第四章 方差分析

1、 t t 檢驗(yàn)可以判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的檢驗(yàn)可以判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差異顯著性，差異顯著性， 而方差分析既可以判斷兩組又可以判斷而方差分析既可以判斷兩組又可以判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異顯著性。多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異顯著性。第四章 方差分析方差分析方差分析(analysis of variance，anova) 又叫變量分析，是英國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家又叫變量分析，是英國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家r . a . r . a . fisherfisher于于2020世紀(jì)提出的。它是用以檢驗(yàn)世紀(jì)提出的。它是用以檢驗(yàn)差異的假設(shè)檢驗(yàn)方法。它是一類特定情況下差異的假設(shè)檢驗(yàn)方法。它是一類特定情況下的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，或者說是平

2、均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，或者說是平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的一種引伸。的一種引伸。觀觀測測值值不不同同的的原原因因處理效應(yīng)處理效應(yīng)(treatment effect)：處理不同引起處理不同引起試驗(yàn)誤差：試驗(yàn)過程中偶然性試驗(yàn)誤差：試驗(yàn)過程中偶然性因素的干擾和測量誤差所致。因素的干擾和測量誤差所致。方差：又叫均方，是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，是表示變異的量。方差：又叫均方，是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，是表示變異的量。在一個(gè)多處理試驗(yàn)中，可以得出一系列不同的觀測值。在一個(gè)多處理試驗(yàn)中，可以得出一系列不同的觀測值。方差分析的基本思想方差分析的基本思想總變異處處理理效效應(yīng)應(yīng)試試驗(yàn)驗(yàn)誤誤差差方差分析的目的方差分析的目的確定各

3、種原因在總變異中所占的重要程度。確定各種原因在總變異中所占的重要程度。處理效應(yīng)處理效應(yīng)試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差相差不大，說明試驗(yàn)處理對指標(biāo)影響不大。相差不大，說明試驗(yàn)處理對指標(biāo)影響不大。相差較大，即處理效應(yīng)比試驗(yàn)誤差大得多，相差較大，即處理效應(yīng)比試驗(yàn)誤差大得多，說明試驗(yàn)處理影響是很大的，不可忽視。說明試驗(yàn)處理影響是很大的，不可忽視。方差分析的用途方差分析的用途1. 1. 用于多個(gè)樣本平均數(shù)的比較用于多個(gè)樣本平均數(shù)的比較2. 2. 分析多個(gè)因素間的交互作用分析多個(gè)因素間的交互作用3. 3. 回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)4. 4. 方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)方差的同質(zhì)性檢驗(yàn)1. 1. 用于多個(gè)樣本平均數(shù)的比

4、較用于多個(gè)樣本平均數(shù)的比較2. 2. 分析多個(gè)因素間的交互作用分析多個(gè)因素間的交互作用方差是離均差平方和除以自由度的商方差是離均差平方和除以自由度的商2 (x-)2 n(x- x )2 s2 2 =n-1要把一個(gè)試驗(yàn)的總變異依據(jù)要把一個(gè)試驗(yàn)的總變異依據(jù)分為相應(yīng)分為相應(yīng)的變異，首先要將總平方和和總的變異，首先要將總平方和和總dfdf分解為各個(gè)變異分解為各個(gè)變異來源的的相應(yīng)部分。來源的的相應(yīng)部分。方差分析的方差分析的引起觀測值出現(xiàn)變異分解為處引起觀測值出現(xiàn)變異分解為處理效應(yīng)的變異和試驗(yàn)誤差的變異。理效應(yīng)的變異和試驗(yàn)誤差的變異。平均平均t=xij tktit2t1總和總和xk1xk2xkjxknxi

5、1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21處理處理重復(fù)重復(fù)x x1 x2 xi xk 處理間平均數(shù)的處理間平均數(shù)的差異是由處理效差異是由處理效應(yīng)引起的：應(yīng)引起的：處理內(nèi)的變異是處理內(nèi)的變異是由隨機(jī)誤差引起：由隨機(jī)誤差引起：(x- xi )( xi x )根據(jù)線性可加模型，則有：根據(jù)線性可加模型，則有：( xi x )(x - x )(x- xi )+(x - x )2 2 (x- xi )+( xi x )( xi x )2 (x - x )2 1 n 1 n (x- xi )2 +(x- xi )( xi x )21 n +1 n 每一個(gè)處理每一

6、個(gè)處理n n 個(gè)觀測值離均差平方和累加：個(gè)觀測值離均差平方和累加：(x- xi )2 +2(x- xi )( xi x )+(xi x )2 0( xi x )0(x- xi )21 n 0)()(21niixxxx平均平均t=xij tktit2t1總和總和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21處理處理重復(fù)重復(fù)x x1 x2 xi xk ( xi x )(x- xi )由于由于 0，則：，則： 21 n (x - x )2 ( xi x )2 (x- xi )2 n n 11+1 n ( xi x )2 (x- x

7、i )2(x - x )2 1 n 1 k 1 n 1 k +n1 k 總平方和總平方和 sst 處理內(nèi)或組處理內(nèi)或組內(nèi)平方和內(nèi)平方和 sse處理間或組處理間或組間平方和間平方和 sst把把k k 個(gè)處理的離均差平方在累加，得個(gè)處理的離均差平方在累加，得總平方和處理間平方和總平方和處理間平方和 + + 處理內(nèi)平方和處理內(nèi)平方和sst sst + ssesst (x - x )21 n 1 k = x2 - t2 kn(x)2 kn x2 -sst x2 -c令矯正數(shù)令矯正數(shù)c ，則：則：t2 knnxxxx222)()(sst n1 k ( xi x )2 k n( - 2 + )1x xi

8、i2 2 x xi ixx2 =n n - +nknk1 k x xi i2 2 2n 1 k xx xi ix2 = -2nk +n1 k x xi i2 2 x2 nkxnkx2 2 = -n1 k x xi i2 2 nkxnkx2 2 = -n n1 k t ti i2 2 n2 nkt t2 2(nk)2 = t ti i2 2 - cn11 k x xi i=kxx xi i=t ti in n=t tnknkxnkttni221總平方和：總平方和：sst x2 -c 處理間平方和：處理間平方和： sst = t ti i2 2 - cn1處理內(nèi)平方和：處理內(nèi)平方和：sse = s

