第一章幾何公理系統(tǒng)與中學(xué)幾何

1、 第一章幾何公理系統(tǒng)與中學(xué)幾何的相關(guān)問題 1 幾何學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史 2 歐幾里得的幾何原本 3 希爾伯特公理體系 4 我國(guó)中學(xué)幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)以 及教材改革的基本精神 5中學(xué)幾何教學(xué)的基本要求 假如我們要預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。 彭加萊1.1古代幾何學(xué)簡(jiǎn)史 相傳古代的埃及尼羅河經(jīng)常泛濫,兩岸田畝地界盡被淹沒,事后必須設(shè)法進(jìn)行測(cè)量,以重新確定田畝的地界.在這個(gè)實(shí)際需要中,測(cè)量土地的方法自然應(yīng)運(yùn)而生,據(jù)說西方的幾何學(xué)就是起源于這種測(cè)地術(shù), “幾何”最早是“多少”之意，用（geometry）表示，geo代表土地，metry是測(cè)量的意思。古埃及巴比倫 泥板書 最先使用度量制

2、幾何側(cè)重計(jì)算，幾何的性質(zhì)和公式都是靠觀察和總結(jié)得出的。中國(guó) 勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實(shí)。開方除之，即弦?！?趙爽 周髀算經(jīng)和秦九韶九章算術(shù) 證明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)?！?祖沖之 圓周率精確到七位小數(shù)的第一人墨子 平行線（面）、中心、正方形、圓（球） “平，同高也” “中，同長(zhǎng)也” “圓，一中，同長(zhǎng)也” “方，柱隅四灌也”古希臘 泰勒斯 愛奧尼亞學(xué)派 最先開始幾何證明畢達(dá)哥拉斯 畢達(dá)哥拉斯定理 給出了兩直角邊和斜邊的整數(shù)表達(dá)式)(122,22, 1222nnnnnnn 算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來柏拉圖

3、幾何建立在邏輯的基礎(chǔ)上，堅(jiān)持準(zhǔn)確的定義，清楚的假設(shè)，和邏輯證明 不懂幾何學(xué)不得入內(nèi)歐幾里得 幾何原本 世界第一次目睹了一個(gè)邏輯體系的奇跡，這個(gè)邏輯體系如此精密地一步一步推進(jìn)，以致它的每一個(gè)命題都是絕對(duì)不容置疑的我這里說的就是歐幾里得幾何，推理的這種可贊嘆的勝利，使人類理智獲得了為取得以后的成就所必需的信心。 愛因斯坦 對(duì)于職業(yè)數(shù)學(xué)家，這本書常常有著一種不可逃避的誘惑力，而它的邏輯結(jié)構(gòu)，大概比世界上任何其他著作更大地影響了科學(xué)思想。 原本僅次于圣經(jīng)，大約成為西方世界歷史中翻版和研究最廣的書。 t.斯威克 第一時(shí)期是幾何作為數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期，從人類積累生產(chǎn)、生活經(jīng)驗(yàn)到大約公元前五世紀(jì)止。（實(shí)驗(yàn)幾何的

4、形成和發(fā)展） 特點(diǎn)：幾何主要是經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的積累和初步整理，如丈量土地、測(cè)量容器，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之間的聯(lián)系，形成了實(shí)驗(yàn)幾何。我國(guó)古代、古埃及、古印度等研究的幾何大體就是實(shí)驗(yàn)幾何學(xué)的內(nèi)容。1.2.幾何學(xué)發(fā)展的幾個(gè)階段 第二個(gè)時(shí)期，幾何成為數(shù)學(xué)的獨(dú)立學(xué)科，希臘的幾何傳遍世界各地，從公元前3世紀(jì)到十七世紀(jì)以前。（理論幾何的形成） 特點(diǎn)：公元前3世紀(jì)，古希臘的柏拉圖學(xué)派歐幾里得的幾何原本的問世，標(biāo)志著理論幾何的形成。從公元6世紀(jì)開始，古希臘學(xué)者在豐富的經(jīng)驗(yàn)材料的基礎(chǔ)上，比較重視在形式、邏輯體系下去揭示幾何事實(shí)之間存在的聯(lián)系，但還沒有真正做到公理化，仍需要憑直觀和默認(rèn)。 第三個(gè)時(shí)期

5、是因資本主義的萌芽促成歐洲文藝復(fù)興而引起了幾何學(xué)的重新繁榮。從十七世紀(jì)到十九世紀(jì)初。（解析幾何的產(chǎn)生和發(fā)展） 標(biāo)志：1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾引進(jìn)坐標(biāo)解決幾何問題，產(chǎn)生了解析幾何以及后來的微分幾何。 第四個(gè)時(shí)期是從羅巴切夫斯基建立了第一種非歐幾何開始的。（現(xiàn)代幾何的發(fā)展）1893年，在喀山大學(xué)樹立起了世界上第一個(gè)為數(shù)學(xué)家雕塑的塑像。這位數(shù)學(xué)家就是俄國(guó)的偉大學(xué)者、非歐幾何的重要?jiǎng)?chuàng)始人羅巴切夫期基。羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基（ ，英文串法lobachevsky/lobachevskii）（1792年12月1日1856年2月24日），俄羅斯數(shù)學(xué)家，非歐幾何的早期發(fā)現(xiàn)人之一。 1826年2月23日，羅巴

6、切夫斯基于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上，宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文：幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要。這篇首創(chuàng)性論文的問世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。 歷史是最公允的，因?yàn)樗K將會(huì)對(duì)各種思想、觀點(diǎn)和見解作出正確的評(píng)價(jià)。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。 幾何學(xué)變成研究各種不同空間（歐氏空間、羅氏幾何學(xué)變成研究各種不同空間（歐氏空間、羅氏空間、黎氏空間、仿射空間、射影空間、空間、黎氏空間、仿射空間、射影空間、）

