兩類曲面積分的聯(lián)系兩類曲面積分的聯(lián)系機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二型曲面積分第二型曲面積分 第五章 型曲面積分最新1. 曲面的側(cè)曲面的側(cè)雙側(cè)雙側(cè)曲面：有上、下側(cè)，前、后側(cè)，左、右側(cè)之分。曲面：有上、下側(cè)，前、后側(cè)，左、右側(cè)之分。單側(cè)單側(cè)曲面：無(wú)上下側(cè)，前后側(cè)，左右側(cè)之分。也無(wú)曲面：無(wú)上下側(cè)，前后側(cè)，左右側(cè)之分。也無(wú)內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分。內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 在光滑曲面在光滑曲面 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) M

2、 ，曲面在點(diǎn)，曲面在點(diǎn) M 處的法線處的法線有兩個(gè)方向：當(dāng)取定其中一個(gè)方向?yàn)檎较驎r(shí)，則有兩個(gè)方向：當(dāng)取定其中一個(gè)方向?yàn)檎较驎r(shí)，則另一個(gè)就是負(fù)方向。例如另一個(gè)就是負(fù)方向。例如封閉封閉曲面曲面：內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分。內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分。型曲面積分最新單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶封閉曲面(單側(cè)曲面的典型) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分內(nèi)側(cè)和外側(cè)）（ biusoM 型曲面積分最新雙側(cè)曲面曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzxyzxyz曲面分前側(cè)和后側(cè)型曲面積分最新其方向用其方向用法向量指向法向量指向表示表示 :方向余弦方向余弦coscoscos 0 為前側(cè)為前

3、側(cè)封閉曲面封閉曲面 0 為右側(cè)為右側(cè) 0 為上側(cè)為上側(cè)外側(cè)外側(cè)側(cè)向的側(cè)向的規(guī)定規(guī)定設(shè)單位法向量設(shè)單位法向量機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0 為后側(cè)為后側(cè) 0 為左側(cè)為左側(cè) 0 為下側(cè)為下側(cè)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè))cos,cos,(cosn 型曲面積分最新引例引例 設(shè)不可壓縮流體（假設(shè)密度為設(shè)不可壓縮流體（假設(shè)密度為1）在空間中穩(wěn)定）在空間中穩(wěn)定求單位時(shí)間流過(guò)光滑曲面求單位時(shí)間流過(guò)光滑曲面 的流量的流量 . 若若 是指定了側(cè)向平面，面積為是指定了側(cè)向平面，面積為S則流量則流量平面平面 的的法向量法向量: 流速為常向量流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )

4、cos,cos,(cosn vcosvS Snv)(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1. 流體流向曲面一側(cè)的流量問題流體流向曲面一側(cè)的流量問題流動(dòng)，流速為流動(dòng)，流速為從給定曲面從給定曲面的一側(cè)流向另一側(cè)，的一側(cè)流向另一側(cè)，P,Q,R是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，n流量等于斜流量等于斜柱體體積，等于柱體體積，等于直直柱體體積柱體體積vS型曲面積分最新則用則用“分割分割, 替代替代, 求和求和, 取極限取極限” 方法。方法。把曲面把曲面 分割成分割成n個(gè)有向小曲面，小曲個(gè)有向小曲面，小曲iniv),(niSi21 )cos,cos,(cosiiiin i機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上

5、頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 若流速為向量值函數(shù)若流速為向量值函數(shù): ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 面分別記為面分別記為),(nii21 指定了側(cè)向指定了側(cè)向每個(gè)小曲面的面積記為每個(gè)小曲面的面積記為（近似看做小平面）（近似看做小平面）當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)，任取一點(diǎn)很小時(shí)，任取一點(diǎn)i),(),(niiiii21以速度以速度)(),(),()(,iiiiiiiiiiiiRQPv代替代替 上各點(diǎn)的速度，流體流過(guò)上各點(diǎn)的速度，流體流過(guò) 的流量近似等于：的流量近似等于：ii的的法法向向量量上上點(diǎn)點(diǎn)取取),(iiii ),(iiiiinvS 流量流量型曲面積分最新ni 1 iiiiiSR

6、cos)(,0limni 1iniv則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從而單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面從而單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面 指定一側(cè)的流量指定一側(cè)的流量iiiiiSnv )(,i的的直直徑徑令令ini 1maxiiiiPcos),(iiiiQcos)(,iiiiQcos),( iiiiiSnv )(,ni 1iiiiiSnv ),(iiiiPcos),(iiiiiSR cos),(型曲面積分最新機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即即 單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面 指定一側(cè)的流量指定一側(cè)的流量QPzyxzyxcoscos),(),( SRzyxdcos),(Snvd 0limni 1ii

7、iiiSR cos),(iiiiPcos),(iiiiQcos),(0limni 1 iiiiiSnv ),(型曲面積分最新 設(shè)設(shè) 為有向曲面為有向曲面, 有向小曲面有向小曲面,)(,)(,)(iiixzzyyx 在在 oxy 面，面， oyz 面，面， ozx 面上的面上的帶有符號(hào)的投影帶有符號(hào)的投影分別分別則規(guī)定則規(guī)定機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ),(nii21 定義為定義為其絕對(duì)值定義為其絕對(duì)值定義為面，面， ozx 面面投影域投影域的面積。的面積。),(nii21 則則 其投影的符號(hào)分別與其投影的符號(hào)分別與iiicos,cos,cos符號(hào)相同。符號(hào)相同。

