天津理工大學(xué)大學(xué)物理：靜電場

1、1122122112erqqkf庫侖定律內(nèi)容庫侖定律內(nèi)容 在真空中，兩個靜止的點電荷之間的相互作用力，其在真空中，兩個靜止的點電荷之間的相互作用力，其大小與點電荷電量的乘積成正比，與兩點電荷之間距離的大小與點電荷電量的乘積成正比，與兩點電荷之間距離的平方成反比，作用力在兩點電荷之間的連線上，同號電荷平方成反比，作用力在兩點電荷之間的連線上，同號電荷互相排斥，異號電荷互相吸引?；ハ嗯懦猓愄栯姾苫ハ辔?。121212/rre表示單位矢量表示單位矢量庫侖力滿足牛頓第三定律庫侖力滿足牛頓第三定律1221ff2041k式中比例系數(shù)式中比例系數(shù)212120mnc1085. 8122122101241er

2、qqf所謂所謂點電荷點電荷就是相互之間距離遠大于其本身線度的帶電體。就是相互之間距離遠大于其本身線度的帶電體。122122112erqqkf真空中的介電常數(shù)真空中的介電常數(shù)3 +2+4+6-2pfq電場強度電場強度 electric field intensity 按照庫侖定律，在電場中的任一固定點按照庫侖定律，在電場中的任一固定點p，試驗電，試驗電荷受到的作用力是和試驗電荷的電量成正比的。如果把荷受到的作用力是和試驗電荷的電量成正比的。如果把試驗電荷的電量增大到試驗電荷的電量增大到2、3、4n倍（但仍滿足試驗電倍（但仍滿足試驗電荷條件），將看到同一地點的荷條件），將看到同一地點的f也增大到也

3、增大到2、3、4n倍，倍，而力的方向不變。若把而力的方向不變。若把q0換成等量異號電荷，則力的大換成等量異號電荷，則力的大小不變方向反轉(zhuǎn)。因此對于電場中的固定點來說，比值小不變方向反轉(zhuǎn)。因此對于電場中的固定點來說，比值f/ q0 是一無論大小和方向都與試驗電荷無關(guān)的矢量，是一無論大小和方向都與試驗電荷無關(guān)的矢量，它是反映電場本身性質(zhì)的，把它定義為電場強度，即它是反映電場本身性質(zhì)的，把它定義為電場強度，即erqqkf200qfe 4 電場中某點的電場強度在數(shù)值上等于位電場中某點的電場強度在數(shù)值上等于位于該點的單位正試驗電荷（于該點的單位正試驗電荷（q q0 0= =1 1）所受的電）所受的電場力

4、。電場強度的方向與電場力的方向一致場力。電場強度的方向與電場力的方向一致（當(dāng)（當(dāng)q q0 0為正值時）。為正值時）。單位：單位：n.c-1或或v.m-1 電場強度是電場的屬性，與試驗電荷的存在與否電場強度是電場的屬性，與試驗電荷的存在與否無關(guān)，并不因無試驗電荷而不存在，只是由試驗電荷無關(guān)，并不因無試驗電荷而不存在，只是由試驗電荷來反映。來反映。0qfe 5電場電場 電場強度電場強度 凡有電荷的地方，四周就存在著電場，即凡有電荷的地方，四周就存在著電場，即任何電荷都任何電荷都在自己周圍的空間激發(fā)電場在自己周圍的空間激發(fā)電場，而電場的基本性質(zhì)是，它對，而電場的基本性質(zhì)是，它對處在其中的任何其它電荷

5、都有作用力，稱為處在其中的任何其它電荷都有作用力，稱為電場力電場力。因此。因此電荷與電荷之間是通過電場發(fā)生相互作用的。電荷與電荷之間是通過電場發(fā)生相互作用的。0qfe 6 0+qrpq0e點電荷電場電場中的場強點電荷電場電場中的場強 在真空中，點電荷在真空中，點電荷q放在坐標(biāo)原點，試驗電荷放在放在坐標(biāo)原點，試驗電荷放在r 處，由庫侖定律可知試驗電荷受到的處，由庫侖定律可知試驗電荷受到的電場力電場力為為rerqqf2004點電荷場強公式點電荷場強公式rerqqfe2004q0，電場強度，電場強度e與與er同向同向q0，電場強度，電場強度e與與er反向反向。7rerqqfe2004說明：說明：(1

6、)點電荷電場是非均勻電場；點電荷電場是非均勻電場；(2)點電荷電場具有球?qū)ΨQ性；點電荷電場具有球?qū)ΨQ性；(3)e與與r2成反比，當(dāng)成反比，當(dāng)r時，時，e0。(4)若若r0，則，則e，這是不可能的。對于距離點電荷，這是不可能的。對于距離點電荷太近的點就需要考慮點電荷的大小和形狀，就不能再太近的點就需要考慮點電荷的大小和形狀，就不能再把它看作點電荷了。把它看作點電荷了。+-8場強迭加原理場強迭加原理 電場強度是矢量，它服從于電場強度是矢量，它服從于矢量迭加原理。即如果我們以矢量迭加原理。即如果我們以nfff21,分別表示點電荷分別表示點電荷q1 、 q2 、 qn單獨存在時電場施于空間同一單獨存在

7、時電場施于空間同一點試驗電荷點試驗電荷q0的力，則它們同時存在時，電場施于該點試驗電的力，則它們同時存在時，電場施于該點試驗電荷的力為荷的力為nffff21將此式除以將此式除以q0002010qfqfqfqfn即得到即得到neeee21 電場中任一點處的總場強等于各個點電荷單獨存在時在電場中任一點處的總場強等于各個點電荷單獨存在時在該點各自產(chǎn)生的場強的矢量和。這就是該點各自產(chǎn)生的場強的矢量和。這就是場強迭加原理場強迭加原理。9 同理，在點電荷系同理，在點電荷系q1,q2,qn的電場中，在的電場中，在p點放一試點放一試驗電荷驗電荷q0，根據(jù)庫侖力的疊加原理，可知試驗電荷受到的，根據(jù)庫侖力的疊加原