7、以）以及這個(gè)別空間圖形的數(shù)學(xué)理論的總體。在認(rèn)識(shí)到及這個(gè)別空間圖形的數(shù)學(xué)理論的總體。在認(rèn)識(shí)到空間概念多樣化的同時(shí)，感到歐幾里得建立他的空間概念多樣化的同時(shí)，感到歐幾里得建立他的幾何學(xué)的基礎(chǔ)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠完善，新興了一門幾何分幾何學(xué)的基礎(chǔ)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠完善，新興了一門幾何分支即初等幾何基礎(chǔ)。射影幾何、微分幾何、幾何支即初等幾何基礎(chǔ)。射影幾何、微分幾何、幾何基礎(chǔ)成了十九世紀(jì)幾何方面大放光芒的三大分支。基礎(chǔ)成了十九世紀(jì)幾何方面大放光芒的三大分支。18991899年希爾伯特發(fā)表了集大成的名著年希爾伯特發(fā)表了集大成的名著幾何基幾何基礎(chǔ)礎(chǔ)，成為歐幾里得的完善的公理法結(jié)構(gòu)，成為歐幾里得的完善的公理法結(jié)構(gòu)。小 故 事v卡爾

8、.弗里德里希.高斯德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家?！皻W洲數(shù)學(xué)之王”2.1幾何原本的內(nèi)容 原本共分十五卷，內(nèi)容如下： 第一卷討論三角形相等的條件、三角形邊角關(guān)系、垂線、平行線理論、平行四邊形、三角形與多邊形等積的條件、勾股定理等，共48個(gè)命題。 第二卷討論線段計(jì)算（包括黃金分割）、面積的變換、用幾何法解代數(shù)問題，共14個(gè)命題。 第三卷討論圓周角、圓心角、圓的切線、割線、圓冪定理等，共37個(gè)命題。 第四卷討論圓的內(nèi)接、外切多邊形和正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作圖，共16個(gè)命題。 第六卷討論相似多邊形的理論，共33個(gè)命題。 第十一卷立體幾何、直線與平面、平行六面體的體積 第十二卷窮竭法、證明圓的

9、面積之比等于其直徑的平方比，柱，錐、臺(tái)、球的體積 第十三卷正多面體 第十四卷資料（95個(gè)問題） 第十五卷圖形的分割 為了了解原本的邏輯結(jié)構(gòu)，下面專門討論第一卷的結(jié)構(gòu)，它是全書邏輯推理的基礎(chǔ)。原本的第一卷給出了23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理。定 義 （1）點(diǎn)是沒有部分的； （2）線是有長(zhǎng)度而沒有寬度的； （3）線的界限是點(diǎn)； （4）直線是這樣的線，它對(duì)于在它上面的所有各個(gè)點(diǎn)都有同樣的位置； （5）面有長(zhǎng)度和寬度； （6）面的界限是線； （7）平面是這樣的面，它對(duì)于其上的所有直線有同樣的位置；（8）平面上的角是在一個(gè)平面上的兩條相交直線相互的傾斜度；（9）當(dāng)形成一角的兩線是一直線的時(shí)候，這個(gè)角叫做

10、平角；（10）（22）是關(guān)于直角和垂線、鈍角和銳角、圓、圓的中心、直線形、三角形、四邊形、等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形、正方形、直角三角形、菱形等的定義；（23）平行直線是在同一平面上而且盡管向兩側(cè)延長(zhǎng)也決不相交的直線。公設(shè) （1）從每個(gè)點(diǎn)到另一點(diǎn)可以引直線； （2）每條直線都可以無限延長(zhǎng)； （3）以任意點(diǎn)為中心，可用任意長(zhǎng)為半徑作一圓； （4）所有直角都相等； （5）同平面內(nèi)兩條直線與第三條直線相交，若其中一側(cè)相交的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角，則該兩直線必在這一側(cè)相交。 （歐氏第五公設(shè)） 公設(shè)：是一種假設(shè)事項(xiàng)，從其結(jié)果是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)是否為真，只適用于幾何。 公理：適用于一切科學(xué)的真理

11、，是人們明白無疑的公共觀念。公 理 （1）等于同一個(gè)量的量相等； （2）等量加等量，其和相等； （3）等量減等量，其差相等； （4）能重合的量相等； （5）全體大于部分。從上可以看出原本第一卷就是在23個(gè)定義，5個(gè)公設(shè)，5個(gè)公理的基礎(chǔ)上，按公理化的手法，以一定的邏輯體系建立起來的，由此，推導(dǎo)出平面幾何和立體幾何的全部?jī)?nèi)容。2.2原本的評(píng)述（1）首先嘗試?yán)霉砘址ń缀螌W(xué)。（2）關(guān)于定義方面，歐幾里得試圖對(duì)一切概念都給與定義，但這是不可能的。如在第一卷里的點(diǎn)、線、面、直線、平面都加以定義，這些定義卻用了一些未經(jīng)定義的概念“部分”、“長(zhǎng)度”、“寬度”、“界限”、“同樣的位置”等等，意義模糊不