9、st - sst總自由度也可分解為處理間自由度和處理內(nèi)自由度：總自由度也可分解為處理間自由度和處理內(nèi)自由度：dft = dft + dfe總總 df處理間處理間df處理內(nèi)處理內(nèi)df自由度自由度dft = nk-1nk-1dft = k-1k-1dfe = dft - - dft= nk-1-(k-1)=nk-k= k(n-1)平均平均t=xij tktit2t1總和總和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21處理處理重復(fù)重復(fù)x x1 x2 xi xk 根據(jù)各變異部分的平方和和自由度，可求得根據(jù)各變異部分的平方和和自由度

10、，可求得處理間方差處理間方差（ st2 ）和和處理內(nèi)方差處理內(nèi)方差（ se2 ）：）：st2 =sstdftssedfese2 =平方和平方和自由度自由度方差方差處理間處理間處理內(nèi)處理內(nèi)總變異總變異nktc2cxsst2ttessssssctnssit211 nkdft1 kdft) 1( nkdfeeeedfsss2tttdfsss2統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn) f f 檢驗(yàn)檢驗(yàn)確定各種原因（確定各種原因（、）在總變異）在總變異中所占的重要程度。中所占的重要程度。的方差（的方差（ ）可以作為）可以作為方差的估計(jì)量方差的估計(jì)量的方差（的方差（ ）可以作為）可以作為差異的估計(jì)量差異的

11、估計(jì)量處理效應(yīng)處理效應(yīng)試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差方差分析的目的方差分析的目的:22etss二者相比，如果相差不大，說明不同處理的變異在總二者相比，如果相差不大，說明不同處理的變異在總變異中所占的位置不重要，也就是不同試驗(yàn)處理對結(jié)果影變異中所占的位置不重要，也就是不同試驗(yàn)處理對結(jié)果影響不大。響不大。如果相差較大，也就是處理效應(yīng)比試驗(yàn)誤差大得多，如果相差較大，也就是處理效應(yīng)比試驗(yàn)誤差大得多，說明試驗(yàn)處理的變異在總變異中占有重要的位置，不同處說明試驗(yàn)處理的變異在總變異中占有重要的位置，不同處理對結(jié)果的影響很大，不可忽視。理對結(jié)果的影響很大，不可忽視。處理效應(yīng)處理效應(yīng)試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差22etssf檢驗(yàn)檢驗(yàn) 在進(jìn)

12、行不同處理差異顯著性的在進(jìn)行不同處理差異顯著性的f f 檢驗(yàn)時(shí)，一般是把檢驗(yàn)時(shí)，一般是把作為分子，稱為大方差，作為分子，稱為大方差，作為分母，稱作為分母，稱為小方差。為小方差。 無效假設(shè)是把各個(gè)處理的變量無效假設(shè)是把各個(gè)處理的變量來自同一總體，即來自同一總體，即處理間方差處理間方差，只有誤差的影響，因而處理，只有誤差的影響，因而處理間的樣本方差間的樣本方差t t2 2 與誤差的樣本方差與誤差的樣本方差e e2 2 相等：相等：ho ：t2 e2ha ：t2 e222etssf f f0.05 p0.05 處理間差異不顯著處理間差異不顯著f f0.05 p0.05 處理間差異顯著處理間差異顯著f

13、 f0.01 p0.01 處理間差異極顯著處理間差異極顯著否定否定h ho o否定否定h ho o接受接受h ho o 我們確定顯著標(biāo)準(zhǔn)水平我們確定顯著標(biāo)準(zhǔn)水平后，從后，從f f 值表中查出在值表中查出在dfdft t和和dfdfe e下的下的f f值值綜上所述，可歸納成方差分析表綜上所述，可歸納成方差分析表(analysis of (analysis of variance table)variance table)s se e2 2k(n-1)k(n-1)sssse e誤差或處理內(nèi)誤差或處理內(nèi)nk-1nk-1sssst t總和總和s st t2 2k-1k-1sssst t處理間處理間f

14、f均方均方自由度自由度平方和平方和變異來源變異來源f fs st t2 2s se e2 2f檢驗(yàn)檢驗(yàn)多重比較 要明確不同處理平均數(shù)兩兩間差異的顯著性，要明確不同處理平均數(shù)兩兩間差異的顯著性，每個(gè)處理的平均數(shù)都要與其他的處理進(jìn)行比較，每個(gè)處理的平均數(shù)都要與其他的處理進(jìn)行比較，這種差異顯著性的檢驗(yàn)就叫多重比較。這種差異顯著性的檢驗(yàn)就叫多重比較。統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。概念概念多重比較多重比較常用方法常用方法least significant difference lsd法法least significant ranges l

15、sr法法lsdlsd法的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)平均數(shù)相比較的法的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)平均數(shù)相比較的t t檢驗(yàn)法。檢驗(yàn)法。lsrlsr法克服了法克服了lsdlsd法的局限性，采用不同平均數(shù)法的局限性，采用不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，它可用于平均間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，它可用于平均數(shù)間的所有相互比較。數(shù)間的所有相互比較。(一一)最小顯著差數(shù)法（最小顯著差數(shù)法（lsd法）法）1.檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)的方法(1)(1)先計(jì)算出達(dá)到差異顯著的最小差先計(jì)算出達(dá)到差異顯著的最小差 數(shù)，記為數(shù)，記為lsdlsd (2)(2)用兩個(gè)處理平均數(shù)的差值絕對值用兩個(gè)處理平均數(shù)的差值絕對值 與與lsdlsd比較：比較：x x