8、理，可知試驗電荷受到的作用力為作用力為iiiierqqff2004p點的電場強度點的電場強度iiiierqqfe2004點電荷系電場中的場強點電荷系電場中的場強10體密度定義：體密度定義：單位單位體積內(nèi)的電荷體積內(nèi)的電荷dvdqvqve0lim面密度定義：面密度定義：單位單位面積上的電荷面積上的電荷dsdqsqse0lim線密度定義：線密度定義：單位單位長度上的電荷長度上的電荷dldqlqle0lim電荷的連續(xù)分布電荷的連續(xù)分布 從微觀結(jié)構(gòu)看，電荷是集中在一個個的微觀粒子（如電子、從微觀結(jié)構(gòu)看，電荷是集中在一個個的微觀粒子（如電子、原子核等）上邊。但從宏觀效果看，人們往往把電荷看成是連原子核等

9、）上邊。但從宏觀效果看，人們往往把電荷看成是連續(xù)分布的。根據(jù)不同情況，有時把電荷看成在一定體積內(nèi)連續(xù)續(xù)分布的。根據(jù)不同情況，有時把電荷看成在一定體積內(nèi)連續(xù)分布（體分布）；有時把電荷看成是在一定曲面上連續(xù)分布的分布（體分布）；有時把電荷看成是在一定曲面上連續(xù)分布的（面分布）；有時又把電荷看成是在一條曲線上連續(xù)分布（線（面分布）；有時又把電荷看成是在一條曲線上連續(xù)分布（線分布）等等。與此相應(yīng)的就需要引入電荷的分布）等等。與此相應(yīng)的就需要引入電荷的體密度、面密度、體密度、面密度、線密度線密度等概念。等概念。11dqpr任意帶電體電場中的場強任意帶電體電場中的場強 對于任意帶電體來講，它的全部電荷分布

10、，都可以被看對于任意帶電體來講，它的全部電荷分布，都可以被看作是許多極小的電荷元作是許多極小的電荷元dq的集合。在電場中任一點的集合。在電場中任一點p處，每一處，每一個電荷元在個電荷元在p點產(chǎn)生的場強都可用點電荷的場強公式計算點產(chǎn)生的場強都可用點電荷的場強公式計算rerdqed204 要計算帶電體的全部電荷分布在要計算帶電體的全部電荷分布在p點產(chǎn)生的場強，就要對點產(chǎn)生的場強，就要對所有的電荷元產(chǎn)生的場強求矢量和，由于電荷可以看成是連續(xù)所有的電荷元產(chǎn)生的場強求矢量和，由于電荷可以看成是連續(xù)分布的，所以可用積分代替求和，即分布的，所以可用積分代替求和，即rerdqede204此關(guān)系式無論對于體分布

11、、面分布還是線分布的帶電體都可應(yīng)此關(guān)系式無論對于體分布、面分布還是線分布的帶電體都可應(yīng)用，只不過在具體應(yīng)用時把電荷元用，只不過在具體應(yīng)用時把電荷元dq帶入相應(yīng)的量就可以了。帶入相應(yīng)的量就可以了。12電場強度的計算電場強度的計算點電荷系：點電荷系：riierqee204rerdqede204計算的步驟大致如下：計算的步驟大致如下：任取電荷元任取電荷元dq，寫出，寫出dq在待求點的場強的表達式；在待求點的場強的表達式；選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將場強的表達式分解為標(biāo)量表示式；選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將場強的表達式分解為標(biāo)量表示式；進行積分計算；進行積分計算；寫出總的電場強度的矢量表達式，或求出電場強度的大小寫出

12、總的電場強度的矢量表達式，或求出電場強度的大小和方向；和方向；在計算過程中，可以根據(jù)對稱性來簡化計算過程。在計算過程中，可以根據(jù)對稱性來簡化計算過程。帶電體帶電體dqpr13xdlrdexdeydexr0p例例1、 均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的場強。均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的場強。設(shè)正電荷設(shè)正電荷q均勻地分布均勻地分布在半徑為在半徑為r的圓環(huán)上。計算在環(huán)的軸線任一點的圓環(huán)上。計算在環(huán)的軸線任一點p的電場強度。的電場強度。首先在環(huán)上任取一長度元首先在環(huán)上任取一長度元dl，所帶電量為，所帶電量為線密度線密度dldqrqlq2dllqdlrqdldq214xdlrdexdeydexr0pdldqrq2dl

13、rqdldq2設(shè)設(shè)p點與點與dq的距離為的距離為r， dq 在在p點產(chǎn)生的場強大小為點產(chǎn)生的場強大小為204rdqderrqdl242015xdlrdexdeydexr0p 各電荷元在各電荷元在p點產(chǎn)生的場強，方向各不相同。根據(jù)其對稱點產(chǎn)生的場強，方向各不相同。根據(jù)其對稱性，各電荷元的場強在垂直于性，各電荷元的場強在垂直于x軸的那些分矢量軸的那些分矢量dey相互抵消，相互抵消，所以所以p點的合場強是平行于點的合場強是平行于x軸的那些分矢量軸的那些分矢量dex的總和的總和cos24cos20rrqdldedeellx此積分要遍布整個圓環(huán)，因此積分要遍布整個圓環(huán)，因r與與 都不是變量，因此有都不是

14、變量，因此有l(wèi)dlrqre2cos4120rrqr22cos4120204cosrq16xdlrdexdeydexr0p204cosrqe因因rxcos222rxr得到得到2322030)(44rxqxrqxe17xdlrdexdeydexr0p23220)(4rxqxe環(huán)心處，環(huán)心處，x=0，e=0極遠處，極遠處，xr32322)(xrx則有則有203044xqxqxe 此時，環(huán)上電此時，環(huán)上電荷可視為全部集中荷可視為全部集中在環(huán)心處的一個點在環(huán)心處的一個點電荷。電荷。18例例2 2、均勻帶電圓盤軸線上一點的場強。設(shè)圓盤帶電量為、均勻帶電圓盤軸線上一點的場強。設(shè)圓盤帶電量為q q，半，半徑為

15、徑為r r。解：帶電圓盤可看成許多同心的圓環(huán)組成，取一半徑為解：帶電圓盤可看成許多同心的圓環(huán)組成，取一半徑為r，寬，寬度為度為dr 的細圓環(huán)帶電量的細圓環(huán)帶電量drrdq2圓環(huán)面積圓環(huán)面積由前題知，此帶電圓環(huán)的場強由前題知，此帶電圓環(huán)的場強23220)(4xrxdqderxxpedr0dr19rxxpedr0dr由于各帶電圓環(huán)在由于各帶電圓環(huán)在p點產(chǎn)生的場點產(chǎn)生的場強方向相同，均指向強方向相同，均指向x軸的正方軸的正方向，所以總場強就是各細圓環(huán)在向，所以總場強就是各細圓環(huán)在p點產(chǎn)生的場強的矢量和點產(chǎn)生的場強的矢量和dee e的方向垂的方向垂直于盤面并沿直于盤面并沿x軸軸的正方向。的正方向。dr

