2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第九章9.6雙曲線(xiàn)學(xué)案文含解析新人教版

1、第六節(jié)雙曲線(xiàn)【知識(shí)重溫】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1雙曲線(xiàn)的定義(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2(|f1f2|2c0)的距離_為非零常數(shù)2a(2a0，c0.()當(dāng)_時(shí)，m點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)；()當(dāng)_時(shí)，m點(diǎn)的軌跡是兩條射線(xiàn)；()當(dāng)_時(shí)，m點(diǎn)不存在2雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍_yr_xr對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：_對(duì)稱(chēng)中心：_對(duì)稱(chēng)軸：_對(duì)稱(chēng)中心：_頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1_，a2_頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1_，a2_漸近線(xiàn)_離心率e_，e(1，)其中c_實(shí)虛軸線(xiàn)段a1a2叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|a1a2|_；線(xiàn)段b1b2叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)|b1b2|_；a叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)

2、，b叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)a、b、c關(guān)系c2_(ca0，cb0)3.雙曲線(xiàn)中的4個(gè)常用結(jié)論(1)雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)的離心率e雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直(2)漸近線(xiàn)的斜率與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置的關(guān)系：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，漸近線(xiàn)斜率為，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線(xiàn)斜率為.(3)漸近線(xiàn)與離心率1(a0，b0)的一條漸近線(xiàn)的斜率為.(4)若p為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，f為其對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)，則|pf|ca.二、必明4個(gè)易誤點(diǎn)1雙曲線(xiàn)的定義中易忽視2a|f1f2|則軌跡不存在2雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中對(duì)a，b的要求只是a0，b0，易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的要求相同若ab0，則雙曲線(xiàn)的離心率e(1，)；若ab0，則雙曲線(xiàn)的離心率

3、e；若0a.3注意區(qū)分雙曲線(xiàn)中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線(xiàn)中c2a2b2.4易忽視漸近線(xiàn)的斜率與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置關(guān)系當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，漸近線(xiàn)斜率為，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，漸近線(xiàn)斜率為.【小題熱身】一、判斷正誤1判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)f1(0,4)，f2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)()(2)方程1(mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)()(3)雙曲線(xiàn)方程(m0，n0，0)的漸近線(xiàn)方程是0，即0.()(4)等軸雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)互相垂直，離心率等于.()(5)若雙曲線(xiàn)1(a0，b0)與1(a0，b0)的離心

4、率分別是e1，e2，則1(此結(jié)論中兩條雙曲線(xiàn)稱(chēng)為共軛雙曲線(xiàn))()二、教材改編2若雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為()a.b5c. d23經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(4,1)，且對(duì)稱(chēng)軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)三、易錯(cuò)易混4p是雙曲線(xiàn)1上任意一點(diǎn)，f1，f2分別是它的左、右焦點(diǎn)，且|pf1|9，則|pf2|_.5坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)四、走進(jìn)高考62020江蘇卷在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若雙曲線(xiàn)1(a0)的一條漸近線(xiàn)方程為yx，則該雙曲線(xiàn)的離心率是_雙曲線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程互動(dòng)講練型考向一：雙曲線(xiàn)的

5、定義及應(yīng)用例1(1)2021河南非凡聯(lián)盟聯(lián)考已知雙曲線(xiàn)c：1(a0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)4x3y0垂直，點(diǎn)m在c上，且|mf2|6，則|mf1|()a2或14 b2c14 d2或10(2)2020全國(guó)卷設(shè)雙曲線(xiàn)c：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，離心率為.p是c上一點(diǎn)，且f1pf2p.若pf1f2的面積為4，則a()a1 b2c4 d8悟技法雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用(1)判定滿(mǎn)足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線(xiàn)方程；(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|pf1|pf2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立|pf1|與|p

6、f2|的關(guān)系注意在應(yīng)用雙曲線(xiàn)定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線(xiàn)，還是雙曲線(xiàn)的一支，若是雙曲線(xiàn)的一支，則需確定是哪一支.考向二：雙曲線(xiàn)的方程例22020天津卷設(shè)雙曲線(xiàn)c的方程為1(a0，b0)，過(guò)拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線(xiàn)為l.若c的一條漸近線(xiàn)與l平行，另一條漸近線(xiàn)與l垂直，則雙曲線(xiàn)c的方程為()a.1 bx21c.y21 dx2y21悟技法求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線(xiàn)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值與雙曲線(xiàn)1有相同漸近線(xiàn)時(shí)，可設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為(0)(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出