16、1 1x x2 2-(一一)最小顯著差數(shù)法（最小顯著差數(shù)法（lsd法）法）1.檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)的方法(1)(1)先計(jì)算出達(dá)到差異顯著的最小差數(shù)，記為先計(jì)算出達(dá)到差異顯著的最小差數(shù)，記為lsdlsd 由由t= 得得lsd0.05 =t0.05 lsd0.01 =t0.01 x x1 1x x2 2-s= 1n2se2( + )當(dāng)當(dāng)n1 = n2時(shí)：時(shí)：x x1 1x x2 2-s=2se2 n平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算公式：平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算公式：處理內(nèi)方差處理內(nèi)方差t x x1 1x x2 2-sx x1 1x x2 2-x x1 1x x2 2-sx x1 1x x2 2-x x1 1x x2

17、 2-sx x1 1x x2 2-s 1n11.檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)的方法(2)(2)再用兩個(gè)處理平均數(shù)的差值絕對值再用兩個(gè)處理平均數(shù)的差值絕對值 與與lsdlsd比較：比較：x x1 1x x2 2-x x1 1x x2 2-lsd ，即即 和和 在給定的在給定的水平上差異不顯著水平上差異不顯著 x x1 1x x2 2拒絕拒絕h ho o接受接受h ho o(一一)最小顯著差數(shù)法（最小顯著差數(shù)法（lsd法）法）x x1 1x x2 2即即 和和 在給定的在給定的水平上差異顯著水平上差異顯著x x1 1x x2 2-lsd ，變異來源變異來源ssdfs2ff0.05f0.01品種間品種間品種內(nèi)品種

18、內(nèi)103.94109.3631234.6479.1133.802 *3.495.95總變異總變異213.3015不同品種豬不同品種豬4 4個(gè)月增重量的方差分析表個(gè)月增重量的方差分析表例例=2se2 =29.113 42.1346查查t值表，當(dāng)誤差自由度值表，當(dāng)誤差自由度dfdfe e =12時(shí)，時(shí)，=2.179 2.1346=4.6513(kg)=3.056 2.1346=6.5233(kg)t0.05 2.179， t0.01 3.056nx x1 1x x2 2-slsd0.05 =t0.05 x x1 1x x2 2-slsd0.01 =t0.01 x x1 1x x2 2-s2.結(jié)果表

19、示方法結(jié)果表示方法(一一)最小顯著差數(shù)法（最小顯著差數(shù)法（lsd法）法）梯形法標(biāo)記字母法標(biāo)記字母法標(biāo)記字母法 首先將全部平均數(shù)首先將全部平均數(shù)從大到小從大到小依次排列。然后在依次排列。然后在最大最大的平均的平均數(shù)上標(biāo)字母數(shù)上標(biāo)字母a a，將該平均數(shù)與，將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)以下各平均數(shù)相比，凡相比，凡相差不顯相差不顯著著的（的（ lsdlsd）都標(biāo)上字母）都標(biāo)上字母a a，直至某個(gè)與之，直至某個(gè)與之相差顯著相差顯著的則標(biāo)的則標(biāo)字母字母b b。再以。再以該標(biāo)有該標(biāo)有b b的平均數(shù)的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與各個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，與各個(gè)比它大比它大的平均數(shù)的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的在字母比較，凡差數(shù)差異不顯著

20、的在字母a a的右邊加標(biāo)字母的右邊加標(biāo)字母b b。然后再。然后再以以標(biāo)標(biāo)b b的最大平均數(shù)的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以下未曾標(biāo)有字母的平均數(shù)比較，為標(biāo)準(zhǔn)與以下未曾標(biāo)有字母的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母凡差數(shù)差異不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母b b，直至差異顯著的平均數(shù)，直至差異顯著的平均數(shù)標(biāo)字母標(biāo)字母c c，再與上面的平均數(shù)比較。如此重復(fù)進(jìn)行，直至最小，再與上面的平均數(shù)比較。如此重復(fù)進(jìn)行，直至最小的平均數(shù)有了標(biāo)記字母，并與上面的平均數(shù)比較后為止。的平均數(shù)有了標(biāo)記字母，并與上面的平均數(shù)比較后為止。(一一)最小顯著差數(shù)法（最小顯著差數(shù)法（lsd法）法）標(biāo)記字母法標(biāo)記字母法品種品種平均數(shù)平均數(shù)差異顯著

21、性差異顯著性0.050.050.010.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.825.824.124.1a aa a例例不同品種間不同品種間4 4個(gè)月增重量差異顯著表個(gè)月增重量差異顯著表abbbaabbbx xi i結(jié)果表明：結(jié)果表明：大白和沈黑增重大白和沈黑增重量差異達(dá)到了極量差異達(dá)到了極顯著標(biāo)準(zhǔn)，大白顯著標(biāo)準(zhǔn)，大白與沈白之間的差與沈白之間的差異達(dá)到了顯著標(biāo)異達(dá)到了顯著標(biāo)準(zhǔn)，其他品種間準(zhǔn)，其他品種間差異不顯著。差異不顯著。lsd0.05 =4.6513lsd0.01 =6.5233標(biāo)記字母法標(biāo)記字母法在各平均數(shù)間，凡有一個(gè)相同標(biāo)記字母的即在各平均數(shù)間，凡有

22、一個(gè)相同標(biāo)記字母的即為差異不顯著，凡具不同標(biāo)記字母的即為差異顯為差異不顯著，凡具不同標(biāo)記字母的即為差異顯著。著。差異極顯著標(biāo)記方法相同，但用大寫字母標(biāo)記。差異極顯著標(biāo)記方法相同，但用大寫字母標(biāo)記。(一一)最小顯著差數(shù)法（最小顯著差數(shù)法（lsd法）法）梯形比較法梯形比較法又叫三角形法，是將各處理的平均數(shù)差數(shù)按梯形列于又叫三角形法，是將各處理的平均數(shù)差數(shù)按梯形列于表中，并將這些差數(shù)和表中，并將這些差數(shù)和lsdlsd值比較：值比較：差數(shù)差數(shù) lsdlsd0.050.05差異顯著差異顯著* *差數(shù)差數(shù) lsdlsd0.010.01差異極顯著差異極顯著* * *差數(shù)差數(shù) lsdlsd0.050.05差異