16、rdq223220)(4rxxdq23220)(42rxrdrxrrxrxdx02322220)(2)(2)1 (2220rxx23220)(4xrxdqde20 xxpedrr0dr)1 (2220rxxe 如果如果rx，即對于，即對于p點來說，均勻帶電圓盤可視為無點來說，均勻帶電圓盤可視為無限大時，限大時，p點的場強點的場強02e這表明在無限大這表明在無限大均勻帶電平面的電場均勻帶電平面的電場中各點場強均相等，中各點場強均相等，方向都與平面相垂直，方向都與平面相垂直，正負由電荷的符號決正負由電荷的符號決定。即此電場為定。即此電場為勻強勻強電場電場。21例例3 均勻帶電直線外任一點場強。均勻

17、帶電直線外任一點場強。 設(shè)直線長設(shè)直線長l，帶電總量，帶電總量q，電，電荷線密度為荷線密度為 ，直線外一點，直線外一點p離開直離開直線的垂直距離為線的垂直距離為a，p點和直線兩端點和直線兩端的連線與直線之間的夾角分別為的連線與直線之間的夾角分別為 1和和 2 。 以以0為坐標(biāo)原點，取坐標(biāo)為坐標(biāo)原點，取坐標(biāo)如圖。在直線上任一點處取長如圖。在直線上任一點處取長度元度元dl，此點到原點的距離是，此點到原點的距離是l，dl上所帶電量是上所帶電量是dq。0dlxar12 /2lyp 由于電荷是連續(xù)分布的，可由于電荷是連續(xù)分布的，可把整個電荷分布劃分成許多電荷把整個電荷分布劃分成許多電荷元，先求出每一電荷

18、元在給定點元，先求出每一電荷元在給定點p產(chǎn)生的場強，再通過積分再求出產(chǎn)生的場強，再通過積分再求出總場強?？倛鰪?。22帶電直線的線密度帶電直線的線密度dldqlq 設(shè)設(shè)dl 到到p點的距離是點的距離是r，可知，可知dq 在在p點處產(chǎn)生的場強點處產(chǎn)生的場強de 的大小為的大小為202044rdlrdqde由圖中可看出由圖中可看出atgatgl)2(微分后得到微分后得到dadl2csc而而222222ctgaalar0dlxar12 /2lyedxedyed2222csc)1 (actga230dlxar12 /2lyedxedyed由于由于de與與x之間的夾角是之間的夾角是 ，所以，所以de沿沿x

19、軸和軸和y軸的兩個分量為軸的兩個分量為cosdedexdadl2csc222cscar coscsccsc42220adada04coscos420rdl204rdlde240dlxar12 /2lyedxedyedsindedeydadl2csc222cscar 204rdldesin420rdlda04sin25將此兩式積分，就得到將此兩式積分，就得到xxdeeyydee)sin(sin4120a21cos40dadadex04cosdadey04sin21sin40da)cos(cos4210a可由可由ex和和ey來確定出來確定出e的大小和方向。的大小和方向。22yxeee26adlxr

20、120 /2lyedxedyed 特殊情況下，如果此帶電直特殊情況下，如果此帶電直線是無限長的，那么由線是無限長的，那么由 10， 2 ，可得到，可得到aeeeyx020)sin(sin4120aex)cos(cos4210aey27三三 高斯定理高斯定理 gauss theorem電力線電力線 line of electric force 為形象地了解電場分為形象地了解電場分布，通常引入電力線的概布，通常引入電力線的概念。利用電力線可對電場念。利用電力線可對電場中各處場強的分布情況給中各處場強的分布情況給出較直觀的圖像。出較直觀的圖像。 前面講過電場中的前面講過電場中的每一點的場強每一點的場

21、強e都有一定都有一定的方向，使這些的方向，使這些曲線上曲線上的每一點切線方向都與的每一點切線方向都與該點處的場強該點處的場強e的方向一的方向一致致，這些曲線就叫做電，這些曲線就叫做電力線。力線。abcaebece28電力線的數(shù)密度電力線的數(shù)密度 為使電力線不只是表示出電場中場強的方向的分布情況，為使電力線不只是表示出電場中場強的方向的分布情況，且表示出場強的大小的分布情況，可引入電力線數(shù)密度的概念。且表示出場強的大小的分布情況，可引入電力線數(shù)密度的概念。在電場中任取一小面積元在電場中任取一小面積元 s與該點場強方向垂直。設(shè)穿過與該點場強方向垂直。設(shè)穿過 s的電力線有的電力線有 n根，則比值根，

22、則比值 n/ s就叫做該點電力線的數(shù)密度。就叫做該點電力線的數(shù)密度。它的意義就是它的意義就是該點附近單位垂直截面的電力線根數(shù)該點附近單位垂直截面的電力線根數(shù)。在作電力。在作電力線圖時總是使電場中任一點的電力線數(shù)密度與該點場強大小成線圖時總是使電場中任一點的電力線數(shù)密度與該點場強大小成正比，即正比，即sesne 電力線稀疏的地方表示場強小，電力線稠密的地方表示電力線稀疏的地方表示場強小，電力線稠密的地方表示場強大。場強大。29 電力線可以借助于一些實驗方法顯示出來，例如在水電力線可以借助于一些實驗方法顯示出來，例如在水平玻璃板上撒上一些細小的石膏顆粒，或在油上浮些草粒，平玻璃板上撒上一些細小的石

23、膏顆粒，或在油上浮些草粒，它們就會沿著電力線排列起來。下面給出的是幾種常見的電它們就會沿著電力線排列起來。下面給出的是幾種常見的電場的電力線圖。場的電力線圖。303132電力線的性質(zhì)電力線的性質(zhì)電力線總是起始于正電荷（或來自無窮遠處），終止于負電電力線總是起始于正電荷（或來自無窮遠處），終止于負電荷（或伸向無窮遠），但不會在沒有電荷的地方中斷。荷（或伸向無窮遠），但不會在沒有電荷的地方中斷。在沒有點電荷的空間里，任何兩條電力線都不會相交。在沒有點電荷的空間里，任何兩條電力線都不會相交。電力線不會形成閉合曲線。電力線不會形成閉合曲線。 注意：描繪電力線的目的是在于能形象地反映電場中場注意：描繪電

