本章學習目標

1、本章學習目標1了解復變函數(shù)積分的概念;2了解復變函數(shù)積分的性質(zhì);3掌握積分與路經(jīng)無關(guān)的相關(guān)知識;4熟練掌握柯西古薩基本定理;5會用復合閉路定理解決一些問題;6會用柯西積分公式;7會求解析函數(shù)的高階導數(shù).復變函數(shù)的積分v3.1 復變函數(shù)積分的概念v3.1.1積分的定義v本章中,我們將給出復變函數(shù)積分的概念,然后討論解析函數(shù)積分的性質(zhì),其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質(zhì)是解析函數(shù)積分的基礎(chǔ),借助于這些性質(zhì),我們將得出解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這個重要的結(jié)論。 3.1.2積分存在的條件及其計算方法 v1) 當是連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時，積分是一定存在的。v2)可

2、以通過兩個二元實變函數(shù)的積分來計算。 udyvdxivdyudxdzzfccc tctfz dzfz tzt dt3.1.3 積分的性質(zhì) v從積分的定義我們可以推得積分有下列一些簡單性質(zhì)，它們是與實變函數(shù)中曲線積分的性質(zhì)相類似的.v我們把簡單閉曲線的兩個方向規(guī)定為正向和負向.所謂簡單閉曲線的正向是指當順此方向沿該曲線前進時，曲線的內(nèi)部始終位于曲線的左方，相反的方向規(guī)定為簡單閉曲線的負向.以后遇到積分路線為簡單閉曲線的情形，如無特別聲明，總是指曲線的正向. 3.1.3 積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)v1v2v3v4 dzzfkdzzfkcc ;dzzfdzzfcc ;dzzgdzzfdzzgzfccc m

3、ldszfdzzfcc例1計算 其中 為從原點到點 的直線段。v解 直線的方程可寫成v又因為v容易驗證，右邊兩個線積分都與路線 無關(guān)，所以 的值無論 是怎樣的曲線都等于,dzzcci 4310 ,4,3ttytx22210210243210143214343ititdtitdtidzzcxdyydxiydyxdxidydxiyxdzzcccccdzzcc24321i例2計算 其中 為以 中心， 為半徑的正向圓周, 為整數(shù).解: 的方程可寫成所以因此c2020201110derideriderirezzdzinninncnininc,10cnzzdz0zrn,20 ,0irezzcnnnizzd

4、z, 0, 0, 0,210例3計算 的值，其中 為沿從（0，0）到（1，1）的線段：v解 :dzzcc; 10 ,ttytx; 1211010tdtdtiittdzzc例4計算 的值，其中 為沿從（0，0）到（1，1）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結(jié)成的折線。 v解 :dzzcc12ccczdzzdzzdziiidtitddtt12121110103.2 柯西古薩（cauchygoursat）基本定理v3.2.1 積分與路經(jīng)無關(guān)問題v積分的值與路經(jīng)無關(guān)，或沿封閉的曲線的積分值為零的條件，可能與被積分函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān).v柯西古薩（cauchygoursat）基本定理

5、 如果函數(shù)在單連域內(nèi)處處解析，那末函數(shù)沿內(nèi)的任何一條簡單閉曲線的積分值為零。即v 0dzzfc3.2.3 幾個等價定理v定理一 如果函數(shù) 在單連域內(nèi)處處解析，那末積分 與連結(jié)從起點到終點的路線 無關(guān).v定理二 如果函數(shù) 在單連域 內(nèi)處處解析，那末函數(shù) 必為內(nèi)的解析函數(shù),并且 zfzf zf dzzfcc ivuzfb zf原函數(shù)的概念v下面，我們再來討論解析函數(shù)積分的計算。首先引入原函數(shù)的概念：v結(jié)論： 的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。v利用原函數(shù)的這個關(guān)系，我們可以推得與牛頓萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分的計算公式。 zfv定理三 如果函數(shù) 在單連域內(nèi)處處解析， 為 的一個原函數(shù)，v那末這里

6、為區(qū)域 內(nèi)的兩點。 zg zf zf 00zgzgdzzfzzzz ,0b例 5 計算 v解： zdzii2sinzdzii2siniiiizzdzzii2sin212sin212122cos1例 6 計算 v解： 1010cos01coscoszdzzzzdzzdzz10sinzdzz10sin1cos1sin01sincoszzz例7 計算 v解： dzedzeiiziiz323221dzeiiz32. 021321262iizeeiie例8 計算 v解： izzdzeiez001dzezzi01zizideizdzez0011cos1sin1sin1cos011iiiieeezizz3.

7、3 基本定理的推廣復合閉路定理v我們可以把柯西古薩基本定理推廣到多連域的情況 .v在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，這一重要事實，稱為閉路變形原理. 例9計算 的值， 為包含圓周 在內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線。v解 : zzdz21z00220111112211iidzzdzzdzzdzzdzcccc2dzzz12cdzzz22czzdz3.4 柯西積分公式v定理(柯西積分公式) 如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)處處解析， 為內(nèi) 的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于 , 為 內(nèi)的任一點,那末v (3.4.1)v公式(3.4.1)稱為柯西積分公式.通過這個

8、公式就可以把一個函數(shù)在 內(nèi)部任何一點的值,用它在邊界上的值來表示. zfdddccc0z dzzzzfizfc0021例10計算 (沿圓周正向)v解 由公式(3.4.1)得dzzziz4sin2100sinzzdzzziz4sin21例11計算 (沿圓周正向)v解 由公式(3.4.1)得dzzzz43211dzzzz43211dzzdzzzz4431211.62 .21 .2iiiv柯西積分公式不但提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式,是研究解析函數(shù)的有力工具v(見3.5解析函數(shù)的高階導數(shù)).v一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值 .3.5 解析函數(shù)的高階導數(shù)v一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù),而且有各高階導數(shù).這一點與實變函數(shù)完全不同,因為一個實變函數(shù)的可導性不保證導數(shù)的連續(xù)性,因而不能保證高階導數(shù)的存在,關(guān)于解析函數(shù)的高階導數(shù)我們有下面的定理v定理 解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù),它的 階導數(shù)為:其中 為 在函數(shù)的解析區(qū)域 內(nèi)圍繞 的