23、不顯著差異不顯著(一一)最小顯著差數(shù)法（最小顯著差數(shù)法（lsd法）法）例例不同品種間不同品種間4 4個(gè)月增重量差異顯著表個(gè)月增重量差異顯著表品種品種平均數(shù)平均數(shù)差異顯著性差異顯著性大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.825.824.124.16.8 6.8 * * * *3.83.81.71.75.1 5.1 * *2.12.13.03.0 x xi ix xi i-24.1-24.1x xi i-25.8-25.8x xi i-27.9-27.9lsd0.05 =4.6513lsd0.01 =6.5233結(jié)果表明：大白和沈黑增重量差異達(dá)到了極顯著標(biāo)準(zhǔn)，大結(jié)果

24、表明：大白和沈黑增重量差異達(dá)到了極顯著標(biāo)準(zhǔn)，大白與沈白之間的差異達(dá)到了顯著標(biāo)準(zhǔn)，其他品種間差異不顯著白與沈白之間的差異達(dá)到了顯著標(biāo)準(zhǔn)，其他品種間差異不顯著lsdlsd法應(yīng)用的說明法應(yīng)用的說明(一一)最小顯著差數(shù)法（最小顯著差數(shù)法（lsd法）法）1. 1. 進(jìn)行進(jìn)行l(wèi)sdlsd檢驗(yàn)時(shí)，這一對平均數(shù)的比較是檢驗(yàn)時(shí)，這一對平均數(shù)的比較是檢驗(yàn)之前檢驗(yàn)之前已經(jīng)指定已經(jīng)指定的，且經(jīng)的，且經(jīng)f f檢驗(yàn)證實(shí)平均數(shù)間的差異已檢驗(yàn)證實(shí)平均數(shù)間的差異已達(dá)到達(dá)到顯著顯著之后，才可以進(jìn)行之后，才可以進(jìn)行l(wèi)sdlsd檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。3. 3. lsdlsd 法適用于法適用于各處理組與對照組各處理組與對照組的比較，不適用的比較

25、，不適用于處理組間的比較。于處理組間的比較。2. 2. lsdlsd 法實(shí)質(zhì)上是法實(shí)質(zhì)上是t t 檢驗(yàn)檢驗(yàn)，但，但lsdlsd 法是利用法是利用f f 檢驗(yàn)檢驗(yàn)中的誤差自由度中的誤差自由度dfdfe e 查查t t 臨界值，利用誤差方差臨界值，利用誤差方差s se e2 2 計(jì)計(jì)算平均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤，從一定程度上緩解了算平均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤，從一定程度上緩解了t t檢驗(yàn)過檢驗(yàn)過程中的三個(gè)弊病，但是程中的三個(gè)弊病，但是lsdlsd法仍然存在提高犯法仍然存在提高犯錯(cuò)誤錯(cuò)誤的概率，所以進(jìn)行的概率，所以進(jìn)行l(wèi)sdlsd檢驗(yàn)必須限制其應(yīng)用范圍。檢驗(yàn)必須限制其應(yīng)用范圍。(二二)最小顯著極差法（最小顯著極差法（l

26、sr法）法）是指不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行是指不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，可用于平均數(shù)間的所有相互比較。比較，可用于平均數(shù)間的所有相互比較。新復(fù)極差法新復(fù)極差法（new multiple rang method） ssr法法q q 檢驗(yàn)檢驗(yàn)（q-test）新復(fù)極差法（新復(fù)極差法（ssr）ssr法又稱duncan法。無效假設(shè)h0為：a a b b = 0 = 0(1)(1)按相比較的樣本容量計(jì)算按相比較的樣本容量計(jì)算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤: :當(dāng)當(dāng)n1 n2n時(shí)時(shí)(2)(2)根據(jù)誤差方差根據(jù)誤差方差s se e2 2所具有自由度所具有自由度dfdfe e和比較所含平均數(shù)

27、個(gè)數(shù)和比較所含平均數(shù)個(gè)數(shù)m m，查查ssrssr值值（附表（附表8 8），然后算出最小顯著極差值（），然后算出最小顯著極差值（lsrlsr值值）。）。(3)(3)將各平均數(shù)按大小順序排列，用各個(gè)將各平均數(shù)按大小順序排列，用各個(gè)m m值的值的lsrlsr值，值，檢驗(yàn)檢驗(yàn)各平均數(shù)間極差的顯著性。各平均數(shù)間極差的顯著性。nsexs2 xsssrlsr 例例例：例： n=4，se2 =9.113， dfdfe e12查附表查附表8，當(dāng)，當(dāng)dfdfe e 12，m2時(shí)，時(shí)，lsr0.05 1.50943.084.65lsr0.01 1.5094 4.326.52當(dāng)當(dāng)m m3 3，m m4 4時(shí)，按同理計(jì)

28、算，將結(jié)果列于下表：時(shí)，按同理計(jì)算，將結(jié)果列于下表：ssr0.05 3.08，ssr0.014.32)(5094. 14113. 92kgnssex 不同品種不同品種4 4個(gè)月增重量試驗(yàn)個(gè)月增重量試驗(yàn)lsrlsr值（新復(fù)極差法）值（新復(fù)極差法）m234ssr0.05ssr0.01lsr0.05lsr0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97品種品種平均數(shù)平均數(shù)大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1大白與沈黑：大白與沈黑：m m4 4，極差，極差6.86.85.005.00大白與沈白：大白與沈白：m m3 3

29、，極差，極差5.15.14.884.88大白與沈花：大白與沈花：m m2 2，極差，極差3.03.04.654.65m = m = 相隔數(shù)相隔數(shù) + 2+ 2品種品種平均數(shù)平均數(shù)差異顯著性差異顯著性0.050.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1aabbbaaaa結(jié)論：豬的結(jié)論：豬的4 4個(gè)品種中只有大白與沈黑，大白與沈白個(gè)品種中只有大白與沈黑，大白與沈白4 4個(gè)月增重量差異達(dá)到顯著，其他品種間差異不顯著。個(gè)月增重量差異達(dá)到顯著，其他品種間差異不顯著。豬品種間豬品種間4 4個(gè)月增重量差異顯著性比較表（新復(fù)極差法）個(gè)月增重量差異顯著性比較表（新復(fù)極差法）也稱也稱n