24、力線的目的是在于能形象地反映電場中場強的分布情況，并非電場中真有這些實在的線。強的分布情況，并非電場中真有這些實在的線。33電通量電通量 利用電力線的圖像有助于對電通量的理解。在作電力線利用電力線的圖像有助于對電通量的理解。在作電力線圖時，應(yīng)使電場中任一點的電力線數(shù)密度圖時，應(yīng)使電場中任一點的電力線數(shù)密度 n/ s與該點場強大與該點場強大小成正比，即小成正比，即snees這里這里 s與與e垂直。若規(guī)定其比例系數(shù)為垂直。若規(guī)定其比例系數(shù)為1，則可寫成下列等式，則可寫成下列等式sne或或sen34enss 當(dāng)所取的面元當(dāng)所取的面元 s 與該處場強與該處場強e不垂直時，則需考慮面不垂直時，則需考慮面

25、元元 s在垂直于在垂直于e方向上的投影面積方向上的投影面積 s。設(shè)。設(shè)n為面元法線方為面元法線方向的單位矢量，向的單位矢量，n與與e間夾角為間夾角為 ，于是有，于是有cosss由圖中可看出，通過由圖中可看出，通過 s和和 s的電力線根數(shù)相等。而通過的電力線根數(shù)相等。而通過 s的電力線根數(shù)為的電力線根數(shù)為cossese所以通過傾斜面元所以通過傾斜面元 s的電力線的電力線根數(shù)為根數(shù)為cossensen35cossen 上式右方的物理量稱為電通量：通過一面元上式右方的物理量稱為電通量：通過一面元 s的電的電通量定義為該點場強通量定義為該點場強e與與 s在垂直于場強方向的投影面在垂直于場強方向的投影面

26、積積 s = s cos 的乘積。的乘積。今后，用今后，用 e表示通過表示通過 s的電通量，即的電通量，即cossee 為銳角時，為銳角時，cos 0， e為正；為正； 為鈍角時，為鈍角時，cos 0 ， e為負；為負； = /2時，時，cos = 0，e =0。36 對于非無限小的曲面來說，曲面上場強的大小和方向一對于非無限小的曲面來說，曲面上場強的大小和方向一般是逐點變化的，要計算電通量，就需要把這曲面分割成許多般是逐點變化的，要計算電通量，就需要把這曲面分割成許多小面元小面元 s ，并按前式計算通過每一個小面元的電通量，并按前式計算通過每一個小面元的電通量 e后后再迭加起來，得到通過整個

27、曲面再迭加起來，得到通過整個曲面s的總通量的總通量 e 。用數(shù)學(xué)公式來。用數(shù)學(xué)公式來表示則有表示則有sseesecos 當(dāng)所有的面元當(dāng)所有的面元 s 趨于無趨于無限小時，上式的求和即化為限小時，上式的求和即化為沿曲面的積分沿曲面的積分sedsecos37enn 一曲面有正反兩面，與此對應(yīng)，它一曲面有正反兩面，與此對應(yīng)，它的法線矢量也有正、反兩種取法。對于的法線矢量也有正、反兩種取法。對于單個曲面或不閉合的曲面，法線矢量的單個曲面或不閉合的曲面，法線矢量的正向取在朝哪一面無關(guān)緊要。但閉合曲正向取在朝哪一面無關(guān)緊要。但閉合曲面則把整個空間劃分成內(nèi)、外兩部分，面則把整個空間劃分成內(nèi)、外兩部分，其法線

28、矢量正方向的兩種取向就有了特其法線矢量正方向的兩種取向就有了特定的含義：定的含義：指向曲面外部空間的叫外法指向曲面外部空間的叫外法線矢量，指向曲面內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線線矢量，指向曲面內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線矢量矢量。對于一閉合曲面，有對于一閉合曲面，有sedsecoscossee38enn 指向曲面外部空間的叫外法線矢量，指向曲面外部空間的叫外法線矢量，指向曲面內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線矢量指向曲面內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線矢量。cossee規(guī)定：對于閉合曲面，總是取它的外法線矢量為正。規(guī)定：對于閉合曲面，總是取它的外法線矢量為正。在電力線穿出曲面的地方，在電力線穿出曲面的地方， 90o，cos 0, e0,在電力線

29、進入曲面的地方，在電力線進入曲面的地方， 90o，cos 0, e 0。 sedsecos39高斯定理的表述高斯定理的表述:通過一個任意閉合曲面通過一個任意閉合曲面s的電場的電場強度的通量強度的通量 e ，等于該曲面所包，等于該曲面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和圍的所有電荷電量的代數(shù)和q除除以以0，與閉合面外的電荷無關(guān)。，與閉合面外的電荷無關(guān)。用公式來表示，則有用公式來表示，則有)(01cos內(nèi)siseqdse這閉合曲面這閉合曲面s習(xí)慣上叫做高斯面。習(xí)慣上叫做高斯面。40高斯定理常寫成矢量形式，令高斯定理常寫成矢量形式，令dsnsd面元矢量面元矢量單位法線矢量單位法線矢量電通量可寫電通量可寫成成

30、sdedsedecos高斯定理可寫成高斯定理可寫成)(01內(nèi)siseqsde41高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用 下面我們舉一些應(yīng)用高斯定理求場強的例題。在使下面我們舉一些應(yīng)用高斯定理求場強的例題。在使用高斯定理時我們一定要注意，高斯定理中的用高斯定理時我們一定要注意，高斯定理中的e是帶電是帶電體系中所有電荷（無論是在你所取的高斯面內(nèi)還是高斯體系中所有電荷（無論是在你所取的高斯面內(nèi)還是高斯面外）產(chǎn)生的總場強，而面外）產(chǎn)生的總場強，而q只是對高斯面內(nèi)的電荷求和。只是對高斯面內(nèi)的電荷求和。這是因為高斯面外的電荷對總通量這是因為高斯面外的電荷對總通量 e沒有貢獻，但不是沒有貢獻，但不是對總的場強沒有貢獻

