剛體習(xí)題及答案

1、2021/6/161例例1.1.一輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪一輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質(zhì)量為的質(zhì)量為 M/4，均勻分布在其邊緣上，繩子，均勻分布在其邊緣上，繩子 A 端有一質(zhì)量為端有一質(zhì)量為 M的人抓住了繩端，而在繩的另的人抓住了繩端，而在繩的另一端一端 B 系了一質(zhì)量為系了一質(zhì)量為 M/ /2 的重物，如圖示。的重物，如圖示。設(shè)人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與設(shè)人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求滑輪間無相對滑動，求 B 端重物上升的加速度？端重物上升的加速度？ABABT1Mg12MgaT2o解：解：受力分析如圖示，受力分析如圖示，由題意由題意

2、 a人=aB=a2: MgMaT人111: -=22物TMgMa21 ()輪： TT RJaR27ag2021/6/162例例2 2. .兩個勻質(zhì)圓盤，一大一小，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個兩個勻質(zhì)圓盤，一大一小，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個組合輪。小圓盤的半徑為組合輪。小圓盤的半徑為r r，質(zhì)量為，質(zhì)量為mm；大圓盤的半徑；大圓盤的半徑r r 2 2r r，質(zhì)量為質(zhì)量為mm=2=2mm。組合輪可繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水。組合輪可繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸平固定軸O O轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)動，對O O軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量J J9 9mrmr2 2/2/2。兩圓盤邊緣上。兩圓盤邊緣上

3、分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為mm的物體的物體A A和和B B，如，如圖所示。這一系統(tǒng)從靜止開始運動，繩與盤無相對滑動，繩的圖所示。這一系統(tǒng)從靜止開始運動，繩與盤無相對滑動，繩的長度不變。已知長度不變。已知r r = 10 cm= 10 cm求：求： (1) (1) 組合輪的角加速度；組合輪的角加速度； (2) (2) 當(dāng)物體當(dāng)物體A A上升上升h h40 40 cmcm時，組合輪的角速度時，組合輪的角速度 。 rm, m,r A O B 2021/6/163例例3 3. .以以 30Nm 30Nm 的恒力矩作用在有固定軸的飛輪上，的恒力矩作用在有

4、固定軸的飛輪上，10s 10s 內(nèi)飛輪內(nèi)飛輪的轉(zhuǎn)速由零增大到的轉(zhuǎn)速由零增大到5 5radrad/ /s s ，此時移去該恒力矩，飛輪因摩擦力，此時移去該恒力矩，飛輪因摩擦力距的作用經(jīng)距的作用經(jīng) 90s 90s 而停止，試計算此飛輪對其固定軸的轉(zhuǎn)動慣量。而停止，試計算此飛輪對其固定軸的轉(zhuǎn)動慣量。解法一：在恒力矩和摩擦力矩作用下，在恒力矩和摩擦力矩作用下，010s內(nèi)有：內(nèi)有：用轉(zhuǎn)動定律求解用轉(zhuǎn)動定律求解11 1t1rMMJ11rtJMM 12 20t2rMJ移去恒力矩后，移去恒力矩后，090s內(nèi)有：內(nèi)有：)(21121tttMtJ254mkg22 tJMr解題過程盡可能用文字式，最后再帶入數(shù)字。解

5、題過程盡可能用文字式，最后再帶入數(shù)字。2021/6/164)(/21121tttMtJ11()rMMtJ012)(J0tMr2mkg 54)(21121ttJtMt0-10s:0-90s:聯(lián)立得：聯(lián)立得：解法二解法二: :用角動量定理求解用角動量定理求解2021/6/165例例4 4. .一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸 o 以角速度以角速度 按圖示方按圖示方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動，若射來兩顆完全相同的子彈，方向相反并在同一條直，若射來兩顆完全相同的子彈，方向相反并在同一條直線上，子彈射入圓盤并留在其中，則子彈射入后的瞬間，盤的線上，子彈射入圓盤并留在其中，則子彈射入后的瞬間