30、ewman-keulsnewman-keuls檢驗(yàn)，方法與新復(fù)極差法相檢驗(yàn)，方法與新復(fù)極差法相似，其區(qū)別僅在于計(jì)算最小顯著極差似，其區(qū)別僅在于計(jì)算最小顯著極差lsrlsr時(shí)不是查時(shí)不是查ssrssr，而是查，而是查q q值（附表值（附表9 9）還對上例作還對上例作q q檢驗(yàn)檢驗(yàn)：1.5094,查查q值表，值表，dfe12,m=2時(shí)時(shí)q0.05 3. 08， q0.014.32。同理可查。同理可查m3，m=4時(shí)的時(shí)的q值，算出最小顯著極差值，算出最小顯著極差lsr。q-檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法xsqlsr xsq-檢驗(yàn)檢驗(yàn)m234q0.05q0.01lsr0.05lsr0.013.084.324.656.5

31、23.775.045.697.614.205.506.348.30不同品種不同品種4個(gè)月增重量試驗(yàn)個(gè)月增重量試驗(yàn)lsr值（值（q檢驗(yàn)）檢驗(yàn)）品種品種平均數(shù)平均數(shù)大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.825.824.124.1大白與沈黑：大白與沈黑：m m4 4，極差，極差6.86.86.346.34大白與沈白：大白與沈白：m m3 3，極差，極差5.15.15.695.69大白與沈花：大白與沈花：m m2 2，極差，極差3.03.04.654.65( (二二) )最小顯著極差法（最小顯著極差法（lsr法）法）不同品種間不同品種間4個(gè)月增重量差異顯著性比較表（新復(fù)

32、極差法）個(gè)月增重量差異顯著性比較表（新復(fù)極差法）品種品種平均數(shù)平均數(shù)差異顯著性差異顯著性0.050.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1aababbaaaa結(jié)論：豬的結(jié)論：豬的4 4個(gè)品種中只有大白與沈黑個(gè)品種中只有大白與沈黑4 4個(gè)月增重量個(gè)月增重量差異達(dá)到顯著，其他品種間差異不顯著。差異達(dá)到顯著，其他品種間差異不顯著。lsd0.05 =4.6513lsd0.01 =6.5233m234q0.05q0.01lsr0.05lsr0.013.084.324.656.523.775.045.697.614.205.506.348.30m234ssr0.05ssr0.

33、01lsr0.05lsr0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97當(dāng)樣本數(shù)當(dāng)樣本數(shù)k=2k=2時(shí)，時(shí)，lsdlsd法、法、lsrlsr法和法和q q檢驗(yàn)法的顯著性尺度是相同的。檢驗(yàn)法的顯著性尺度是相同的。當(dāng)當(dāng)m3m3時(shí)，三種檢驗(yàn)的顯著尺度便不相同。時(shí)，三種檢驗(yàn)的顯著尺度便不相同。因此，在實(shí)際計(jì)算中：因此，在實(shí)際計(jì)算中：對于精度要求高的試驗(yàn)對于精度要求高的試驗(yàn)q檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法一般試驗(yàn)一般試驗(yàn)ssr檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法試驗(yàn)中各個(gè)處理均數(shù)皆與對照相比的試驗(yàn)試驗(yàn)中各個(gè)處理均數(shù)皆與對照相比的試驗(yàn)lsd檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法方差分析的基本步驟方差分析的基本步驟（1

34、 1）將樣本數(shù)據(jù)的）將樣本數(shù)據(jù)的總平方和總平方和與與總自由度總自由度分解為各變分解為各變異因素的平方和與自由度；異因素的平方和與自由度；（2 2）列方差分析表進(jìn)行）列方差分析表進(jìn)行f f檢驗(yàn)檢驗(yàn)，以弄清各變異因素，以弄清各變異因素在總變異中的重要程度；在總變異中的重要程度；（3 3）對各處理平均數(shù)進(jìn)行）對各處理平均數(shù)進(jìn)行多重比較多重比較。第二節(jié)第二節(jié)單因素方差分析單因素方差分析單因素方差分析單因素方差分析在試驗(yàn)中所考慮的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因在試驗(yàn)中所考慮的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素實(shí)驗(yàn)。素實(shí)驗(yàn)。 單因素方差分析是最簡單的一種，它適用于只單因素方差分析是最簡單的一種，它適用于只研究一個(gè)試驗(yàn)因

35、素的資料，目的在于正確判斷該試研究一個(gè)試驗(yàn)因素的資料，目的在于正確判斷該試驗(yàn)因素各處理的相對效果（各水平的優(yōu)劣）驗(yàn)因素各處理的相對效果（各水平的優(yōu)劣）. .單因素方差分析單因素方差分析組組內(nèi)內(nèi)觀觀測測數(shù)數(shù)目目的的不不同同組內(nèi)觀測次數(shù)相等方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析 是指在是指在k k組處理中，每一處理皆含有組處理中，每一處理皆含有n n個(gè)觀測值，其方個(gè)觀測值，其方差分析方法前面已做介紹，這里以方差分析表的形式給出差分析方法前面已做介紹，這里以方差分析表的形式給出有關(guān)計(jì)算公式：有關(guān)計(jì)算公式：s se e2 2k(n-1)k(n-1)ss