31、。對總的場強沒有貢獻。)(01內(nèi)siseqsde 能夠直接運用高斯定理求出場強的情形，都必須具有能夠直接運用高斯定理求出場強的情形，都必須具有一定的對稱性。所以在下面的幾個例子里，我們首先要作一定的對稱性。所以在下面的幾個例子里，我們首先要作對稱性分析。解題中要求我們特別注意掌握的也正是這個對稱性分析。解題中要求我們特別注意掌握的也正是這個問題。問題。42均勻帶正電球殼內(nèi)外的場強（半徑均勻帶正電球殼內(nèi)外的場強（半徑r，帶電，帶電q） 因為球殼很薄，其厚度可忽略不計，電荷因為球殼很薄，其厚度可忽略不計，電荷q近似地近似地認為均勻分布在球面上。由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，所認為均勻分布在球面上。由于電

32、荷分布是球?qū)ΨQ的，所以電場強度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此在空間中任意點以電場強度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此在空間中任意點的電場強度的方向沿徑矢，大小則依賴于從球心到場點的電場強度的方向沿徑矢，大小則依賴于從球心到場點的距離。即在同一球面上的各點的電場強度的大小是相的距離。即在同一球面上的各點的電場強度的大小是相等的。等的。根據(jù)電場球?qū)ΨQ性的特點，以球心到場點根據(jù)電場球?qū)ΨQ性的特點，以球心到場點的距離為半徑作一同心球面，則通過此球的距離為半徑作一同心球面，則通過此球面的電通量為面的電通量為erdseedssdessse24qrr043 上述分析對于球面內(nèi)外的場點都是適用的，所以上上述分析對于球面內(nèi)外

33、的場點都是適用的，所以上式對于比球殼小的高斯面也是適用的。式對于比球殼小的高斯面也是適用的。rr0qrrr024qere204rqe 均勻帶電球殼在外部空間所均勻帶電球殼在外部空間所產(chǎn)生的電場，與其上電荷全部集產(chǎn)生的電場，與其上電荷全部集中在球心時產(chǎn)生的電場一樣；其中在球心時產(chǎn)生的電場一樣；其球殼內(nèi)部空間的場強處處為零。球殼內(nèi)部空間的場強處處為零。rr042ere0e44rr0qr0er 可以畫出場強的大可以畫出場強的大小隨半徑小隨半徑r的變化情況，的變化情況，由圖可看出，場強在球由圖可看出，場強在球殼上（殼上（r=r）的數(shù)值有）的數(shù)值有個突變。個突變。45 均勻帶正電球體內(nèi)外的場強分布。球體

34、帶電均勻帶正電球體內(nèi)外的場強分布。球體帶電q，半徑為，半徑為r。 在此例里，電場的分布也是球?qū)ΨQ的。我們可把此帶電球在此例里，電場的分布也是球?qū)ΨQ的。我們可把此帶電球體分割成一層層的同心帶電球殼，這樣就可以利用上題的結(jié)果了。體分割成一層層的同心帶電球殼，這樣就可以利用上題的結(jié)果了。 如圖，取高斯面為同心球面包圍球體，如圖，取高斯面為同心球面包圍球體，即場點即場點p在球外，這時各層球殼上的電荷在球外，這時各層球殼上的電荷好象全部集中在球心一樣，從而有好象全部集中在球心一樣，從而有204rqe外或或0204rrqe外rrq0p 如果場點如果場點p在球內(nèi)，則所有半徑大于在球內(nèi)，則所有半徑大于r=0p

35、的那些球殼上的電荷對的那些球殼上的電荷對p都不起作用，都不起作用，只有半徑小于只有半徑小于r的球殼對的球殼對p點有貢獻，而它點有貢獻，而它們上面的全部電荷們上面的全部電荷q又好像集中在球心處又好像集中在球心處一樣，從而有一樣，從而有204rqe內(nèi)0rrqp460rrqp半徑為半徑為r的高斯面包圍的體積是的高斯面包圍的體積是334r其中的電量其中的電量33333433434rrqrqrrqe場強場強302044rqrrqe內(nèi)下面來計算下面來計算q ，因為，因為帶電球體的體積為帶電球體的體積為故電荷體密度為故電荷體密度為334334rqrqe334r204rqe內(nèi)470rrqp0rre 球體內(nèi)外球

36、體內(nèi)外e的變化的變化情況如圖?？梢钥闯鲈谇闆r如圖。可以看出在球體內(nèi)部球體內(nèi)部e與與r成正比地成正比地增加；在增加；在r=r處，球體處，球體內(nèi)外場強大小趨于同一內(nèi)外場強大小趨于同一數(shù)值，即場強是連續(xù)的，數(shù)值，即場強是連續(xù)的，并且數(shù)值最大。并且數(shù)值最大。rrrr204rqe外304rqre內(nèi)48 均勻帶正電的無限長圓柱面的場強（半徑均勻帶正電的無限長圓柱面的場強（半徑r，電荷，電荷面密度面密度 ）。）。 可以看出，這個體系具可以看出，這個體系具有軸對稱性，即在任何垂直有軸對稱性，即在任何垂直于圓柱面的平面內(nèi)的同心圓于圓柱面的平面內(nèi)的同心圓周上場強的大小都一樣，而周上場強的大小都一樣，而且由于圓柱面

37、是無限長，只且由于圓柱面是無限長，只要是離開軸線的距離比柱面要是離開軸線的距離比柱面的長度小得多的地方，這個的長度小得多的地方，這個帶電圓柱面所產(chǎn)生的電場的帶電圓柱面所產(chǎn)生的電場的方向都垂直于圓柱面，向外方向都垂直于圓柱面，向外呈輻射狀。只要保持呈輻射狀。只要保持r的大小的大小不變，場強的數(shù)值也不變。不變，場強的數(shù)值也不變。rr49rrl 根據(jù)上面的分析，高斯面應(yīng)取一圓柱面。設(shè)此面長為根據(jù)上面的分析，高斯面應(yīng)取一圓柱面。設(shè)此面長為l，半，半徑為徑為r，軸線和無限長圓柱面的軸線重合，上下兩底用垂直于柱，軸線和無限長圓柱面的軸線重合，上下兩底用垂直于柱面的平面封口，形成閉合面。這樣通過這閉合面的電

