控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)習(xí)題解答

1、第6章控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)6.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)1控制系統(tǒng)校正的概念，常用的校正方法、方式；2各種校正方法、方式的特點(diǎn)和適用性；3各種校正方法、方式的一般步驟。6.2思考與習(xí)題祥解題6.1校正有哪些方法？各有何特點(diǎn)？答：控制系統(tǒng)校正有根軌跡方法和頻率特性方法。根軌跡法是一種直觀的圖解方法，它顯示了當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)(通常為開(kāi)環(huán)放大系數(shù)) 從零變化到無(wú)窮大時(shí)，如何根據(jù)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的位置確定全部閉環(huán)極點(diǎn)的位置。因此， 根軌跡校正方法是根據(jù)系統(tǒng)給定的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)確定主導(dǎo)極點(diǎn)位置，通過(guò)適當(dāng)配置開(kāi) 環(huán)零極點(diǎn)，改變根軌跡走向與分布，使其通過(guò)期望的主導(dǎo)極點(diǎn)，從而滿(mǎn)足系統(tǒng)性能要 求。頻率特性是系統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響

2、應(yīng)特性。頻域特性簡(jiǎn)明地表 示出了系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響以及系統(tǒng)對(duì)噪聲和參數(shù)變化的敏感程度。因此， 頻率特性校正方法是根據(jù)系統(tǒng)性能要求，通過(guò)適當(dāng)增加校正環(huán)節(jié)改變頻率特性形狀， 使其具有合適的高頻、中頻、低頻特性和穩(wěn)定裕量，以得到滿(mǎn)意的閉環(huán)品質(zhì)。由于波 德圖能比較直觀的表示改變放大系數(shù)和其他參數(shù)對(duì)頻率特性的影響，所以，在用頻率 法進(jìn)行校正時(shí)，常常采用波德圖方法。系統(tǒng)校正要求通常是由使用單位和被控對(duì)象的設(shè)計(jì)單位以性能指標(biāo)的形式提出。 性能指標(biāo)主要有時(shí)域和頻域兩種提法。針對(duì)時(shí)域性能指標(biāo)，通常用根軌跡法比較方便； 針對(duì)頻域性能指標(biāo)，用頻率法更為直接。根軌跡法是一種直接的方法，常以超調(diào)量：% 和調(diào)節(jié)時(shí)

3、間ts作為指標(biāo)來(lái)校正系統(tǒng)。頻域法是一種間接的方法，常以相位裕量(c)和 速度誤差系數(shù)kv作為指標(biāo)來(lái)校正系統(tǒng)。題6.2校正有哪些方式？各有何特點(diǎn)？答：校正有串聯(lián)校正方式和反饋校正方式。校正裝置串聯(lián)在系統(tǒng)前向通道中的連接方式稱(chēng)為串聯(lián)校正。校正裝置接在系統(tǒng)的 局部反饋通道中的連接方式稱(chēng)為反饋校正。如圖6.1所示。圖6.1串聯(lián)校正和反饋校正串聯(lián)校正方式因其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單而最為常見(jiàn)。反饋校正除能獲得串聯(lián)校正類(lèi)似的校正 效果外，還具有串聯(lián)校正所不具備的特點(diǎn)：(1)在局部反饋校正中，信號(hào)從高能級(jí)被 引向低能級(jí)，因此不需要經(jīng)過(guò)放大；(2)能消除外界擾動(dòng)或反饋環(huán)內(nèi)部系統(tǒng)參數(shù)波動(dòng) 對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響，提供系統(tǒng)更好的抗

4、干擾能力。題6.3串聯(lián)超前、串聯(lián)滯后與串聯(lián)滯后-超前校正各有何適應(yīng)條件？答：(1) 串聯(lián)超前校正通常是在滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)精度的條件下，用來(lái)提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的一 種校正方法。從波德圖來(lái)看，為滿(mǎn)足控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度要求，往往需要增加系統(tǒng)的 開(kāi)環(huán)增益，這樣就增大了幅值穿越頻率，相應(yīng)地減小了相位裕量，易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。 因而在系統(tǒng)中加入一個(gè)相位超前的校正裝置，使之在穿越頻率處相位超前，以增加相 位裕量。這樣既能使開(kāi)環(huán)增益足夠大，滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)精度的要求，又能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 串聯(lián)超前校正適合需要附加相角位移在0(5。范圍的系統(tǒng)。超前校正的結(jié)果可以使系統(tǒng)的閉環(huán)頻帶寬度BW增加，從而使動(dòng)態(tài)響應(yīng)加快；不 改變低頻段對(duì)正