12、清，缺乏邏輯性（3）原本最大的缺點(diǎn)是公理、公設(shè)的不完備，缺少“順序性”公理，如“直線上一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)之間”、“在直線同側(cè)的兩點(diǎn)”、“在三角形內(nèi)的一點(diǎn)”等，只能憑借直觀理解。缺少“運(yùn)動(dòng)”公理，如“把一個(gè)三角形疊合到另一個(gè)三角形上去”默認(rèn)圖形經(jīng)過移動(dòng)后大小、形狀不變。缺少“連續(xù)性”公理，默認(rèn)直線與圓，圓與圓相交一定有兩個(gè)交點(diǎn)。（4）第五公設(shè)表述羅嗦，不夠顯然。第五公設(shè)問題羅氏幾何黎曼幾何思考題：思考題：l有人說，埃及人研究幾何只相當(dāng)于“一個(gè)粗糙的木匠”，而希臘人則是幾何學(xué)的“建筑大師”。你對(duì)這句話如何理解？l非歐幾何的產(chǎn)生對(duì)你有什么啟示？3.1近代公理法的產(chǎn)生 19世紀(jì)的末期(1899)，希爾伯特

13、，幾何基礎(chǔ)，希氏的公理系統(tǒng)是其后的一切公理化的楷模，它的出版標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理化時(shí)期的到來。 -希氏的公理系統(tǒng)是其后的一切公理化的楷模，它的出版標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理化時(shí)期的到來。3.2希爾伯特公理系統(tǒng) 1.希爾伯特與歐幾里得在建立幾何學(xué)基礎(chǔ)的不同 首先列出不定義的基本概念：點(diǎn)、直線、平面，把這三種對(duì)象堪稱幾何學(xué)中的“基本對(duì)象”只承認(rèn)其存在。 提出了三個(gè)“基本關(guān)系”，即規(guī)定點(diǎn)、直線、平面相互間存在三種基本關(guān)系：結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系。 提出的基本對(duì)象和基本關(guān)系滿足五組公理，即結(jié)合公理、順序公理、合同公理、連續(xù)公理、平行公理。據(jù)這五組公理就可推導(dǎo)出平面幾何和立體幾何的全部?jī)?nèi)容。點(diǎn)在直線上點(diǎn)在平面上一點(diǎn)

14、介于兩點(diǎn)之間希爾伯特公理系統(tǒng)元詞元名元誼點(diǎn)直線平面結(jié)合關(guān)系合同關(guān)系順序關(guān)系線段合同角合同公理 結(jié)合公理（8條）順序公理（4條）合同公理（5條）連續(xù)公理（2條）平行公理（1條）認(rèn)識(shí)公理法的思想v公理法：用公理系統(tǒng)定義幾何學(xué)的基本公理法：用公理系統(tǒng)定義幾何學(xué)的基本對(duì)象及其關(guān)系的研究方法稱為數(shù)學(xué)中的對(duì)象及其關(guān)系的研究方法稱為數(shù)學(xué)中的“公理法公理法”。v實(shí)質(zhì)是實(shí)質(zhì)是，從一些，從一些不定義的術(shù)語不定義的術(shù)語出發(fā)，這出發(fā)，這些術(shù)語的性質(zhì)由些術(shù)語的性質(zhì)由公理公理規(guī)定；工作的目標(biāo)規(guī)定；工作的目標(biāo)是導(dǎo)出這些公理的是導(dǎo)出這些公理的推論推論。 v作用：運(yùn)用公理法的思想研究幾何，幾何空作用：運(yùn)用公理法的思想研究幾何，

15、幾何空間就被認(rèn)為是基本對(duì)象所成的集合，對(duì)象之間就被認(rèn)為是基本對(duì)象所成的集合，對(duì)象之間只須滿足公理所規(guī)定的關(guān)系。間只須滿足公理所規(guī)定的關(guān)系。v一切符合公理系統(tǒng)的對(duì)象都能組成幾何學(xué)，一切符合公理系統(tǒng)的對(duì)象都能組成幾何學(xué)，幾何圖形只不過是幾何學(xué)的一種直觀形象，幾何圖形只不過是幾何學(xué)的一種直觀形象，每一個(gè)幾何學(xué)的直觀形象不是只有一種，可每一個(gè)幾何學(xué)的直觀形象不是只有一種，可能有無窮多個(gè)。能有無窮多個(gè)。2.希爾伯特公理系統(tǒng) 規(guī)定：用大寫字母a、b、c等表示點(diǎn)，小寫a、b、c表示直線，用字母 表示平面。,2.1結(jié)合公理 1 1對(duì)于任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，恒有一條直線通過其中的每個(gè)點(diǎn)對(duì)于任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，恒有一條

16、直線通過其中的每個(gè)點(diǎn) 2 2對(duì)于任意兩個(gè)不同點(diǎn)，至多有一條直線通過其中的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)于任意兩個(gè)不同點(diǎn)，至多有一條直線通過其中的每一個(gè)點(diǎn) 3.13.1每條直線上至少有兩個(gè)點(diǎn)；每條直線上至少有兩個(gè)點(diǎn)； 3.23.2至少有三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上至少有三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上 4.14.1對(duì)于不共線三點(diǎn)，恒有一個(gè)平面通過其中每個(gè)點(diǎn)對(duì)于不共線三點(diǎn)，恒有一個(gè)平面通過其中每個(gè)點(diǎn) 4.24.2每個(gè)平面上至少有一個(gè)點(diǎn)每個(gè)平面上至少有一個(gè)點(diǎn) 5 5對(duì)于不共線三點(diǎn)，至多有一個(gè)平面通過其中每個(gè)點(diǎn)對(duì)于不共線三點(diǎn)，至多有一個(gè)平面通過其中每個(gè)點(diǎn) 6 6如果直線如果直線a a的兩個(gè)點(diǎn)在平面的兩個(gè)點(diǎn)在平面上，則上，則a a的每個(gè)點(diǎn)都在