6、，盤的角速度角速度 （A）增大增大; ;（B）減小減小; ; （C）不變不變; ;（D）不能確定。不能確定。mOmOmOmO2021/6/166例例5 5. .一車輪，軸光滑，在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為一車輪，軸光滑，在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為M，J= =MR2 2，輪原靜止，一質(zhì)量為輪原靜止，一質(zhì)量為m的子彈以速度的子彈以速度v0 0沿與水平方向成沿與水平方向成角射角射中輪緣中輪緣A處，并留在處，并留在A處。設(shè)作用時間極短，問：處。設(shè)作用時間極短，問：（1 1）以車輪、子彈為研究系統(tǒng)）以車輪、子彈為研究系統(tǒng) 撞擊前后系統(tǒng)的動量是否守恒？為什么撞擊前后系統(tǒng)的動量是否守恒？為什么？ 動能是否守恒？為什么

7、？動能是否守恒？為什么？ 角動量是否守恒？為什么？角動量是否守恒？為什么？（2 2）子彈和輪開始一起運動時，）子彈和輪開始一起運動時， 輪的角速度是多少？輪的角速度是多少？ ARcosv0sinv02021/6/167例例6.一塊質(zhì)量為一塊質(zhì)量為M1kg 的木板，高的木板，高L0.6m，可以其一邊為軸自，可以其一邊為軸自由轉(zhuǎn)動。最初板自由下垂由轉(zhuǎn)動。最初板自由下垂.今有一質(zhì)量今有一質(zhì)量m10g的子彈，垂直擊中的子彈，垂直擊中木板木板A點，點，l0.36m，子彈擊中前速度為，子彈擊中前速度為500m/s，穿出后的速度，穿出后的速度為為200m/s，求求： (1) 子彈給予木板的沖量子彈給予木板的

8、沖量 (2) 木板獲得的角速度木板獲得的角速度LAl2021/6/168例例7.如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為 0.01kg.m2， 半徑為半徑為 7cm，物體，物體的質(zhì)量為的質(zhì)量為 5kg，有一細(xì)繩與勁度系數(shù)，有一細(xì)繩與勁度系數(shù) k=200N.m-1的彈簧相連，若的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計，求繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計，求:（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止開始下落，能達(dá)到）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止開始下落，能達(dá)到的最大距離。的最大距離。（2）物體的速度達(dá)最大值時的位置及最大速率。）物體的速度達(dá)最大值時的位置

9、及最大速率。Jkm,kxmgx221 (1)kmgx2m49.0(2)kmgx/0m245.02020200212121kxJmvmgxmgRJmkv021)/(21 -sm3 .1解：解：,mgkx 0加速度為加速度為0 0時速度最大，時速度最大，滑輪受力矩為滑輪受力矩為0 02021/6/169例例8.一個內(nèi)壁光滑的圓形細(xì)管，正繞光滑固定軸一個內(nèi)壁光滑的圓形細(xì)管，正繞光滑固定軸oo轉(zhuǎn)動，管是剛轉(zhuǎn)動，管是剛性的，轉(zhuǎn)動慣量是性的，轉(zhuǎn)動慣量是J0，半徑為，半徑為R，初速是，初速是0，一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的小球靜的小球靜止于止于A點，如圖，由于微小擾動，小球向下滑動。點，如圖，由于微小擾動，小球向下

10、滑動。 ABCRo oo o1.1.地球、環(huán)與小球系統(tǒng)的機械能守恒否？地球、環(huán)與小球系統(tǒng)的機械能守恒否？ 2.2.小球的動量守恒否？小球的動量守恒否？ 3.3.小球?qū)π∏驅(qū) oo o軸的角動量守恒否？軸的角動量守恒否？ 4.4.當(dāng)小球到達(dá)當(dāng)小球到達(dá)B B時，環(huán)的角速度為多少？時，環(huán)的角速度為多少？ 小球相對于環(huán)的速度多少？小球相對于環(huán)的速度多少？5.5.當(dāng)小球到達(dá)當(dāng)小球到達(dá)C C時，環(huán)的角速度及小球時，環(huán)的角速度及小球 相對于環(huán)的速度各是多少？相對于環(huán)的速度各是多少？2021/6/1610例例9.長為長為l質(zhì)量為質(zhì)量為m勻質(zhì)細(xì)桿可繞通過其上端的水平固定軸勻質(zhì)細(xì)桿可繞通過其上端的水平固定軸O轉(zhuǎn)