38、通量為面的平面封口，形成閉合面。這樣通過這閉合面的電通量為下底上底側(cè)面dsedsedsedsesecoscoscoscos在上下兩底，在上下兩底， = /2，cos =0。即通過上。即通過上下兩底的電通量為零。在側(cè)面上，各點下兩底的電通量為零。在側(cè)面上，各點e的大小相等，方向處處與面正交。且的大小相等，方向處處與面正交。且e是是常量，常量， cos =1。所以有。所以有rledsedsee2cos側(cè)面?zhèn)让?0rrlrledsedsee2cos側(cè)面?zhèn)让孢@閉合面只包圍長度這閉合面只包圍長度l的一段圓柱面，其中的電荷是的一段圓柱面，其中的電荷是2 rl ，所所以按高斯定理有以按高斯定理有0022rl

39、qrle即即rre0如果我們在圓柱面內(nèi)作同樣的分析，由如果我們在圓柱面內(nèi)作同樣的分析，由于其內(nèi)部不包圍電荷，因此圓柱面內(nèi)部于其內(nèi)部不包圍電荷，因此圓柱面內(nèi)部的場強等于零。即的場強等于零。即0內(nèi)errl51設(shè)圓柱面單位長度設(shè)圓柱面單位長度上的電荷為上的電荷為 ，則有，則有rdlrdldldsdsdqdldq22r2即即代入到代入到rre0得到得到re02 由此可見，無限長均勻帶電圓柱面對由此可見，無限長均勻帶電圓柱面對柱外各點的作用，就像所有電荷全部集中柱外各點的作用，就像所有電荷全部集中在其軸線上的均勻帶電直線一樣。在其軸線上的均勻帶電直線一樣。rrlrrl或或2r52 無限大均勻帶正電平面薄

40、板的電場（電荷面密度無限大均勻帶正電平面薄板的電場（電荷面密度 ）sssee 對于此例的對稱性分析和上題有相似之處，可以看出：對于此例的對稱性分析和上題有相似之處，可以看出：兩側(cè)距平板等遠的點場強大小一樣，方向處處與平板垂直。兩側(cè)距平板等遠的點場強大小一樣，方向處處與平板垂直。根據(jù)場強的特點，我們可以取高斯面如圖：通過平面上一小根據(jù)場強的特點，我們可以取高斯面如圖：通過平面上一小面積面積 s，取一封閉柱面，取一封閉柱面s，柱面的軸線和平面正交，兩底面，柱面的軸線和平面正交，兩底面的面積都等于的面積都等于 s，按高斯定理有，按高斯定理有ee+ s(b)53021coscoscoscosisqds

41、edsedsedse側(cè)面底底側(cè)面上側(cè)面上 = /2，cos =0。即通過側(cè)面的電通量是即通過側(cè)面的電通量是零。零。s面內(nèi)所包圍的電荷面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和的代數(shù)和0cos側(cè)面dsesssee n54底面上底面上 =0，cos =1，即，即sesesedsedseedsedsdsedse2coscos212121底底底底底底sssee 12sq因為因為所以所以02sse即即02e5502esssee- 12 如果板上所帶的如果板上所帶的是負電荷，上式也完是負電荷，上式也完全適用，只是場強方全適用，只是場強方向相反，從兩側(cè)指向向相反，從兩側(cè)指向平板。平板。56 利用上面的結(jié)果，我們也可以求出利用

42、上面的結(jié)果，我們也可以求出真空中帶等量異號真空中帶等量異號電荷的一對無限大平行平面之間的場強。電荷的一對無限大平行平面之間的場強。ab+-按場強迭加原理，有按場強迭加原理，有baeee 由對稱性可知，除邊緣附近以外由對稱性可知，除邊緣附近以外e分別為無限大均勻分別為無限大均勻帶電平面的場強，場強的方向如圖。帶電平面的場強，場強的方向如圖。兩平面之間兩平面之間00022baeee兩平面外側(cè)兩平面外側(cè)0baeee57ab+-兩平面之間兩平面之間0e兩平面外側(cè)兩平面外側(cè)0e 兩平行平面均勻帶有等值異號兩平行平面均勻帶有等值異號電荷時，如果平面線度遠遠大于兩電荷時，如果平面線度遠遠大于兩平面之間的距離

43、時，除邊緣外，電平面之間的距離時，除邊緣外，電場全部集中與兩平面之間，而且是場全部集中與兩平面之間，而且是均勻的。在實驗室中我們常用此產(chǎn)均勻的。在實驗室中我們常用此產(chǎn)生勻強電場。生勻強電場。581. 一一“無限大無限大”均勻帶電平面均勻帶電平面a的附近放一與它平行的的附近放一與它平行的“無限大無限大”均勻帶電平面均勻帶電平面b，如圖所示。已知，如圖所示。已知a上的電荷面密度為上的電荷面密度為 ，b b上的上的電荷面密度為電荷面密度為2 ，如果設(shè)向右為正方向，則兩平面之間和平面，如果設(shè)向右為正方向，則兩平面之間和平面b外的電場強度分別為外的電場強度分別為00023222e0002222e0000

44、00002,)(23,2)(,)(2,)(dcba2ab兩平面之間兩平面之間 c平面平面b外外592 在邊長為在邊長為b的正方形中心處放置一電荷為的正方形中心處放置一電荷為q的點電荷，則正的點電荷，則正方形頂角處的電場強度大小為方形頂角處的電場強度大小為20202020)(3)(2)(4)(bqdbqcbqbbqaqb245cos20bbx2020202424bqbqxqe b606. 一均勻電場一均勻電場e e的方向與的方向與x 軸同向，如圖所示則通過圖中半軸同向，如圖所示則通過圖中半徑為徑為r 的半球面的電場強度通量為的半球面的電場強度通量為 a.)(.2)(. 2/)(. 0)(222e

45、rdercerba x o e 通過半球面的通量通過半球面的通量與通過圓面的通量相等與通過圓面的通量相等,因此因此 =0.sedsecos0617.如果一高斯面所包圍的體積內(nèi)電荷代數(shù)和如果一高斯面所包圍的體積內(nèi)電荷代數(shù)和q8.850 10-12c，則可肯定：則可肯定： (a) 高斯面上各點場強均為零高斯面上各點場強均為零 (b) 穿過高斯面上每一面元的電場強度通量均為穿過高斯面上每一面元的電場強度通量均為1nm2/c (c) 穿過整個高斯面的電場強度通量為穿過整個高斯面的電場強度通量為1nm2/c (d) 以上說法都不對以上說法都不對 ca：即使面內(nèi)電荷代數(shù)和為零，高斯面上：即使面內(nèi)電荷代數(shù)和