36、sse e誤差或處理內(nèi)誤差或處理內(nèi)nk-1nk-1sssst t總和總和s st t2 2k-1k-1sssst t處理間處理間f f均方均方自由度自由度平方和平方和變異來源變異來源f fs st t2 2s se e2 2測定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州測定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5 5個(gè)地區(qū)黃鼬冬個(gè)地區(qū)黃鼬冬季針毛的長度，每個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取季針毛的長度，每個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取4 4個(gè)樣本，測定的結(jié)果如個(gè)樣本，測定的結(jié)果如表，試比較各地區(qū)黃鼬針毛長度差異顯著性。表，試比較各地區(qū)黃鼬針毛長度差異顯著性。地區(qū)地區(qū)東北東北內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古河北河北安徽安徽貴州貴州合計(jì)合計(jì)1 132.032.029.22

37、9.225.225.223.323.322.322.32 232.832.827.427.426.126.125.125.122.522.53 331.231.226.326.325.825.825.125.122.922.94 430.430.426.726.726.726.725.525.523.723.7126.4126.4109.6109.6104.1104.199.099.091.491.4530.5530.531.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.8526.5326.533997.443997.443007.993007.99

38、2709.982709.982453.162453.162089.642089.6414258.2114258.21x2xx在這里，在這里，k=5k=5，n=4n=4。（1 1）首先計(jì)算出，及，并列于表中。）首先計(jì)算出，及，并列于表中。x2x（2 2）計(jì)算出離均差平方和與自由度：）計(jì)算出離均差平方和與自由度：51.14071455 .53022nktc7 .18651.1407121.142582cxsst71.17351.14071)4 .916 .1094 .126(41222ctnssit21ttessssss186.7-173.7112.991 nkdft201191 kdft5(41

39、)15) 1( nkdfe（3 3）計(jì)算方差：）計(jì)算方差：43.43471.1732tttdfsss866. 01599.122eeedfsss514（4 4）進(jìn)行）進(jìn)行f f 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)：15.50866.043.4322etssf查查f f 值表，得值表，得f f0.05 (4,15) 0.05 (4,15) 3.063.06， f f0.01 (4,15) 0.01 (4,15) 4.894.89，故，故f ff f0.01 0.01 ，p 0.01p lsdlsd0.010.01，說明兩地間差異極顯著，標(biāo)說明兩地間差異極顯著，標(biāo)以不同的大寫字母；以不同的大寫字母；lsdlsd0.010

40、.01 各組間差數(shù)各組間差數(shù) lsdlsd0.05 0.05 ，說明兩地間差異顯著，說明兩地間差異顯著，標(biāo)以不同的小寫字母；標(biāo)以不同的小寫字母；地區(qū)地區(qū)平均數(shù)平均數(shù)差異顯著性差異顯著性0.050.050.010.01東北東北內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古河北河北安徽安徽貴州貴州31.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.85a ab bbcbcc cd da ab bbcbccdcdd d結(jié)果表明，東北與其它地區(qū)，內(nèi)蒙古與安徽、貴州，結(jié)果表明，東北與其它地區(qū)，內(nèi)蒙古與安徽、貴州，河北與貴州黃鼬冬季針毛長度差異均達(dá)到極顯著水平，河北與貴州黃鼬冬季針毛長度差異均達(dá)

41、到極顯著水平，安徽與貴州差異達(dá)到顯著水平，而內(nèi)蒙古與河北、河北安徽與貴州差異達(dá)到顯著水平，而內(nèi)蒙古與河北、河北與安徽差異不顯著。與安徽差異不顯著。根據(jù)組內(nèi)觀測次數(shù)目不同根據(jù)組內(nèi)觀測次數(shù)目不同組內(nèi)觀測次數(shù)相組內(nèi)觀測次數(shù)相等的方差分析等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)不組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析相等的方差分析 有時(shí)由于試驗(yàn)條件的限制，不同處理的觀測次數(shù)不同，有時(shí)由于試驗(yàn)條件的限制，不同處理的觀測次數(shù)不同，k k個(gè)處理的觀測次數(shù)依次是個(gè)處理的觀測次數(shù)依次是n n1 1 、n n2 2 、n nk k的單因素分組資料，的單因素分組資料，前面介紹的方差分析方法仍然可用，但由于總觀測次數(shù)不是前面介紹的方差分析方法

42、仍然可用，但由于總觀測次數(shù)不是nknk，而是，而是 次，在計(jì)算平方和時(shí)公式稍有改變。次，在計(jì)算平方和時(shí)公式稍有改變。kiin1組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析組內(nèi)觀測次數(shù)不相等的方差分析se2ni-1 sse誤差或處理內(nèi)誤差或處理內(nèi)sst總和總和st2k-1處理間處理間f方差方差自由度自由度平方和平方和變異來源變異來源fst2se2cntii2ni-k 在作多重比較時(shí)，首先應(yīng)計(jì)算平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。由在作多重比較時(shí)，首先應(yīng)計(jì)算平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。由于各組內(nèi)觀測次數(shù)不等，因此應(yīng)需先算得各于各組內(nèi)觀測次數(shù)不等，因此應(yīng)需先算得各n ni i的平均數(shù)的平均數(shù)n n0 0 ：1022knnniiin02022 21

43、nssnssexxex或各個(gè)處理的樣本容量用于lsr檢驗(yàn)用于lsd檢驗(yàn)用某種小麥種子進(jìn)行切胚乳試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)分為三種處理：用某種小麥種子進(jìn)行切胚乳試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)分為三種處理：整粒小麥（整粒小麥（i i），切去一半胚乳（），切去一半胚乳（iiii），切去全部胚乳），切去全部胚乳（iiiiii），同期播種與條件較一致的花盆內(nèi)，出苗后每盆選），同期播種與條件較一致的花盆內(nèi)，出苗后每盆選留兩株，成熟后進(jìn)行單株考種，每株粒重結(jié)果如表，試進(jìn)留兩株，成熟后進(jìn)行單株考種，每株粒重結(jié)果如表，試進(jìn)行方差分析。行方差分析。處理處理株號株號合計(jì)合計(jì)平均數(shù)平均數(shù)12345678910iii2120242925222425282