11、轉(zhuǎn)動，另一質(zhì)量也為動，另一質(zhì)量也為m的小球，用長為的小球，用長為l的輕繩系于的輕繩系于O軸上，如圖。軸上，如圖。開始時桿靜止在豎直位置，現(xiàn)將小球在垂直于軸的平面內(nèi)拉開開始時桿靜止在豎直位置，現(xiàn)將小球在垂直于軸的平面內(nèi)拉開一定角度，然后使其自由擺下與桿端發(fā)生彈性碰撞，結(jié)果使桿一定角度，然后使其自由擺下與桿端發(fā)生彈性碰撞，結(jié)果使桿的最大擺角為的最大擺角為/3，求小球最初被拉開的角度，求小球最初被拉開的角度。2021/6/1611 在小球下落過程中，對于小球與地球系統(tǒng)，只有重力做功，在小球下落過程中，對于小球與地球系統(tǒng)，只有重力做功，所以機械能守恒，設(shè)所以機械能守恒，設(shè)v v為小球碰前速度，有為小球

12、碰前速度，有: :221)cos1 (mvmgl球與桿的碰撞過程極短暫，可認(rèn)為桿的位置還來不及變化，因球與桿的碰撞過程極短暫，可認(rèn)為桿的位置還來不及變化，因此球與桿系統(tǒng)的重力對定軸此球與桿系統(tǒng)的重力對定軸O O無力矩，軸的支持力也無力矩，所無力矩，軸的支持力也無力矩，所以系統(tǒng)在碰撞過程中對軸的角動量守恒，以系統(tǒng)在碰撞過程中對軸的角動量守恒，設(shè)設(shè)v v為小球碰后的速度，為小球碰后的速度， 為桿碰后的角速度，有：為桿碰后的角速度，有： 231mllvmmvl彈性碰撞，故動能也守恒，有彈性碰撞，故動能也守恒，有: : 2222)31(212121mlvmmv碰后桿上升過程，桿與地球系統(tǒng)的機械能守恒碰

13、后桿上升過程，桿與地球系統(tǒng)的機械能守恒: :)3cos1 (21)31(2122mglml聯(lián)立求解，得：聯(lián)立求解，得：32arccos2021/6/1612例例1010一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為 MM半徑為半徑為R R 的勻質(zhì)球殼可繞一光滑豎直中心軸的勻質(zhì)球殼可繞一光滑豎直中心軸轉(zhuǎn)動。輕繩繞在球殼的水平最大圓周上，又跨過一質(zhì)量為轉(zhuǎn)動。輕繩繞在球殼的水平最大圓周上，又跨過一質(zhì)量為 半徑為半徑為mm 的勻質(zhì)圓盤，此圓盤具有光滑水平軸，然后在下端系一質(zhì)量也的勻質(zhì)圓盤，此圓盤具有光滑水平軸，然后在下端系一質(zhì)量也為為 mm的物體，如圖。求當(dāng)物體由靜止下落的物體，如圖。求當(dāng)物體由靜止下落h h 時的速度時的速度

14、v v。 2021/6/1613例例11.如圖所示，一均勻細(xì)桿長為如圖所示，一均勻細(xì)桿長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m，平放在摩擦系數(shù)，平放在摩擦系數(shù)為為的水平桌面上，設(shè)開始時桿以角速度的水平桌面上，設(shè)開始時桿以角速度 0 繞過中心繞過中心 o 且垂直于且垂直于桌面的軸轉(zhuǎn)動，試求桌面的軸轉(zhuǎn)動，試求:（1）作用在桿上的摩擦力矩）作用在桿上的摩擦力矩; （2）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉(zhuǎn)動。）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉(zhuǎn)動。olm,0rgdmdM)1 (解：rgdrlmrdrlm2102rdrlmdMMmgl41由角動量定理：)2(00JJJtMMJt0mgl302021/6/1614 計算轉(zhuǎn)動慣量的兩條規(guī)律計算轉(zhuǎn)動慣量的兩條規(guī)律1.1.平行軸定理平行軸定理CdmJCJ平行平行 2mdJJC最小對同一個剛體 CJ例例：在質(zhì)量為：在質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的均質(zhì)圓盤上挖出半徑為的均質(zhì)圓盤上挖出半徑為r的兩個圓的兩個圓孔，圓孔中心在半徑孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量 rrR422212(