17、的每個(gè)點(diǎn)都在上上 7 7如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則至少還有另一個(gè)公共點(diǎn)如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則至少還有另一個(gè)公共點(diǎn) 8 8至少有四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上至少有四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上v保證了基本概念點(diǎn)、直線、平面的存在。保證了基本概念點(diǎn)、直線、平面的存在。v其中其中3.23.2和和8 8保證了點(diǎn)的存在；保證了點(diǎn)的存在； 1 1 和和3.23.2保證了直線的存在；保證了直線的存在； 3.2 3.2 和和4.14.1保保證了平面的存在。證了平面的存在。 3.1 3.1 4.14.1， 4.24.2， 7 7等都是說明在怎樣的條件下存在什么，稱等都是說明在怎樣的條件下存在什么，稱之為之為“條件存在

18、公理?xiàng)l件存在公理”。v公理公理2 2，5 5，6 6不涉及存在問題。不涉及存在問題。 v各條公理的作用：v結(jié)合公理刻劃了點(diǎn)、直線、平面間的結(jié)合結(jié)合公理刻劃了點(diǎn)、直線、平面間的結(jié)合關(guān)系。關(guān)系。 1 1 3 3屬于點(diǎn)和直線的結(jié)合關(guān)系，屬于點(diǎn)和直線的結(jié)合關(guān)系，稱為平面結(jié)合公理，稱為平面結(jié)合公理， 4 4 8 8稱為空間結(jié)合稱為空間結(jié)合公理。公理。v”點(diǎn)和直線相互結(jié)合點(diǎn)和直線相互結(jié)合“、”點(diǎn)和平面相互點(diǎn)和平面相互結(jié)合結(jié)合“是基本結(jié)合關(guān)系，而是基本結(jié)合關(guān)系，而”直線和平面相直線和平面相互結(jié)合互結(jié)合“不是基本結(jié)合關(guān)系。它可以定義為：不是基本結(jié)合關(guān)系。它可以定義為：如果直線如果直線a a的所有點(diǎn)都在平面的所

19、有點(diǎn)都在平面上，則稱直線上，則稱直線在平面在平面上。上。v推論：直線推論：直線a a上若有兩個(gè)點(diǎn)在平面上若有兩個(gè)點(diǎn)在平面上，則直上，則直線線a a在平面在平面上。上。結(jié)合公理是中學(xué)平面幾何和立體幾何中有關(guān)點(diǎn)、直線、平面結(jié)合關(guān)系的理論基礎(chǔ)。*結(jié)合公理對(duì)于中學(xué)幾何的作用v 1 ，2，4.1，5， 6都反映在平幾、立幾的公理系統(tǒng)中， 7中關(guān)于兩平面的結(jié)合關(guān)系在中學(xué)幾何中采用“若兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有且僅有一條通過此點(diǎn)的公共直線”作為公理，它實(shí)際上是希氏下的一條定理， 3 ，4.2，8都是作為直觀或默認(rèn)，允許在平面內(nèi)、外取點(diǎn)，實(shí)際上是默認(rèn)了這些性質(zhì)，在希氏體系下作為公理給出，從此可看出在中學(xué)幾何

20、中默認(rèn)、直觀的性質(zhì)，在希氏體系下有嚴(yán)格的理論保證，給中學(xué)幾何中的某些做法提供了理論基礎(chǔ)。 這一組公理敘述直線上的一個(gè)點(diǎn)，可以對(duì)這一組公理敘述直線上的一個(gè)點(diǎn)，可以對(duì)于同一條直線上另外兩個(gè)點(diǎn)有一種位置關(guān)于同一條直線上另外兩個(gè)點(diǎn)有一種位置關(guān)系。基本順序關(guān)系是系?；卷樞蜿P(guān)系是“一點(diǎn)一點(diǎn)b b在另兩點(diǎn)在另兩點(diǎn)a a和和c c之間之間”用用 表示。表示。2.2順序公理cba 1 1若點(diǎn)若點(diǎn)b b在點(diǎn)在點(diǎn)a a和和c c之間，之間，則則a a、b b、c c三點(diǎn)三點(diǎn)是一直線上的三個(gè)不同點(diǎn)，且是一直線上的三個(gè)不同點(diǎn)，且b b也在點(diǎn)也在點(diǎn)c c和和a a之間。之間。 2 2對(duì)于任意的兩點(diǎn)對(duì)于任意的兩點(diǎn)a a及

21、及b b，在直線，在直線abab上至上至少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn)c c，使，使b b在點(diǎn)在點(diǎn)a a和和c c之間。之間。 3 3在一直線上的三點(diǎn)中，至多有一點(diǎn)在在一直線上的三點(diǎn)中，至多有一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)之間。另外兩點(diǎn)之間。 4 4（巴士公理）：設(shè)（巴士公理）：設(shè)a a、b b、c c是不共線的三是不共線的三點(diǎn)，點(diǎn)， a a是平面是平面abcabc上一直線，它不通過上一直線，它不通過a a、b b、c c中的任何一點(diǎn)，若中的任何一點(diǎn)，若a a有一點(diǎn)介于有一點(diǎn)介于a a、b b之間，之間，則則a a必還有一點(diǎn)介于必還有一點(diǎn)介于a a和和c c或或b b和和c c之間。之間。v各條公理的作用：v公理13是

22、直線上點(diǎn)的順序公理，也稱為線性順序公理，公理4是平面的順序公理。v公理2保證線段外部有點(diǎn)，公理3保證在共線的三點(diǎn)中至多有一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)之間，但不保證至少有一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)之間，公理4是論證線段有內(nèi)點(diǎn)的理論依據(jù)。v公理3不保證存在性。設(shè)點(diǎn)a，b，c是同一直線上的三點(diǎn)，在 中，至多有一種情形成立。v四條公理為基礎(chǔ)，可以給出線段，內(nèi)點(diǎn)，三角形，頂點(diǎn)，邊，角，射線，內(nèi)部，外部，異側(cè)，同側(cè)的定義，還可以證明線段上有無窮多點(diǎn)，線段外有無窮多點(diǎn)。cabcbabca 定義：無序兩點(diǎn)定義：無序兩點(diǎn)a a、b b的集合叫做線段，記的集合叫做線段，記作作abab或或baba。a a，b b之間的點(diǎn)叫做線段之間的點(diǎn)叫做