7、a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值.變式練(著眼于舉一反三)1已知f1，f2為雙曲線(xiàn)c：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在c上，|pf1|2|pf2|，則cosf1pf2_.22021太原市高三年級(jí)模擬試題已知雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的一條漸近線(xiàn)方程為yx，若其右頂點(diǎn)到這條漸近線(xiàn)的距離為，則雙曲線(xiàn)的方程為_(kāi)考點(diǎn)二雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)分層深化型考向一：雙曲線(xiàn)的離心率例32020全國(guó)卷已知f為雙曲線(xiàn)c：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，a為c的右頂點(diǎn)，b為c上的點(diǎn)，且bf垂直于x軸若ab的斜率為3，則c的離心率為_(kāi)考向二：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)例42021合肥市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)已知雙曲線(xiàn)c：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為點(diǎn)f，點(diǎn)b是

8、虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)p為雙曲線(xiàn)c左支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若bpf周長(zhǎng)的最小值等于實(shí)軸長(zhǎng)的4倍，則雙曲線(xiàn)c的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)悟技法1.求雙曲線(xiàn)離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解2求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的方法求雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的漸近線(xiàn)的方法是令0，即得兩漸近線(xiàn)方程0.同類(lèi)練(著眼于觸類(lèi)旁通)32021河南南陽(yáng)質(zhì)檢若雙曲線(xiàn)1(a0)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)yx垂直，則此雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為()a2b4c18d3642021廣州市高三年級(jí)調(diào)研檢測(cè)已知f為雙曲線(xiàn)c：1(a0，b0)的右

9、焦點(diǎn)，過(guò)f作c的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)fd，垂足為d，且滿(mǎn)足|fd|of|(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線(xiàn)的離心率為()a. b2 c3 d.變式練(著眼于舉一反三)52021洛陽(yáng)市尖子生聯(lián)考已知雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，p為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且|pf1|2|pf2|，若sinf1pf2，則該雙曲線(xiàn)的離心率等于()a. b2 c.或2 d.1或62021惠州市高三調(diào)研考試雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓(x2)2y23的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()a1 b2 c4 d0拓展練(著眼于遷移應(yīng)用)72021合肥市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)已知雙曲線(xiàn)c：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為

10、f1，f2，圓f2與雙曲線(xiàn)c的漸近線(xiàn)相切，m是圓f2與雙曲線(xiàn)c的一個(gè)交點(diǎn)若0，則雙曲線(xiàn)c的離心率等于()a. b2 c. d.82021湖南省長(zhǎng)沙市高三調(diào)研試題已知雙曲線(xiàn)c：1(a0，b0)的左焦點(diǎn)為f，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)左、右兩支分別交于點(diǎn)p，q，且滿(mǎn)足|qf|pf|8，虛軸的上端點(diǎn)b在圓x2(y3)21內(nèi)，則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為()a. b.c. d(，)考點(diǎn)三直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系互動(dòng)講練型例52021長(zhǎng)沙四校聯(lián)考設(shè)a，b分別為雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)已知直線(xiàn)yx2與雙曲線(xiàn)的右支交于m，n兩點(diǎn)，且

11、在雙曲線(xiàn)的右支上存在點(diǎn)d，使t，求t的值及點(diǎn)d的坐標(biāo)悟技法1.解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法是設(shè)出直線(xiàn)方程或雙曲線(xiàn)方程，然后把直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入2有時(shí)根據(jù)直線(xiàn)的斜率k與漸近線(xiàn)的斜率的關(guān)系來(lái)判斷直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系會(huì)比較快捷.變式練(著眼于舉一反三)9已知雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離等于，過(guò)右焦點(diǎn)f2的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于a，b兩點(diǎn)，f1為左焦點(diǎn)(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)若f1ab的面積等于6，求直線(xiàn)l的方程第六節(jié)雙曲線(xiàn)【知識(shí)重溫】之差的絕對(duì)值焦點(diǎn)焦距2a|f1f2|xa或xaya或yax軸，y軸

12、坐標(biāo)原點(diǎn)x軸，y軸坐標(biāo)原點(diǎn)(a,0)(a,0)(0，a)(0，a)yxyx 2a2ba2b2【小題熱身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：由題意知焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.答案：a3解析：設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為1(a0)，把點(diǎn)a(4,1)代入，得a215(舍負(fù))，故所求方程為1.答案：14解析：由題意知a4，b9，c，由于|pf1|9ac4，故點(diǎn)p只能在左支上，|pf2|pf1|2a8，|pf2|pf1|817.答案：175解析：若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為1，則漸近線(xiàn)的方程為yx，由

13、題意可得tan，ba，可得c2a，則e2；若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為1，則漸近線(xiàn)的方程為yx，由題意可得tan，ab，可得ca，則e.綜上可得e2或e.答案：2或6解析：由雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為yx得，則該雙曲線(xiàn)的離心率e .答案：課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一例1解析：(1)由題意知，故a4，則c5.由|mf2|6ac9，知點(diǎn)m在c的右支上，由雙曲線(xiàn)的定義知|mf1|mf2|2a8，所以|mf1|14.(2)設(shè)|pf1|r1，|pf2|r2，則|r1r2|2a，rr2r1r24a2.由于f1pf2p，則rr4c2，4c22r1r24a2，r1r22b2.spf1f2r1r22b2b24，