8、iyx)( .cosiiS 在在 oxy 面，面， oyzizy)( ixz)( ,.cosiiS ,cosiiS SzydcosddSxzdcosddSyxdcosdd型曲面積分最新機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 流量又可表示為流量又可表示為yxRxzQzyPzyxzyxzyxdddddd),(),(),( 0limni 1iiiiiSR cos),(iiiiPcos),(iiiiQcos),(0limni 1 iiiiiSnv ),(0limni 1iiiizyP)(, iiiixzQ)(, iiiiyxR)(, 于是定義二型曲面積分：于是定義二型曲面積分：型曲面積分最新),(niSi

9、21 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ),(nii21 面積記為面積記為任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)i),(),(niiiii21),(),(),(zyxRzyxQzyxP設(shè)設(shè)側(cè)向的有向光滑曲面?zhèn)认虻挠邢蚬饣?上的有界函數(shù)，上的有界函數(shù)，是取定了是取定了n個(gè)有向小曲面?zhèn)€有向小曲面把曲面把曲面 分割成分割成iiiiyxxzzy)(,)( ,)( 和和帶有符號(hào)的投影面積帶有符號(hào)的投影面積分別為分別為在在 oyz 面，面， ozx 面，面，oxy 面上的面上的的的直直徑徑令令ini 1max0limni 1iiiizyP)(, iiiixzQ)(, iiiiyxR)(, 怎樣選取

10、，極限怎樣選取，極限時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0上上在在iiii ),(如果無(wú)論對(duì)如果無(wú)論對(duì)怎樣怎樣分割，也無(wú)論點(diǎn)分割，也無(wú)論點(diǎn)總是存在且相等，則稱此極限值為向量值函數(shù)總是存在且相等，則稱此極限值為向量值函數(shù)型曲面積分最新yxRxzQzyPdddddd其中其中P, Q, R 叫做叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做叫做積分曲面積分曲面.又稱為又稱為第二類曲面積分第二類曲面積分.xdydzdPQR在有向曲面在有向曲面上的上的第二型曲面積分，記作第二型曲面積分，記作機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(0limni 1iiiizyP)(,

11、 iiiixzQ)(, iiiiyxR)(, 型曲面積分最新 zyPdd xzQdd稱為稱為Q 在有向曲面在有向曲面 上上對(duì)對(duì) z, x 的曲面積分的曲面積分; yxRdd稱為稱為R 在有向曲面在有向曲面 上上對(duì)對(duì) x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為稱為P 在有向曲面在有向曲面 上上對(duì)對(duì) y, z 的曲面積分的曲面積分; yxRxzQzyPdddddd機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 zyPdd xzQdd yxRdd型曲面積分最新(1) 若若21則則(2) 用用 表示表示 與曲面與曲面 的側(cè)向相反的側(cè)向的曲面，的側(cè)向相反的側(cè)向的曲面，則則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上

12、頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 yxRxzQzyPdddddd21 引例中引例中, 流過(guò)有向曲面流過(guò)有向曲面 的流體的流量為的流體的流量為 yxRxzQzyPddddddQPzyxzyxcoscos),(),( SRzyxdcos),(型曲面積分最新 yxRxzQzyPdddddd若記 正向正向的單位法向量)cos,cos,cos(n )dd,dd,d(dddyxxzzySnS則第二型曲面積分也常寫成如下形式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),()dcos,dcos,d(cosSSS yxRxzQzyPddddddSRQPd)cos

13、coscos( SnAd 和向量值函數(shù)為則型曲面積分最新yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 SzydcosddSxzdcosddSyxdcosddSnAd 型曲面積分最新機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd（1）計(jì)算）計(jì)算yxDyxyxzz),( , ),(: 為上側(cè)時(shí)為上側(cè)時(shí),取取 “ + ”， 為下側(cè)時(shí)為下側(cè)時(shí),取取 “” ” ，曲面曲面 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd函數(shù)函數(shù)R (x, y

14、, z)是光滑是光滑則則 yxzyxRdd),(型曲面積分最新證證:由于由于 yxzyxRdd),(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 SzyxRdcos),( yxDyxyxzz),( , ),(:),(1yxzznyxzzSyxddd221法向量法向量2211yxzzcos當(dāng)當(dāng) 取上側(cè)時(shí)取上側(cè)時(shí),yxzzSyxddcosdcos221yxdd yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd0cos當(dāng)當(dāng) 取下側(cè)時(shí)取下側(cè)時(shí),0cos,取取 “ + ”，取取 “” 。型曲面積分最新 若若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有則有 zyzyxPdd),