23、線段abab內(nèi)部?jī)?nèi)部的點(diǎn)或內(nèi)點(diǎn)。的點(diǎn)或內(nèi)點(diǎn)。 a a，b b間一切點(diǎn)的集合叫做一開線段，記作間一切點(diǎn)的集合叫做一開線段，記作（abab）點(diǎn)）點(diǎn)a a，b b分別叫做線段分別叫做線段abab和（和（abab）的）的端點(diǎn)。直線端點(diǎn)。直線abab上異于上異于a a，b b且不屬于（且不屬于（abab）的點(diǎn)稱為線段的點(diǎn)稱為線段abab或（或（abab）的外部的點(diǎn)。）的外部的點(diǎn)。 定義：不共線的三點(diǎn)定義：不共線的三點(diǎn)a a，b b，c c的集合叫做三點(diǎn)的集合叫做三點(diǎn)形；這三點(diǎn)形和（形；這三點(diǎn)形和（abab），（），（bcbc），（），（caca）的）的所有點(diǎn)的集合稱為一三角形，記作所有點(diǎn)的集合稱為一三角

24、形，記作abcabc。點(diǎn)。點(diǎn)a a，b b，c c各稱為這三角形的頂點(diǎn)，開線段各稱為這三角形的頂點(diǎn)，開線段（abab），（），（bcbc），（），（caca）各稱為這三角形的）各稱為這三角形的邊。邊。 巴士公理的另一種表述：與三角形共面且不巴士公理的另一種表述：與三角形共面且不過其頂點(diǎn)的一直線，若與三角形的一邊相交，過其頂點(diǎn)的一直線，若與三角形的一邊相交，則必與其另一邊相交。則必與其另一邊相交。 afcbegfeagcffeagcf*順序公理對(duì)中學(xué)幾何的作用v在中學(xué)幾何教材中不定義順序關(guān)系，不引入順序公理，但卻滲透著順序關(guān)系，以直觀默認(rèn)的方式處理，v如：線段存在內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、側(cè)、角的內(nèi)部、外部、

25、多邊形等均需直觀默認(rèn)。希爾伯特公理則解釋了中學(xué)幾何教材中有關(guān)默認(rèn)的順序問題的合理性，并加以證明（直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)之間有點(diǎn)等），從理論上保證。v中學(xué)平面幾何中指出：線段ab可以向任意一方延伸。什么叫“任意一方延伸”？為什么可以延伸？公理2則從理論上揭示了“延伸”的意義，保證了延伸的可能性。2.3合同公理 合同關(guān)系：假設(shè)一條線段對(duì)另一條線段（或?qū)ψ约海┛梢杂幸环N關(guān)系，用“合同”表示這種關(guān)系，即“一線段 合同于另一線段 ”，記作 = 或 ； 還可假設(shè)一個(gè)角 對(duì)另一個(gè)角 （或?qū)ψ约海┛梢杂幸环N“合同”關(guān)系，即一角合同于另一角 ，記作kh,kh,khkh,abbabaababba 合同公理：u1

26、1 設(shè)設(shè)a a、b b是直線是直線a a上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)， 是同一是同一或另一直線或另一直線 上的一點(diǎn)，則在直線上的一點(diǎn)，則在直線 上點(diǎn)上點(diǎn) 的指定一側(cè)，的指定一側(cè)，存在存在一點(diǎn)一點(diǎn) ，使得，使得線段線段 合同于線段合同于線段 . .記作記作 2 2 若兩線段與第三條線段都合同，則這若兩線段與第三條線段都合同，則這兩線段也合同。即兩線段也合同。即 則則 u 3 3 合同關(guān)系具有可加性。即若點(diǎn)合同關(guān)系具有可加性。即若點(diǎn)b b介于介于點(diǎn)點(diǎn)a a和和c c之間，之間， ， 則則 aaaabbabaabab,abbaabba baba c和介于abcbbc，baabcaac 4 已知平面 上一角 ，

27、平面 上一直線 的一側(cè)以及 上一點(diǎn) 為端點(diǎn)的一射線 ，則在 上恰有一射線 使 ，且 在 的指定的一側(cè).l5 對(duì)于兩個(gè)三角形 中，若 ， 則 kh,aaohkhakhkh,cbaabc和caac,baab,cabbacbcaacbcbaabc,v公理1保證線段可遷移，但在所設(shè)條件下未保證線段遷移的唯一性。v公理4保證角可以遷移，并且遷移是唯一的。v公理5是證明三角形合同的重要依據(jù)*合同公理對(duì)中學(xué)幾何的作用v由可以得出許多推論，如邊角邊定理，角邊角，邊邊邊、外角定理，定義線段、角的大小，三角形合同，并可證明每條線段恒有一個(gè)中點(diǎn)，每個(gè)角恒有一條角平分線，保證了異面直線的存在等等。公理的推論v定理：線

28、段合同關(guān)系滿足反身性、對(duì)稱定理：線段合同關(guān)系滿足反身性、對(duì)稱性、傳遞性性、傳遞性. .v補(bǔ)充公理補(bǔ)充公理1 1，證明線段遷移的唯一性，證明線段遷移的唯一性v定義三角形合同定義三角形合同v定理：三角形合同的邊角邊定理定理：三角形合同的邊角邊定理v中學(xué)幾何教材中不引入“合同關(guān)系”及“合同公理”，而是討論線段和線段，角和角、三角形和三角形、多邊形和多邊形的“全等”關(guān)系。我們可以認(rèn)為“合同的圖形”就是“全等的圖形”。合同公理規(guī)定了兩個(gè)圖形在怎樣的條件下叫做合同圖形。v在中學(xué)幾何教材中，闡述全等或相等時(shí)均用了運(yùn)動(dòng)的概念。如線段 即是把線段 放到 ，使 和 重合，若 和 也重合，則兩線段相等。v把一圖形疊