44、2232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麥切胚乳試驗(yàn)單株粒重（小麥切胚乳試驗(yàn)單株粒重（g g）處理處理株號株號合計(jì)合計(jì)平均數(shù)平均數(shù)12345678910iii21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麥切胚乳試驗(yàn)單株粒重（小麥切胚乳試驗(yàn)單株粒重（g）n1 8， n2 10， n3 6，n24(1)平方和的計(jì)算平方和的計(jì)算5.147012414624420422intcsst x2 c= 212 + 292 + 262 -c=23

45、0.58.66146102448204222csstsse sst - sst 230.5-6.8223.7(2)自由度的計(jì)算自由度的計(jì)算231241itndf21324kndfie2131 kdft(3)列方差分析表列方差分析表變異來源變異來源ssdfs2f處理間處理間處理內(nèi)處理內(nèi)6.8233.72213.410.70.318總變異總變異230.523由表中結(jié)果可知，由表中結(jié)果可知，f f1 1，表明三種處理的每株粒重?zé)o，表明三種處理的每株粒重?zé)o顯著差異。顯著差異。 由于由于f檢驗(yàn)不顯著，不需要再作多重比較。如果檢驗(yàn)不顯著，不需要再作多重比較。如果f檢驗(yàn)檢驗(yàn)顯著，則需要進(jìn)一步計(jì)算顯著，則需要

46、進(jìn)一步計(jì)算n0 ，并求得，并求得 （用于（用于lsr檢驗(yàn)）檢驗(yàn)）或或 （用于（用于lsd檢驗(yàn)），即檢驗(yàn)），即x xs88 .7224)6108(2422221022knnniiin16. 187 .10 02nssex64. 187 .10220221nssexxx x1 1x x2 2-s需要指出的是，不等觀測次需要指出的是，不等觀測次數(shù)的試驗(yàn)要盡量避免，因?yàn)檫@樣數(shù)的試驗(yàn)要盡量避免，因?yàn)檫@樣的試驗(yàn)數(shù)據(jù)不僅計(jì)算麻煩，而且的試驗(yàn)數(shù)據(jù)不僅計(jì)算麻煩，而且也降低了分析的靈敏度。也降低了分析的靈敏度。在實(shí)際工作中經(jīng)常會遇到兩種因素共同影響試驗(yàn)結(jié)果的情況在實(shí)際工作中經(jīng)常會遇到兩種因素共同影響試驗(yàn)結(jié)果的情況

47、每一觀測值都是某一特定溫度與光照條件共同作用的結(jié)果。每一觀測值都是某一特定溫度與光照條件共同作用的結(jié)果。溫度光照b1b2bca1a1 b1a1b2a1 bca2a2 b1a2b2a2 bcarar b1arb2ar bc第三節(jié)第三節(jié) 無重復(fù)觀測值無重復(fù)觀測值 的二因素方差分析的二因素方差分析定義定義：是指對：是指對試驗(yàn)指標(biāo)試驗(yàn)指標(biāo)同時(shí)受到兩個(gè)試驗(yàn)同時(shí)受到兩個(gè)試驗(yàn)因素因素作用的試驗(yàn)資料的方差分析。作用的試驗(yàn)資料的方差分析。二因素都是固定因素二因素都是固定因素二因素均為隨機(jī)因素二因素均為隨機(jī)因素固定模型固定模型隨機(jī)模型隨機(jī)模型混合模型混合模型一個(gè)因素是固定因素，一個(gè)因素是固定因素，一個(gè)因素是隨機(jī)因

48、素一個(gè)因素是隨機(jī)因素二因素方差分析二因素方差分析三種模型在計(jì)算上類似，但在對待檢驗(yàn)及結(jié)果解釋時(shí)有三種模型在計(jì)算上類似，但在對待檢驗(yàn)及結(jié)果解釋時(shí)有所不同所不同。主效應(yīng)和主效應(yīng)和互作互作主效應(yīng)主效應(yīng)（main effectmain effect）：各試驗(yàn)因素的相對獨(dú)立作用各試驗(yàn)因素的相對獨(dú)立作用互作互作（interactioninteraction）：某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同。某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同。因素間的交互作用顯著與否關(guān)系到主效應(yīng)的利用價(jià)值因素間的交互作用顯著與否關(guān)系到主效應(yīng)的利用價(jià)值二因素間是否存在交互作用有專門的統(tǒng)計(jì)判斷方法，二因素間是否存在

49、交互作用有專門的統(tǒng)計(jì)判斷方法，有時(shí)也可根據(jù)專業(yè)知識判斷。有時(shí)也可根據(jù)專業(yè)知識判斷。如果交互作用如果交互作用顯著顯著，則各因素的效應(yīng)就，則各因素的效應(yīng)就不能累加不能累加，最優(yōu)，最優(yōu)處理組合的選定應(yīng)根據(jù)處理組合的選定應(yīng)根據(jù)各處理組合的直接表現(xiàn)選定各處理組合的直接表現(xiàn)選定。有時(shí)交。有時(shí)交互作用相當(dāng)大，甚至可以忽略主效應(yīng)。互作用相當(dāng)大，甚至可以忽略主效應(yīng)。如果交互作用如果交互作用不顯著不顯著，則各因素的效應(yīng)可以，則各因素的效應(yīng)可以累加累加，各因，各因素的素的最優(yōu)水平組合起來最優(yōu)水平組合起來，即為最優(yōu)的處理組合。，即為最優(yōu)的處理組合。依據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)I(yè)知識，判斷二因素?zé)o交依據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)I(yè)知識，判斷二因素?zé)o交互

50、作用時(shí)，每個(gè)處理可只設(shè)一個(gè)觀測值，即互作用時(shí)，每個(gè)處理可只設(shè)一個(gè)觀測值，即假定假定a a因素有因素有a a個(gè)水平，個(gè)水平，b b因素有因素有b b個(gè)水平，每個(gè)水平，每個(gè)處理組合只有一個(gè)觀測值。個(gè)處理組合只有一個(gè)觀測值。無重復(fù)觀測值的二因素方差分析無重復(fù)觀測值的二因素方差分析因素因素a a因素因素b b總和總和t ti i. .平均數(shù)平均數(shù)b b1 1b b2 2b bb ba a1 1x x1111x x1212x x1b1bt t1 1. .a a2 2x x2121x x2222x x2b2bt t2 2. .a aa ax xa1a1x xa2a2x xababt ta a. .總和總和