15、(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前側(cè)取正，后側(cè)取負(fù)前側(cè)取正，后側(cè)取負(fù))(右側(cè)取正，左側(cè)正負(fù)右側(cè)取正，左側(cè)正負(fù))同理同理:機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 型曲面積分最新如果如果 垂直于垂直于oxy 平面，平面，機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 d dcosdy zS2 0如果如果 垂直于坐標(biāo)面垂直于坐標(biāo)面 oyz 面面如果如果 垂直于垂直于 ozx 面面0 zyPdd0 xzQdd0 yxRddSxzdcosd

16、d0d dcosdx yS02 2 xyzxyzxyz型曲面積分最新43zyxyzyxyddddzyxydd其中其中 是正方體是正方體整個(gè)表面的整個(gè)表面的外側(cè)外側(cè).解解: : 注意到注意到654321都垂直于都垂直于oyz平面平面與與 x 軸的夾角都是軸的夾角都是zyyyzDdd121機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 10101zyx,xzySzydcosdd1234566521,20),(zyx 06521.:取取后后側(cè)側(cè)取取前前側(cè)側(cè)，：0143xx101043zyzyDyz,),(,的的投投影影域域都都是是zyxyddzyyyzDdd01010yyxdd0zydd

17、型曲面積分最新解解: 把把 分為分為 分析分析: 需要向需要向 xy 投影，投影，,ddyxxyz其中其中 為球面為球面2x取下側(cè)取下側(cè)ozyx112yxD00122yxyxDyxyx,:),(2221:yxz122zy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 外側(cè)。外側(cè)。),(00yx取上側(cè)取上側(cè)2211:yxz2121yxxyzyxxyzyxxyzdddddd型曲面積分最新yxDyxyxyxdd 12222212rryxDcossinrrrd12103152202dcossinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )(221

18、yx yxDyxxydd 221yx rrdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 型曲面積分最新rrrd21031機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(d)(22102111121rrr22102121rrrd）（）（22102121rrrd)(d)()(22121023211121rrr1013215221232252)()(rr152325221型曲面積分最新222yxxcos其中解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有,ddddddyxzxzyzyx是22yxz介于平面 z= 0 及 z = h 之間部分的外側(cè). 21cos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxzxzyzyxdddddd

19、Szyxdcoscoscos，22yxz222yxycos),(12222yxyyxxnyxSddd2oyxzh222hyxDxy:型曲面積分最新機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxzxzyzyxddddddSzyxdcoscoscos0yxyxyxyyxxxyDdd22222222yxxyDdd0222yxxcos21cos222yxycosyxSddd2，22yxz型曲面積分最新),(yxzz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(1yxzzn2211yxzzcosyxzzSyxddd221221yxxzzzcosxyDyx),(221yxyzzzcos yxRxzQzyPdddd

20、dd SRQPd)coscoscos(xyDyxzyxPcos),(,(yxzzyxzyxRyxddcos),(,(221yxzyxQcos),(,(221yxxzzzyxzyxP),(,(221yxyzzzyxzyxQ),(,(2211yxzzyxzyxR),(,(型曲面積分最新),(,(yxzyxR機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2211yxzzcos221yxxzzzcos221yxyzzzcos yxRxzQzyPddddddxyD221yxxzzzyxzyxP),(,(221yxyzzzyxzyxQ),(,(2211yxzzyxzyxR),(,(yxzzyxdd221xyDxzy

21、xzyxP),(,(yzyxzyxQ),(,(yxdd 為上側(cè)時(shí)為上側(cè)時(shí),取取 “ + ”， 為下側(cè)時(shí)為下側(cè)時(shí),取取 “” ” ，型曲面積分最新),(zyxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) ,(zyxxn1yzDzy),( yxRxzQzyPddddddyzDzyzyxP),),(yxzyzyxQ),),(zxzyzyxR),),(zydd 為前側(cè)時(shí)為前側(cè)時(shí),取取 “ + ”， 為后側(cè)時(shí)為后側(cè)時(shí),取取 “” ” ， SRQPd)coscoscos(型曲面積分最新),(xzyy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) ,(zxyyn1，zxDxz),( yxRxzQzyPddddddx

22、DyzxzyxPzx),(,(),),(zyzyxQzyzyzyxR),),(xzdd 為右側(cè)時(shí)為右側(cè)時(shí),取取 “ + ”， 為左側(cè)時(shí)為左側(cè)時(shí),取取 “” ” ， SRQPd)coscoscos(型曲面積分最新),(1yxzzn其中解解: 用合一投影法yxddoyxz2,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). xxxyD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(2221yxz,dddd)(yxzzyxz2422 yxDxy:下側(cè).),(,(yxzyxRxyDxzyxzyxP),(,(yzyxzyxQ),(,(yxdd得得代代入

23、入將將,)(2221yxz22241)(yx )(2221yx 型曲面積分最新xxyxD- 222)(41yx oyxz2原式)(2221yx yxyxxyxxyxDdd)()(2221222241rrrd20220d8yxdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxyxyxDdd)(22yxyxxyxDdd)(22212型曲面積分最新yxz111,:221yxz上側(cè)。 計(jì)算yxzdd 2解解: yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 型曲面積分最新定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 型曲面積分最新yxRxzQzyPdd