14、e ，解得a21，即a1.故選a.答案：(1)c(2)a例2解析：解法一由題知y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則過(guò)焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線(xiàn)方程為x1，而1的漸近線(xiàn)方程為0和0，由l與一條漸近線(xiàn)平行，與一條漸近線(xiàn)垂直，得a1，b1，故選d.解法二由題知雙曲線(xiàn)c的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，則ab，即漸近線(xiàn)方程為xy0，排除b，c.又知y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，l過(guò)點(diǎn)(1,0)，(0，b)，所以1，b1，故選d.答案：d變式練1解析：由雙曲線(xiàn)的定義有|pf1|pf2|pf2|2a2，所以|pf1|2|pf2|4，則cosf1pf2.答案：2解析：由一條漸近線(xiàn)的方程為yx，得，由右頂點(diǎn)(a,0)到漸近

15、線(xiàn)yx的距離為，得 ，由，得，所以雙曲線(xiàn)的方程為1.答案：1考點(diǎn)二例3解析：點(diǎn)b為雙曲線(xiàn)的通徑位于第一象限的端點(diǎn)，其坐標(biāo)為，點(diǎn)a坐標(biāo)為(a,0)，ab的斜率為3，3，即e13，e2.故離心率e2.答案：2例4解析：由題意可得f(c,0)，如圖，不妨設(shè)b(0，b)，f(c,0)連接pf，bf.由雙曲線(xiàn)的定義可得|pf|pf|2a，則|pf|pf|2a，|bf|bf|，則bpf的周長(zhǎng)為|pb|pf|bf|pb|pf|2a|bf|2|bf|2a，當(dāng)且僅當(dāng)b，p，f共線(xiàn)，且p在b，f中間時(shí)，bpf的周長(zhǎng)取得最小值，且為2a2，由題意可得8a2a2，即9a2b2c22c2a2，即5a2c2a2b2,4a

16、2b2，2，所以雙曲線(xiàn)c的漸近線(xiàn)方程為y2x.答案：y2x同類(lèi)練3解析：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為yx，由題意可得1，得a9，2a18.故選c.答案：c4解析：根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可知，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離|fd|b，而|of|c，依題意得bc，代入c2a2b2得c2a2c2，即c2a2，所以，.故選a.答案：a5解析：因?yàn)閜為雙曲線(xiàn)c上一點(diǎn)，且|pf1|2|pf2|，所以點(diǎn)p在雙曲線(xiàn)c右支上，如圖，則|pf1|pf2|2a.又因?yàn)閨pf1|2|pf2|，所以|pf2|2a，|pf1|4a.因?yàn)閟inf1pf2，所以cosf1pf2.在f1pf2中，cosf1pf2，解得e24或e26.又e1，所以e

17、2或e.故選c.答案：c6解析：雙曲線(xiàn)1的一條漸近線(xiàn)的方程為yx.由離心率e2得4，即4，得，所以一條漸近線(xiàn)的方程為yx.聯(lián)立得，消去y整理得4x24x10，因?yàn)?6440，所以漸近線(xiàn)yx與圓(x2)2y23只有一個(gè)公共點(diǎn)由對(duì)稱(chēng)性可得該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓(x2)2y23的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，選b.答案：b拓展練7解析：雙曲線(xiàn)c：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)f2(c,0)，圓f2與雙曲線(xiàn)c的漸近線(xiàn)yx相切，故圓f2的半徑r等于點(diǎn)f2到直線(xiàn)bxay0的距離，rb，又m是圓f2與雙曲線(xiàn)c的一個(gè)交點(diǎn)，|f2m|b，|f1m|2ab，又0，又|f1f2|2c，(2ab)2b24c2，b2a，e，故選a.答案：a8解析：設(shè)雙曲線(xiàn)c的右焦點(diǎn)為f，連接pf，qf，如圖所示由對(duì)稱(chēng)性可知，p，q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則|op|oq|.又|of|of|，所以四邊形pfqf為平行四邊形，所以|pf|qf|，則|qf|pf|qf|qf|2a8，所以a4.因?yàn)樘撦S的上端點(diǎn)b(0，b)在圓x2(y3)21內(nèi)，所以02(b3)21，解得2b4，則24，即24，得2c4，所以e，故選c.答案：c考點(diǎn)三例5解析：(1)由題意知a2，一條漸近線(xiàn)為y x.即bx2y0，b23，雙曲線(xiàn)的方程為1.(2)設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，d(x0，y0)，若