46、為零，高斯面上e也不一定處處為零。也不一定處處為零。)(01內(nèi)siseqsdec：高斯面所包圍的體積內(nèi)電荷代數(shù)和：高斯面所包圍的體積內(nèi)電荷代數(shù)和q8.85 10-12c ，則，則穿過穿過整個高斯面整個高斯面的電場強度通量為的電場強度通量為1nm2/c 629.9.兩個同心均勻帶電球面，半徑分別為兩個同心均勻帶電球面，半徑分別為ra 和和rb( (ra rb),),所帶所帶電荷分別為電荷分別為qa和和qb，設(shè)某點與球心相距，設(shè)某點與球心相距r r，當(dāng)，當(dāng)r rb br時時rqdrrqur020440qrpr90rrrdrrqdrrqru203044 rrrqrrrrqe 4 430200qrpr

47、當(dāng)當(dāng)rr時時rqrrrq0302248)(91計算電勢的方法有兩種：計算電勢的方法有兩種：利用電勢的定義式利用電勢的定義式baabldeu$要注意參考點的選擇，只有電荷分布在有限的空間時，要注意參考點的選擇，只有電荷分布在有限的空間時，才能選無窮遠點的電勢為零；才能選無窮遠點的電勢為零；$積分路徑上的電場強度的函數(shù)形式要求已知或可求。積分路徑上的電場強度的函數(shù)形式要求已知或可求。利用電勢的疊加原理利用電勢的疊加原理rdqu04$要求電荷的分布區(qū)域是已知的；要求電荷的分布區(qū)域是已知的；$當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域內(nèi)，可以選擇無窮遠點作為當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域內(nèi)，可以選擇無窮遠點作為電勢的零點的；而當(dāng)

48、激發(fā)電場的電荷分布延伸到無窮遠電勢的零點的；而當(dāng)激發(fā)電場的電荷分布延伸到無窮遠時，只能根據(jù)具體問題的性質(zhì)，在場中選擇某點為電勢時，只能根據(jù)具體問題的性質(zhì)，在場中選擇某點為電勢的零點。的零點。92六六 電勢的圖示法電勢的圖示法 等勢面等勢面 我們知道，電場的分布可以借助于電力線圖形象地我們知道，電場的分布可以借助于電力線圖形象地描繪，那么電勢的分布是否也可以形象地描繪出來呢？描繪，那么電勢的分布是否也可以形象地描繪出來呢？實際上同樣可以，這就是等勢面圖。實際上同樣可以，這就是等勢面圖。 一般說來，靜電場中的電勢值是逐點變化的，但總有一般說來，靜電場中的電勢值是逐點變化的，但總有一些點的電勢彼此相

49、同，而這些電勢值相同的點，又往往處一些點的電勢彼此相同，而這些電勢值相同的點，又往往處在一定的曲面上。例如，點電荷在一定的曲面上。例如，點電荷q產(chǎn)生的電場中電勢為產(chǎn)生的電場中電勢為204rqu 電勢電勢u只與距離只與距離r有關(guān)，這就是說，距有關(guān)，這就是說，距q等遠的點，電勢值都相同。等遠的點，電勢值都相同。pqr93+點電荷e勻強電場帶電體 如圖，點電荷電場中那些電勢相等的點都處在以如圖，點電荷電場中那些電勢相等的點都處在以q為中心為中心的球面上，我們把這些電勢相等的點所組成的平面叫做的球面上，我們把這些電勢相等的點所組成的平面叫做等勢面等勢面.所以點電荷的電場中所以點電荷的電場中,等勢面就是

50、一系列以等勢面就是一系列以q為中心的同心球面。為中心的同心球面。點電荷電場中的電力線是沿半徑方向的一系列直線，很顯然這點電荷電場中的電力線是沿半徑方向的一系列直線，很顯然這些電力線是與等勢面處處正交的，電力線的方向指向電勢降落些電力線是與等勢面處處正交的，電力線的方向指向電勢降落的方向。的方向。94縱觀各種等勢面圖，可得出兩點結(jié)論：縱觀各種等勢面圖，可得出兩點結(jié)論：靜電場中，當(dāng)電荷沿等勢面移動時，電場力不會作功靜電場中，當(dāng)電荷沿等勢面移動時，電場力不會作功。這。這是因為是因為)(0baabuuqa而在等勢面上，任意兩點之間的電勢差而在等勢面上，任意兩點之間的電勢差0bauu所以所以0abae9

51、5如圖，設(shè)一試驗電荷如圖，設(shè)一試驗電荷q0沿等勢面作一任意元位移沿等勢面作一任意元位移dl，于是電，于是電場力作功場力作功q0eld0cos0edlq這里這里q0 、e、dl都不為零所以必然有都不為零所以必然有0cos即即2 這就是說，要使得這就是說，要使得e與等勢與等勢面上的任意線元面上的任意線元dl都垂直，電場都垂直，電場強度（電力線）與等勢面就必須強度（電力線）與等勢面就必須處處正交。處處正交。 與電力線相似，從等勢面的與電力線相似，從等勢面的疏密程度也能表示出電場的強弱。疏密程度也能表示出電場的強弱。等勢面較密集的地方場強大，較等勢面較密集的地方場強大，較稀疏的地方場強小稀疏的地方場強

52、小。靜電場中，等勢面與電力線處處正交，靜電場中，等勢面與電力線處處正交，e的方向指向電勢降的方向指向電勢降落的方向落的方向。96七七 電場強度與電勢梯度之間的關(guān)系電場強度與電勢梯度之間的關(guān)系電勢梯度電勢梯度 梯度一詞，通常指梯度一詞，通常指一個物理量的空間變化率一個物理量的空間變化率。用。用數(shù)學(xué)語言來說，就是這個物理量對空間坐標(biāo)的微商。數(shù)學(xué)語言來說，就是這個物理量對空間坐標(biāo)的微商。 任何空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)，叫做標(biāo)量場。電勢任何空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)，叫做標(biāo)量場。電勢u是個標(biāo)量，它在空間每一點有一定的數(shù)值，所以電是個標(biāo)量，它在空間每一點有一定的數(shù)值，所以電勢是個標(biāo)量場。在三維空間里，一個標(biāo)量場沿不同