29、放在另一圖形上，如果對(duì)應(yīng)部分完全重合，此時(shí)兩圖形叫做全等形，這里疊放是什么？線段、角的形狀、大小在疊放運(yùn)動(dòng)中是否改變，只能憑直觀默認(rèn)，在邏輯上不嚴(yán)謹(jǐn)。而在希氏公理體系中給出了定義，并證明了三角形全等的定理，完全不涉及運(yùn)動(dòng)的概念。aabbbaababbav在中學(xué)幾何教材中承認(rèn)線段有中點(diǎn)，角有角平分線（默認(rèn)后直接定義）、在希氏公理體系下，可在理論上嚴(yán)格保證。v中學(xué)幾何教材中關(guān)于“直角”的定義及“凡直角都相等”定理的證明都涉及數(shù)量，如如“9090的角都是直角的角都是直角”.由于所有直角都是由于所有直角都是9090，因此相等，因此相等.在希氏下證明不涉及度量關(guān)在希氏下證明不涉及度量關(guān)系。系。2.4連續(xù)

30、公理 1 （阿基米德公理）設(shè)任意兩線段ab，cd，則在直線ab上存在有限個(gè)點(diǎn)a1an，使這些點(diǎn)排成順序 且有 若給出倍的定義 則 nnkjiabaaaaaaa121nkji1nnaaaaaacd1211baaaaaaacdnii11211ncdab 上述公理還可以直觀描述為：對(duì)于兩線段 和 ，則一定存在以自然數(shù) ， 使得l2（康托公理）：設(shè)在直線 上給了線段的無窮序列 其中每一條后面的線段及端點(diǎn)完全落在前一條線段內(nèi)部。設(shè)對(duì)于任意給定的線段 ，總可以找到一個(gè)自然數(shù) ，使得 那么在直線 上存在著一個(gè)點(diǎn) ，落在所有的線段 的內(nèi)部。abcdnncdabcdn1annbababa,2211cdncdba

31、nnaxnnbababa,2211*連續(xù)公理對(duì)中學(xué)幾何的作用v（1）公理1-2通常稱為測(cè)量公理，是任意線段可測(cè)得長(zhǎng)度的理論基礎(chǔ)，由此可證，兩圓相交一定有交點(diǎn)，直線與圓若通過圓內(nèi)部一點(diǎn)，則交于兩點(diǎn)，線段有唯一長(zhǎng)度，角有唯一的角度。v（2）連續(xù)公理是建立線段和角等圖形度量的基礎(chǔ)。中學(xué)幾何中對(duì)于線段和角為什么可以測(cè)量？什么叫線段的長(zhǎng)度、角度都未明確定義而直接承認(rèn)。v（3）連續(xù)公理是中學(xué)幾何作圖理論的基礎(chǔ)。中學(xué)幾何中，尺規(guī)作圖常常歸結(jié)為求交點(diǎn)，但直線與圓、圓與圓是否存在交點(diǎn)？是由連續(xù)公理保證。v（4）連續(xù)公理是建立坐標(biāo)系的理論基礎(chǔ)。2.5平行公理 對(duì)于任何直線 及其外一點(diǎn) ，通過 點(diǎn)至多有一直線與直線

32、 共面不交。u在一個(gè)幾何公理系統(tǒng)中是否次采用平行公理，是區(qū)別這種幾何學(xué)是否為歐氏幾何的重要標(biāo)志。 aaaa定義：共面不相交的兩直線 和 叫做平行線，記作ba /ab 由此可得到平行線的許多性質(zhì)（內(nèi)錯(cuò)角相等），并且得到和平行公理等價(jià)的若干命題（第五公設(shè)、三角形的三條高共點(diǎn)、過不共線的三點(diǎn)恒有一圓、任何三角形的內(nèi)角和等于 、勾股定理等等）d2v問題：為什么希氏公理系統(tǒng)要有問題：為什么希氏公理系統(tǒng)要有5 5組組2020條公理，加上或者減去一條怎樣？條公理，加上或者減去一條怎樣？v主要討論：v（1）公理系統(tǒng)的和諧性。v（2）公理系統(tǒng)的獨(dú)立性v（3）公理系統(tǒng)的完備性v對(duì)任何一個(gè)公理系統(tǒng)，一般要求必須和諧

33、，最好獨(dú)立，是否完備要視具體需要而定。4.1中學(xué)幾何教材的公理結(jié)構(gòu) 根據(jù)2001年7月頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿），北師大出版的數(shù)學(xué)教科書。此教材選用的公理為： 1.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。 2.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。 3.兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 6.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。 根據(jù)2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 人民教育出版社必修課本選用的公理：公理1.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公

34、理2.過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.公理4.平行于同一條直線的兩條直線互相平行.（空間平行線的傳遞性） 中學(xué)幾何中雖未明確提出哪些是基本概念，但卻用直觀的方法引進(jìn)“點(diǎn)、線、面、體”。通過觀察具體的事例來說明，不考慮它們的其它性質(zhì)（顏色、質(zhì)量、材料等），只注意它們的形狀（如方、圓）、大?。ㄩL(zhǎng)度、面積）、位置（在內(nèi)外、相交、不相交等）。并得到面與面相交形成線，線與線相交形成點(diǎn)。另外，對(duì)于線段、射線（將線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)）、直線、角（由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成）的定義采用直觀默認(rèn)。（事實(shí)上，（事實(shí)上，點(diǎn)