5、弦輸入的穩(wěn)態(tài)誤差性能；超前校正裝置所要求的時(shí)間常數(shù)是容易滿(mǎn)足 的。但可能帶來(lái)因閉環(huán)頻帶寬度BW加寬引入高頻噪聲，需要增加增益等問(wèn)題。(2) 滯后校正有兩種作用。一般地，如果穩(wěn)態(tài)性能滿(mǎn)足要求，而其動(dòng)態(tài)性能不滿(mǎn) 足要求，并希望降低頻帶寬時(shí)，可用滯后校正來(lái)降低其穿越頻率，以滿(mǎn)足其動(dòng)態(tài)性能 指標(biāo)。這種滯后校正的結(jié)果可以增加系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，有利于提高系統(tǒng)放大系數(shù)以 滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)精度的要求。由于高頻段的衰減，系統(tǒng)的抗高頻擾動(dòng)能力也增強(qiáng)了。但同時(shí) 由于頻帶寬度變窄，瞬態(tài)響應(yīng)將變慢。如果一個(gè)反饋控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是滿(mǎn)意的，為了改善其穩(wěn)態(tài)性能，而又不致影 響其動(dòng)態(tài)性能，可以采用滯后較正。此時(shí)就要求在頻率特性低頻段

6、提高其增益，而在 幅值穿越頻率附近仍保持其相位移大小幾乎不變。這兩種作用中，前者是降低了幅值穿越頻率并衰減了高頻段，后者是提高低頻段 增益。但就滯后校正本身而言，其主要作用是在高頻段造成衰減，以使系統(tǒng)獲得充分 的相位裕量。(3) 滯后-超前校正幅頻特性的前段是相位滯后部分，具有使高頻段增益衰減的 作用，所以容許在低頻段提高增益，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。幅頻特性的后段是相位 超前部分，因增加了相位超前角度，從而使相位裕量增大，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。 因此，滯后-超前校正常適用于系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)態(tài)精度和動(dòng)態(tài)性能都有進(jìn)一步改善的情況。題6.4單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對(duì)象傳遞函數(shù)為Gp(s)，設(shè)計(jì)相位滯后s(s + 4

7、)(s + 5)校正使阻尼比為0.7,穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為30。解：采用根軌跡校正方法。 作系統(tǒng)根軌跡如圖6.2(a)所示，并在圖中作“ -cos=45；的兩條射線OA和OB，分別與根軌跡交于-p1和-p2點(diǎn)。測(cè)得-p1和-p2的實(shí)部為-.2,因此-口和-p2 的參數(shù)為.=0.7,二二033 =1.71，即-口和-P2滿(mǎn)足期望主導(dǎo)極點(diǎn)的要求。用幅值0.517條件可算出-Pi點(diǎn)的根軌跡增益為Kg =20.6，因此系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)不符合要求。Kgkvg 1.03 <304沢5圖6.2 題6.4用圖(2) 引入串聯(lián)滯后校正環(huán)節(jié)Gc (s)二 -Z1|Zc | | Pc |s+ Pc

8、根據(jù)第一步的計(jì)算，應(yīng)將系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)提高30倍。所引入的校正環(huán)節(jié)應(yīng)滿(mǎn)足 |zJ=30|Pc|，為確保校正環(huán)節(jié)對(duì)根軌跡不產(chǎn)生顯著影響，選擇 4 =-0.03,pc工-0.001，即滯后校正環(huán)節(jié)Gs)二s 0.03s 0.001校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) g(s)Gp(s)二1.04(s + 0.03)s(s 4)( s 5)(s 0.001)校正后系統(tǒng)的根軌跡如下: 分離點(diǎn)由(s 0.03) s(s 4)(s 5)(s 0.001) (s 0.03)s(s 4)(s 5)(s 0.001)工0s4 +5.001s3 +1.998s2 -57.982s-0.02=0 用試探法解得：s,

9、： -0.0004,s2 ： -0.064, ： -2.6。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)' (-Pj) -、(-Zi) -旦土n -m漸近線與實(shí)軸的夾角ma 2.994 一3(2k 1)二n -m(2k 1)二4 一1-：60,180(k =0,1)系統(tǒng)的根軌跡如圖6.2(b)所示引入開(kāi)環(huán)偶極子的滯后校正對(duì)根軌跡不產(chǎn)生顯著影響，既能保證系統(tǒng)瞬態(tài)特性又 滿(mǎn)足了穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。題6.5單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對(duì)象傳遞函數(shù)為Gp(s)K，設(shè)計(jì)相位超前校正，s(s + 4)使校正后系統(tǒng)的超調(diào)量不大于10%，上升時(shí)間不大于2秒，單位斜坡函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差 不大于0.5。解：采用根軌跡校正方法。(1) 根據(jù)期望動(dòng)態(tài)性能指

