第十講幾種常用的隨機過程

1、第十講 幾種常用的隨機過程10.1 馬爾可夫過程10.1.1馬爾可夫序列馬爾可夫序列是指時間參數(shù)離散，狀態(tài)連續(xù)的馬爾可夫過程。一個隨機變量序列（n=1,2,）,若對于任意的n有 （10.1） 或 （10.2）則稱為馬爾可夫序列。的聯(lián)合概率密度為 （10.3）馬馬爾可夫序列有如下性質：（1） 一個馬爾可夫序列的子序列仍為馬爾可夫序列。（2） （10.4） （3） （10.5）（4） 在一個馬爾可夫序列中，若已知現(xiàn)在，則未來與過去相互獨立。即 ，nrs （10.6）（5） 若條件概率密度與n無關，則稱馬爾可夫序列是齊次的。（6） 若一個馬爾可夫序列是齊次的，且所有的隨機變量具有同樣的概率密度，則稱

2、該馬爾可夫序列為平穩(wěn)的。（7） 馬爾可夫序列的轉移概率滿足切普曼柯爾莫哥洛夫方程，即 ，nrs (10.7)10.1.2馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈是指時間參數(shù)，狀態(tài)方程皆為離散的馬爾可夫過程。1 馬爾可夫鏈的定義 設為離散時間隨機過程，其狀態(tài)空間。如果過程在時刻為任一狀態(tài)的概率，只與過程在時刻的狀態(tài)有關，而與過程在時刻以前的狀態(tài)無關，即 則稱該過程為馬爾可夫鏈，或簡稱馬氏鏈。2 馬氏鏈的轉移概率及有限維分布 馬氏鏈的轉移概率定義為 如果與m無關，則稱該馬氏鏈為齊次的。下面我們僅研討齊次馬氏鏈，并習慣上省去“齊次”二字。 馬氏鏈的一步轉移概率及其矩陣分別定義為 （10.11）一步轉移概率矩陣P有以下兩

3、個性質 （10.12） （10.13）馬氏鏈的高階轉移概率及其矩陣分別定義為 n步轉移概率矩陣P(n)具有如下的性質： 此外，還規(guī)定馬氏鏈的n步轉移概率及其矩陣具有如下的切普慢柯爾摩哥洛夫方程的離散形式，即當n為任意正整數(shù)時，則有式（7.18），若n=k+1,則有 由上可知，以一步轉移概率為元素的一步轉移概率矩陣P決定了馬氏鏈狀態(tài)轉移過程的概率法則。但是，P決定不了初始概率分布，必須引入初始概率 并稱=（）為初始分布，顯然有 若絕對概率，則有馬氏鏈的有限維分布可表示為 3遍歷性及平穩(wěn)分布（1）遍歷性 設為齊次馬氏鏈，若對于一切狀態(tài)i與j，存在不依賴于i的極限 則稱馬氏鏈X（n）具有遍歷性。 定

4、理 （有限馬氏鏈具有遍歷性的充分條件）對有限狀態(tài)的齊次馬氏鏈X（n），若存在正整數(shù)m，使則此鏈是遍歷的。而且，式（10.36）中的是方程組 在滿足條件 下的惟一解。（2）平穩(wěn)分布 馬氏鏈的一個概率分布 則稱它為該鏈的平穩(wěn)分布。并有 10.1.3馬爾可夫過程 這里論及的馬爾可夫過程是指時間，狀態(tài)皆連續(xù)的馬爾可夫過程。擴散過程就是這類馬爾可夫過程的一個特例。設有一隨機過程：則稱此類過程為馬爾可夫過程，簡稱馬氏過程。 馬氏過程的轉移概率分布定義為： 轉移概率分布是關于x的分布函數(shù)，故有：馬氏過程的轉移概率密度定義為故有它也滿足切普曼柯爾莫哥洛夫方程如果馬氏過程X（t）有則稱它為為齊次馬爾可夫過程。馬

5、氏過程X（t）的n維概率密度可寫成10.2 獨立增量過程10.2.1獨立增量過程設有一個隨機過程，若對任意的時刻，過程的增量是相互獨立的隨機變量，則稱為獨立增量過程或可加過程。 若參數(shù)集，則像馬爾可夫過程一樣，獨立增量過程的有限維分布可由它的初始概率分布及一切增量的概率分布唯一地確定。 如果獨立增量過程的增量的分布僅與有關，而與本身無關，則稱為齊次的。10.2.2泊松過程 實際上，泊松過程就是一個純不連續(xù)的馬爾可夫過程，而且也是一個獨立增量過程。1. 泊松過程（1） 定義 設隨機過程的狀態(tài)只取非負整數(shù)值，若滿足下列三個條件： X(t)為均勻獨立增量過程； 對任意時刻對應的隨機變量的增量服從數(shù)學

6、期望為的泊松分布，即對于k=0,1,2有則稱X(t)為泊松過程。 對于式（10.57），若 時，則有 （2）數(shù)字特征 泊松過程X(t)的均值、均方差、方差、自相關函數(shù)分別為： 2. 泊松增量（1） 定義 由泊松過程X(t)在給定的時間間隔內的增量與之比，我們構成一新過程：稱它為泊松增量。顯然，若k是間隔內的隨機點數(shù)，則Y(t)=k/t。故（2） Y(t)的均值、自相關函數(shù)分別為： 3過濾的泊松過程與散粒噪聲 泊松過程X(t)對t 求導，就能得到與時間軸上隨機點相對應的沖激序列，稱此離散隨機過程為泊松沖激序列。即 （10.67）（1） 過濾的泊松過程 設有一泊松沖激脈沖序列經(jīng)過一線性時不變?yōu)V波器

7、，則此濾波器輸出是一隨機過程X(t)，如圖：式中，h(t)為濾波器的沖激響應；為第i個沖激脈沖出現(xiàn)的時間；N(t)為在內輸入到濾波器的沖激脈沖的個數(shù)，它服從泊松分布。我們稱此為過濾的泊松過程。（2） 散粒噪聲 在電子管、晶體管中，由散粒效應引起的散粒噪聲電流皆為過濾的泊松過程。因此，散粒噪聲X(t)可表示成類似式（10.72）的形式。而且，不難證明此X(t)也是平穩(wěn)的。10.2.3 維納過程 維納過程是另一個最重要的獨立增量過程，有時也稱它為布朗運動過程，還可以將它看成是隨機游動X(t)的極限形式。1.定義 設隨機過程滿足下列條件： （1） （2） 為均勻獨立增量過程，且對任意時刻及具有與相同的正態(tài)分布函數(shù)，其概率密度為式中，為正常數(shù)。（3） 對任意時刻，具有均值EW(t)=0的正態(tài)分布函數(shù)，其概率密度為2. W(t)的均值與自相關函數(shù)分別為 3. W(t)與正態(tài)白噪聲N(t) 維納過程W(t)的形式導數(shù)就是正態(tài)白噪聲N(t)，N(t)的自相關函數(shù)為令，則有換