35、、線、面、體點(diǎn)、線、面、體、直線、直線、平面、無限延伸、部分等起著基本概念的作用，平面、無限延伸、部分等起著基本概念的作用，即中學(xué)幾何公理體系中不提基本概念，但卻因入即中學(xué)幾何公理體系中不提基本概念，但卻因入未加嚴(yán)格定義的概念，起著基本概念的作用）未加嚴(yán)格定義的概念，起著基本概念的作用）義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書的編寫體例（北師大版） 特點(diǎn)： 1 每章中配有豐富的圖形，在做一做、試一試、想一想、議一議中，學(xué)生自己在做數(shù)學(xué)的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）。 2 書中習(xí)題分為三類：隨堂練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題。隨堂練習(xí)以復(fù)習(xí)相應(yīng)小節(jié)的教學(xué)內(nèi)容為主，供課堂用；習(xí)題和復(fù)習(xí)題都分為：知識(shí)技能、數(shù)學(xué)理

36、解、問題解決、聯(lián)系拓廣四部分，滿足不同層次學(xué)生的需要。 3 每章安排回顧與思考，供學(xué)習(xí)完本章節(jié)后知識(shí)的整理和回憶。 4 每節(jié)有“讀一讀”欄目，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，主要是數(shù)學(xué)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)史、計(jì)算機(jī)及軟件的應(yīng)用（z+z）智能教育平臺(tái)。 5 每一冊(cè)都有課題學(xué)習(xí)（制作一個(gè)盡可能大的無蓋的長(zhǎng)方體盒子） 中學(xué)幾何教材內(nèi)容及其分布： 七年級(jí)（上）： 第一章：豐富的圖形世界 1.生活中的立體圖形。（認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、正方體、長(zhǎng)方體、棱柱、球） 2.展開與折疊（引入棱、側(cè)棱等定義） 3.截一個(gè)幾何體（截面） 4.從不同方向看（上、下、左、右、前、后等） 5.生活中的平面圖形（三角形、四邊形、五邊形、六邊形、圓、弧、

37、扇形等） 第四章：平面圖形及其位置關(guān)系 1.線段、射線、直線（經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線） 2.比較線段的長(zhǎng)短（兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離；線段中點(diǎn)） 3.角的度量與表示（角的定義） 4.角的比較（角平分線） 5.平行（平行的定義、經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。） 6.垂直（平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短；） 7.有趣的七巧板（活動(dòng)的目的：動(dòng)手制作一副七橋板，并用它拼出不同的圖案） 七年級(jí)（下） 第二章 平行線與

38、相交線 1.臺(tái)球桌面上的角（余角、補(bǔ)角、同角或等角的余角相等；同角或等角的補(bǔ)角相等；對(duì)頂角、對(duì)頂角相等；） 2.探索直線平行的條件（同位角、同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；） 3.平行線的特征（兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 4.用尺規(guī)作線段和角。 第五章 三角形 1.認(rèn)識(shí)三角形（三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的角平分線、中線、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，

39、三條中線交于一點(diǎn)；三角形的高、三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)；） 2.圖形的全等（全等圖形：兩個(gè)能夠重合的圖形；全等圖形的形狀和大小都相同；） 3.圖案設(shè)計(jì)（設(shè)計(jì)美麗的圖案并能敘述他們繪制的過程） 4.全等三角形（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；） 5.探索三角形全等的條件（邊邊邊、角邊角、角角邊、邊角邊、） 6.作三角形 7.利用三角形全等測(cè)距離（實(shí)際應(yīng)用） 8.探索直角三角形全等的條件（“斜邊、直角邊”） 第七章生活中的軸對(duì)稱 1.軸對(duì)稱現(xiàn)象（如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠相互重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形。） 2.簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形（角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的

40、直線是它的對(duì)稱軸；角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。線段是軸對(duì)稱圖形，它的一條對(duì)稱軸垂直于這條線段并且平分它，這樣的直線叫做這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的對(duì)稱軸；等腰三角形的兩個(gè)底角相等;如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等。） 3探索軸對(duì)稱的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等） 4 利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案 5 鏡子改變了什么 6 鑲邊與剪紙 八年級(jí)（上冊(cè)） 第一章 勾股定理 1 探

41、索勾股定理（如果直角三角形兩直角邊分別為 ，斜邊為 ，那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方） 2 能得到直角三角形嗎（如果三角形的三邊長(zhǎng) 滿足 那么這個(gè)三角形是直角三角形。）3 螞蟻怎樣走最近課題學(xué)習(xí)：拼圖與勾股定理ba,c222cbaba,c222cba 第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 1 生活中的平移（在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小。經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。） 2 簡(jiǎn)單的平移作圖 3 生活中的旋轉(zhuǎn)（在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這

42、個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。） 4 簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)作圖 5 它們是怎樣變過來的 6 簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì) 第四章 四邊形性質(zhì)探索 1 平行四邊形的性質(zhì)（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分；平行線之間的距離） 2 平行四邊形的判別（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平

43、行四邊形） 3 菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；菱形的四條邊相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形。） 4 矩形、正方形（有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形，矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。一組鄰邊相等的矩形叫做正方形，正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。） 5 梯形（一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形；等腰梯形、直角梯形的定義；等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等；判定：同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是

44、等腰梯形） 6 探索多邊形的內(nèi)角和與外角和（在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形；n邊形的內(nèi)角和等于 多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角；多邊形的外角和都等于 ）7 平面圖形的密鋪（平面圖形的鑲嵌）8 中心對(duì)稱圖形（在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形180)2(n180360 八年級(jí)（下冊(cè)） 第四章相似圖形 1 線段的比（如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段ab,cd的長(zhǎng)度分別是m,n，那么就說這兩條線段的比 ；如果 ，那么 ；如果 （ 都不等于0），那么 ；如果 ，那