10、標(biāo)確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置。為使叮0%并留有余地(以確保在其他極點(diǎn)的作用下性能指標(biāo)仍能得到滿(mǎn)足)，選阻尼比二。由于2二cosh，主導(dǎo)極點(diǎn)應(yīng)位于如圖6.3所示的d =45的射線上。再運(yùn)用二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)3間的近似公式ts二丄，可選擇'3，以保證ts空2s并留有余地。因此主導(dǎo)極點(diǎn)為 一叫23 - 2. 3.2-Pl,2 - - n 二 j 'n , 12 2(2) 畫(huà)出未校正系統(tǒng)的根軌跡圖，如圖6.3中的實(shí)線所示。由圖可見(jiàn)，根軌跡不 通過(guò)期望主導(dǎo)極點(diǎn)，因此不能通過(guò)調(diào)節(jié)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)來(lái)滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。Re圖6.3 題6.5用圖(3) 為了使系統(tǒng)根軌跡向左偏移，進(jìn)行相位超前校正。校正裝置環(huán)

11、節(jié)為Gc(s)二s ZcSPc|Zc 卜：| Pc |校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) =Gc(s)Gp(s)二Kg(S Zc)s(s 4)(sPc)為了使期望主導(dǎo)極點(diǎn)位于根軌跡上，根據(jù)相角條件應(yīng)有Z(P1 +Zc) -Zp1 -Z(P1 +4)Z(p1 + Pc) = (2k+5由圖可知，.p135< (P1 448.4，代入上式，并取k =1可得：Ng +君 -Zg + pj=3.4*由此可見(jiàn)，只要從圖中的-口點(diǎn)作夾角為3.4；的兩條射線，它們和實(shí)軸相交的兩點(diǎn) 即是所求的校正環(huán)節(jié)的零點(diǎn)-4和極點(diǎn)-pc。這樣的作圖不是惟一的，可按如下方法作 圖：從-山點(diǎn)作平行于實(shí)軸的射線RA，再作.

12、Ap£的角平分線P1C,然后作pQ和，它們和P1C的夾角均為/2 =1./， P1D和p)E與實(shí)軸的交點(diǎn)即為所求的極點(diǎn)-pc和零點(diǎn)c。如圖6.3所示，-乙=-6，- pc = -7.5，校正環(huán)節(jié)為Gc(s)=s 6s 7.5(4) 檢驗(yàn)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。由幅值條件可知| P1 * Zc | P1 | P14 | P1Pc |求得Kg =11.1,由此得開(kāi)環(huán)放大系數(shù)11.1 64 7.5= 2.22單位斜坡函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差e(：) =1/ Q0.45 : 0.5，因此滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的根軌跡圖示于圖6.4中Im圖6.4 題6.5校正后系統(tǒng)的根軌跡圖題6.6單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對(duì)象傳遞函數(shù)

13、為Gp(s)4K ,若使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度P s(s + 2)誤差系數(shù)為20,相位裕量不小于50，增益裕量不小于10dB試確定系統(tǒng)的串聯(lián)校正 裝置傳遞函數(shù)。解：(1)根據(jù)要求，系統(tǒng)應(yīng)設(shè)計(jì)為I型系統(tǒng)。由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的要求，開(kāi)環(huán)放大系數(shù)202K =kz =20，取K =10，作Gp(s)的波德圖如圖6.5所示。 ss+1)2(2)計(jì)算未校正系統(tǒng)相位裕量，估計(jì)需要附加的相角位移。由計(jì)算出校正前幅值穿越頻率C -40 =6.32，校正前相位裕量(C)=180；( c) =180''-90-arctan(g 匕)=90, -72.5 -17.5 : 50?相位裕量不滿(mǎn)足要求。為不影響低頻特性并改

14、善動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，可采用超前校正。(3) 根據(jù)相位裕量C c) -50的要求，超前校正電路最大相位移應(yīng)為爲(wèi) - 50 -17.5： =32.5；考慮超前校正后會(huì)使原系統(tǒng)相角位移更負(fù)些，故'max應(yīng)相應(yīng)地加大。取 max =40，根據(jù)®max=arcsin億一1)/(僉 +1) = 40“解得d =4.6 o(4) 設(shè)計(jì)系統(tǒng)校正后的增益穿越頻率，叮為校正裝置(0/+1/0特性)兩交接頻率 '1和匕的幾何中點(diǎn)(考慮到最大超前相位移'max是在兩交接頻率1和匕的幾何中點(diǎn))，即''c 二.1 '2 =+.d因?yàn)樵冢?: :.-.c '時(shí)

15、A( c ')=1，如認(rèn)為c'/lL 1, c''21 ,則得c'20亠©1A(c')十=1.，c ' c'c 2 c代入c'"'-：，解得 4.32,2 =18.86,c9.27。校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性如圖6.5所示，其傳遞函數(shù)為s20( 1)Gc(s)Gp(s)4.32s(1s 1)( 校驗(yàn)校正后相位裕量9 279 279 27(c) =180" -90 arctan -arctan -arctan 4.32218.869 6-77. -26.2 =5150：由于相位C j) =