53、勢是個標(biāo)量場。在三維空間里，一個標(biāo)量場沿不同方向的變化率不同。方向的變化率不同。97 在任一靜電場中取兩個彼此靠得很近的等勢面，電勢分在任一靜電場中取兩個彼此靠得很近的等勢面，電勢分別是別是u和和u+du，并設(shè)，并設(shè)du 0，即，即2上的電勢比上的電勢比1高。我們在高。我們在p1點處作等勢面點處作等勢面1的法線，并規(guī)定這法線的正方向指向電勢增的法線，并規(guī)定這法線的正方向指向電勢增加的方向。加的方向。n0表示法線方向的單位矢量；兩等勢面之間的距表示法線方向的單位矢量；兩等勢面之間的距離離p1p2用用dn表示，顯然表示，顯然dn是這兩個等勢面之間的最短距離。是這兩個等勢面之間的最短距離。等勢面上的

54、其它各點，例如等勢面上的其它各點，例如p1點到點到p3點的距離都恒大于點的距離都恒大于dn 。nd12ldele0nuu+dup1p2p3由圖可知由圖可知cosdldn 即即cosdndl 9812ldelend0nuu+dup1p2p3沿沿dl方向的電勢增加率是方向的電勢增加率是cosdndudldu其中其中du/dn是沿是沿n方向上的電勢增加率。上式說明方向上的電勢增加率。上式說明dndudldu 沿沿n0方向上的電勢增加率大于沿其方向上的電勢增加率大于沿其它任意方向上的電勢增加率。它任意方向上的電勢增加率。此式實際上是表明了一個矢量的投影此式實際上是表明了一個矢量的投影和它的絕對值之間的

55、關(guān)系：和它的絕對值之間的關(guān)系：dl方向上方向上的電勢增加率的電勢增加率du/dl就可以看作是矢量就可以看作是矢量du/dn在在dl方向上的分量，此矢量我們方向上的分量，此矢量我們就稱它為就稱它為p1點處的電勢梯度矢量，通點處的電勢梯度矢量，通常用常用gradu表示表示(gradient)。 電場中某點的電勢梯度矢量，在電場中某點的電勢梯度矢量，在方向上與該點處電勢增加率最大的方方向上與該點處電勢增加率最大的方向相同，在量值上等于沿該方向上的向相同，在量值上等于沿該方向上的電勢增加率。電勢增加率。99電場強度與電勢梯度之間的關(guān)系電場強度與電勢梯度之間的關(guān)系12ldelend0nuu+dup1p2

56、p3 由于電力線的方向亦即電場強度的方向恒與等勢面由于電力線的方向亦即電場強度的方向恒與等勢面正交，而且指向電勢降落的方向，所以正交，而且指向電勢降落的方向，所以p1點的電場強度矢點的電場強度矢量量e的方向應(yīng)與的方向應(yīng)與n0的方向相反。當(dāng)單位電荷從電勢為的方向相反。當(dāng)單位電荷從電勢為u的的p1點沿法線方向移到電勢為點沿法線方向移到電勢為u+du的的p2點時，應(yīng)用電場力對點時，應(yīng)用電場力對單位正電荷所作的功等于起點和終點之間的電勢差的關(guān)系單位正電荷所作的功等于起點和終點之間的電勢差的關(guān)系babaabuuldea知知duduuudnen)(所以有所以有dnduen式中的負號說明式中的負號說明e與與

57、n0的方向相反。的方向相反。100gradundndue0此式說明：此式說明：在電場中各點的電場在電場中各點的電場強度等于該點電勢梯度的負值強度等于該點電勢梯度的負值。如果對上式在任意方向如果對上式在任意方向dl上取分量，就有上取分量，就有dldudndugraduelcos)(亦即電場強度在亦即電場強度在dl方向上的分量方向上的分量el應(yīng)等于電勢梯度矢量在應(yīng)等于電勢梯度矢量在dl方向方向上的分量的負值。由此可知，在直角坐標(biāo)系中場強上的分量的負值。由此可知，在直角坐標(biāo)系中場強e沿沿x、y、z三個方向上的分量分別為三個方向上的分量分別為zueyuexuezyx, 可以看出，電勢梯度的單位是伏特可

58、以看出，電勢梯度的單位是伏特米米-1（vm-1），），所以所以場強也常用這個單位。場強也常用這個單位。10112.如圖所示，在點電荷如圖所示，在點電荷q的電場中，在以的電場中，在以q為中心、為中心、r為半徑為半徑的球面上，若選取的球面上，若選取p處作為電勢零點，則與點電荷處作為電勢零點，則與點電荷q距離為距離為r的的p點的電勢為點的電勢為 b.4)(.)(4)().11(4)().11(4)(0000rqudrrqucrrqubrrquaprqrprprprpldeqaupu0) ()11(44020rrqdrrqurrp10213.圖中實線為某電場中的電場線，虛線表示等勢（位）面，圖中實線為

59、某電場中的電場線，虛線表示等勢（位）面，由圖可看出由圖可看出cbacbacbacbacbacbacbacbauuueeeduuueeecuuueeebuuueeea,)(,)(,)(,)( dabc 電力線的方向指向電勢降落的方向，電力線的方向指向電勢降落的方向，因此因此a點的電勢低，點的電勢低，c 點的電勢高。點的電勢高。 電力線稀疏的地方表示場強小，電電力線稀疏的地方表示場強小，電力線稠密的地方表示場強大，因此力線稠密的地方表示場強大，因此a 點點場強大，場強大，c點場強小。點場強小。1036. 如圖所示試驗電荷如圖所示試驗電荷q， 在點電荷在點電荷+q產(chǎn)生的電場中，沿半產(chǎn)生的電場中，沿半

60、徑為徑為r的整個圓弧的的整個圓弧的3/4圓弧軌道由圓弧軌道由a點移到點移到d點的過程中電場點的過程中電場力作功為力作功為_；從；從d點移到無窮遠處的過程中，點移到無窮遠處的過程中，電場力作功為電場力作功為_ +q r q a d 作功與路徑無關(guān)。作功與路徑無關(guān)。011()4dadaadqqadarradrrr0a0011()44ddqqqqadarr01047 如圖所示，在靜電場中，一電荷如圖所示，在靜電場中，一電荷q=1.6 10-19c沿沿1/4圓弧軌道圓弧軌道從從a點移到點移到b點，電場力做功點，電場力做功3.2 10-15j。當(dāng)質(zhì)子沿。當(dāng)質(zhì)子沿3/4圓弧軌圓弧軌道從道從b點回到點回到a