45、么如果 ，那么nmcdab:dcbabcad bcad dcba,dcbadcbaddcbba)0(ndbnmdcbabandbmca 2 黃金分割（點(diǎn)c把線段ab分成兩條線段ac和bc，如果 ，那么稱線段ab被c黃金分割；） 3 形狀相同的圖形 4 相似多邊形（各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形） 5 相似三角形（三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形） 6 探索三角形相似的條件（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似） 7測(cè)量旗桿的高度acbcabac 8 相似多邊形的性質(zhì)（相似三角形對(duì)應(yīng)高

46、的比、角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比；相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。） 9 圖形的放大與縮?。ㄈ绻麅蓚€(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這時(shí)的相似比又稱為位似比;位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比） 課題學(xué)習(xí)：制作視力表 第六章 證明（一） 1 你能肯定嗎 2 定義與命題（對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義；“如果那么”都是對(duì)事情進(jìn)行判斷的句子，判斷一件事情的句子，叫做命題；命題由條件和結(jié)論組成；真命題和假命題；公理；證明；定理；本套教材的公理） 1.兩條

47、直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。 2 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。 3 兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 4 兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 5 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 6 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。 此外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理。 在等式或不等式中，一個(gè)量可以用它的等量來代替，例如：如果a=b，b=c，那么a=c，這一性質(zhì)也看作公理，稱為“等量代換” 3 為什么它們平行（公理：同位角相等，兩直線平行；證明定理：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 4 如果兩條直線平行（公理：兩直線平行，同位角

48、相等;證明定理：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 5 三角形內(nèi)角和定理（三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 6 關(guān)注三角形的外角（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大與任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）180 九年級(jí)（上冊(cè)） 第一章 證明（二） 1 你能證明它們嗎？（由 和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；得到推論 定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等；及其推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；及有一個(gè)角等于 的等腰三角形是等邊三角形；定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）asas

49、assss,aas6030 2 直角三角形（定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果三角形兩邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形?；ツ婷}、逆命題、互逆定理、逆定理。定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等）。 3 線段的垂直平分線（定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；到一條線段兩個(gè)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。用尺規(guī)作線段的垂直平分線；定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等） 4 角平分線（定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)

50、角的平分線上；尺規(guī)作角的角平分線；定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等） 第三章 證明（三） 1 平行四邊形（定理：平行四邊形的對(duì)邊相等；對(duì)角相等；同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；） 2 特殊的平行四邊形（定理：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等；推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；定理：菱形的四條邊

51、相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；） 第四章 視圖與投影 1.視圖（主視圖、左視圖、俯視圖） 2.太陽光與影子（太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影；） 3.燈光與影子（手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影） 九年級(jí)（下冊(cè)） 第三章 圓 1 車輪為什么做成圓形（圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；） 2 圓的對(duì)稱性（圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線；垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的?。黄椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?，并且平分弦所對(duì)

52、的弧；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為圓心；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等；） 3 圓周角和圓心角的關(guān)系（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角是直角； 的圓周角所對(duì)的弦是直徑；） 4 確定圓的條件（不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；） 5 直線和圓的位置關(guān)系（直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即直線和圓相切)時(shí)，這條直線叫做圓的切線；直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑；經(jīng)過直徑的一端，并且

53、垂直于這條直徑的直線是圓的切線；90 6 圓與圓的位置關(guān)系（外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含；） 7 弧長(zhǎng)及扇形的面積 8 圓錐的側(cè)面積 課題學(xué)習(xí)：設(shè)計(jì)遮陽篷特點(diǎn)：l1 每章均配有章頭圖和引言，作為全章內(nèi)容的導(dǎo)入，使學(xué)生初步了解學(xué)習(xí)這一章的必要性。l2 書中習(xí)題分為：練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題三類 習(xí)題：每小節(jié)后一半配有習(xí)題，供課內(nèi)、課外作業(yè)選用，少數(shù)標(biāo)有的題在難度上略有提高，僅供學(xué)有余力的學(xué)生選用。 復(fù)習(xí)參考題分為a、b兩組，a組題屬于基本要求范圍的，供復(fù)習(xí)全章使用，b組題帶有一定的靈活性，難度上略有提高，僅供學(xué)有余力的學(xué)生選用。l3 每章在內(nèi)容后面均安排有小結(jié)與復(fù)習(xí)，包括內(nèi)容提要、學(xué)習(xí)要求和需要注

54、意的問題、參考例題三部分，供復(fù)習(xí)全章時(shí)參考。l4每章附有一至兩篇不做教學(xué)要求的閱讀材料，供學(xué)生課外閱讀，借以擴(kuò)大知識(shí)面，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)（人教版）體例 第一冊(cè)（下） 第五章 平面向量 一 向量及其運(yùn)算 5.1 向量 5.2 向量的加法和減法 5.3實(shí)數(shù)與向量的積 5.4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 5.5線段的定比分點(diǎn) 5.6 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 5.7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 5.8 平移 二 解斜三角形 5.9 正弦定理、余弦定理、 5.10解斜三角形應(yīng)用舉例 第二冊(cè)（上） 第七章 直線與圓的方程 7.1 直線的傾斜角和斜率 7.2 直線的方程 7.3 兩條直線的位置關(guān)系 7.4 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 7.5 曲線和方程 7.6 圓的方程 第八章 圓錐曲線方程 一橢圓 8.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 8.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 二 雙曲線 8.3 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 8.4 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 三 拋物線 8.5 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 8.6 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 第二冊(cè)（下第二冊(cè)（下a a） 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 9.1 平面 (公理1：如