16、180時(shí)，相位穿越頻率,：，故增益裕量為:：，所得結(jié)果滿(mǎn) 足了系統(tǒng)的要求。 串聯(lián)超前校正裝置傳遞函數(shù)為 1)2 18.86(亠1)花滬-43一(18.81)可以用相位超前校正電路和放大器來(lái)實(shí)現(xiàn)。放大器的放大系數(shù)等于d =4.6 o題6.7設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Gp(s),要求校正s(2s+1)(0.2s + 1)后系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不小于10,相位裕量不小于30 ,并且在頻率大于50的 高頻段具有銳截止-3特性，試確定校正裝置。解：(1)首先確定放大系數(shù)。根據(jù)要求，系統(tǒng)應(yīng)設(shè)計(jì)為I型系統(tǒng)。由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的要 求，開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K二ka _10，取K =10，作Gp(s)=p s(2s

17、1)(0.2s 1)的波德圖如圖6.6所示。校正前幅值穿越頻率根據(jù)1010 10A(，c)1叫 W(2%)2+1Uj(0.2%)2+1 爐 c解得銳 f 5 2.24。相位裕量(c) = 180 -90 -arctan(2 c) - arctan(0.2 c)= 180“-90°-77.4 -24.1 = -11.5表明系統(tǒng)不穩(wěn)定?？紤]高頻抗擾要求，采用串聯(lián)滯后校正。圖6.6題6.7校正前后系統(tǒng)的波德圖(2)按相位裕量的要求，計(jì)算未校正系統(tǒng)在新的幅值穿越頻率J處的相角為:Gp(s) »180； 30" 15 二135；即Gp(s)二-90 -arctan(2 c&

18、#39;) -arctan(0.2 J)二-135'解得0.43。(3)在,:0.43處未校正系統(tǒng)的幅值為：L(叮):20lg10 -20lg(2 c') =21.3dB由 LC c')二 20lg i，可確定 i =11.6 o(4) 選擇 c'/(1/T) T/5，確定交接頻率，2=1/T=0.1 ,1 =1/( 丁)=0.009。s/0.1 1得到校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為Gcs/0.009+1將校正環(huán)節(jié)Gc(s)的對(duì)數(shù)頻率特性繪制在圖6.6中，并與原系統(tǒng)Gp(s)的對(duì)數(shù)頻率 特性代數(shù)相加，即得出校正后系統(tǒng)Gc(s)Gp(s)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲

19、線。校正后開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gc(s)Gp(s)二10(10s + 1)s(2s 1)(0.2s 1)(111s 1)(5) 校正后系統(tǒng)的相位裕量(c) =180； -90 arctan(10 c') -arctan(2 c') -arctan(0.2 c') - arctan(111 c')90： 77°_40.7 4.9 -88.832.6并且在頻率大于50的高頻段具有銳截止-3特性，滿(mǎn)足要求。題6.8單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，要求系統(tǒng)s(0.02s + 1)(0.5s+1)具有穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不小于100,相位裕量不小于40，幅值穿越頻率

20、等于10弧度/ 秒的性能指標(biāo)，試確定串聯(lián)校正方法和校正裝置傳遞函數(shù)。解：(1)根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求，可得K二kv_100，取K =100,繪制未校正系統(tǒng) 的波德圖如圖6.7所示。校正前幅值穿越頻率根據(jù)AC c)100c .,(0.02 J 1 H0.5 J2 110c 0.5 c=1解得 , 200 14.1。相位裕量(c) =180-90；-arctan0.02 c -arctan0.5 c =90° -15.7 -81.9 二-7.6令相位(j) - -90 -arctan0.02 j -arctan0.5j - -180'90 - arctan0.02 打=arctan0.

21、5，j兩邊取正切：tan90 - arctan0.02 j =tanarctan0.5 j有10.5 i0.02 jj1 =10代入幅頻特性，得100 100A(二j)50j (0.02 J2+1 p(0.5時(shí) j)2 + 1 灼 j 002灼 j則增益裕量GM -20logA» - -20log50 =34 dB。不滿(mǎn)足要求。采用滯后一超前校正如下(2)確定滯后一超前校正電路相位滯后部分。按照系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性要求，設(shè)校正后的穿越頻率c' =10。校正前系統(tǒng)在穿越頻率-c10處的相角(c )二-90 -arctan0.02 c"arctan0.5 c “ 0'因此校正所需的相位最大超前角約40 15 =55°。設(shè)交接頻率-1/Ti為新的穿越頻率程=10的1/5處，即=：2， Ti =1八1 =0.5?？紤]所需的相位最大超前角約為55