51、t.t.j jt.t.1 1t.t.2 2t.t.b bt t平均數(shù)平均數(shù).ix.1x.2x.axxjx.1. x2. xbx.無重復(fù)觀測值的二因素分組資料模式無重復(fù)觀測值的二因素分組資料模式二因素方差分析的線性模型二因素方差分析的線性模型因素間不存在交互作用，所以二因素方差因素間不存在交互作用，所以二因素方差分析觀測值的線性模型是分析觀測值的線性模型是xij = +i +j +iji 和j 是a因素和b因素的效應(yīng)，可以是固定的，也可以是隨機(jī)的，且，ij是隨機(jī)誤差，彼此獨(dú)立且服從n(0，2)。i=1,2,a; j=1,2, ,b0ii（1 1）平方和的分解為：）平方和的分解為：abtc2cxx

52、xssijt22)(cbtxxbssiia2.2.)(catxxassjjb2.2.)(batjiijessssssxxxxss2.)(1 abdft1 adfa) 1)(1(badfe（2 2）與平方和相應(yīng)的自由度的分解為）與平方和相應(yīng)的自由度的分解為1bdfb（4 4）f f值的計(jì)算：值的計(jì)算：22eaassf 22ebbssf （3 3）各項(xiàng)的方差分別為）各項(xiàng)的方差分別為aaadfsss2bbbdfsss2eeedfsss2將一種生長激素配成將一種生長激素配成m m1 1，m m2 2，m m3 3，m m4 4，m m5 5五種濃度，并用五種濃度，并用h h1 1，h h2 2，h h

53、3 3三種時(shí)間浸漬某大豆品種的種子，出苗三種時(shí)間浸漬某大豆品種的種子，出苗4545天后的各處理每以植株天后的各處理每以植株的平均干物重（的平均干物重（g g）（下表）。試作方差分析與多重比較。）（下表）。試作方差分析與多重比較。濃度濃度 （a a）時(shí)間（時(shí)間（b b）t ti ih h1 1h h2 2h h3 3m m1 1131314141414414113.6713.67m m2 2121212121313373712.3312.33m m3 33 33 33 39 93.003.00m m4 410109 9101029299.679.67m m5 52 25 54 411113.67

54、3.67t.t.j j4040434344441271278.08.08.68.68.88.88.478.47jx.ix激素處理對大豆干物重的影響激素處理對大豆干物重的影響激素濃度和時(shí)間均為固定因素，適應(yīng)于固定模型激素濃度和時(shí)間均為固定因素，適應(yīng)于固定模型。（1 1）平均和的計(jì)算：）平均和的計(jì)算：27.10753512722abtccxsst206.28927.107531137412222.cbtssia73.29527.10754141322273. 127.107554443402222.catssjb94. 473. 106.28973.295batessssssss141351 ab

55、dft4151 adfa8) 13() 15() 1)(1(badfe（2 2）自由度的計(jì)算）自由度的計(jì)算2131bdfb（3 3）列出方差分析表，進(jìn)行）列出方差分析表，進(jìn)行f f 檢驗(yàn)檢驗(yàn)變異來源變異來源dfdfsssss s2 2f ff f0.050.05f f0.010.01濃度間濃度間4 4289.06289.0672.2772.27116.56116.56* * *3.843.847.017.01時(shí)間間時(shí)間間誤差誤差2 28 81.731.734.944.940.870.870.620.621.401.404.464.468.658.65總變異總變異1414295.73295.73

56、f f 檢驗(yàn)結(jié)果表明，濃度間的檢驗(yàn)結(jié)果表明，濃度間的f f 值大于值大于f f0.010.01，時(shí)間間的，時(shí)間間的f f值未達(dá)到顯著水平，表明不同激素濃度對大豆干物重有值未達(dá)到顯著水平，表明不同激素濃度對大豆干物重有極顯著差異。極顯著差異。（4 4）進(jìn)行多重比較（用）進(jìn)行多重比較（用ssrssr檢驗(yàn)）：由于只有濃度間的效檢驗(yàn)）：由于只有濃度間的效應(yīng)達(dá)到了極顯著差異，時(shí)間間的效應(yīng)未達(dá)到顯著水平，只應(yīng)達(dá)到了極顯著差異，時(shí)間間的效應(yīng)未達(dá)到顯著水平，只需對需對5 5種浸漬濃度進(jìn)行多重比較，可計(jì)算出濃度間的平均種浸漬濃度進(jìn)行多重比較，可計(jì)算出濃度間的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤均為數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤均為455. 0362. 02

57、bssexb=3b=3是每一濃度的觀測值數(shù)目，如果要比較時(shí)間間的是每一濃度的觀測值數(shù)目，如果要比較時(shí)間間的效應(yīng)，由于每一時(shí)間有效應(yīng)，由于每一時(shí)間有a=5a=5個(gè)觀測值，其平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤個(gè)觀測值，其平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤應(yīng)為應(yīng)為35. 0562. 02assexm2345ssr0.053.263.403.483.52ssr0.014.754.945.065.14lsr0.051.481.551.581.60lsr0.012.162.252.302.34不同濃度大豆干物重多重比較不同濃度大豆干物重多重比較ssrssr和和lsrlsr值值查查ssrssr值表，當(dāng)值表，當(dāng)dfdfe e=8=8，m=2m=2，

58、3 3，4 4，5 5時(shí)的時(shí)的ssrssr值及值及由此計(jì)算的由此計(jì)算的lsrlsr值列于下表值列于下表多重比較結(jié)果表明：多重比較結(jié)果表明：5 5種生長激素濃度對大豆干物重的種生長激素濃度對大豆干物重的影響有著極顯著的差異，除影響有著極顯著的差異，除m m1 1與與m m2 2，m m5 5與與m m3 3之外差異不顯著之外差異不顯著外，其它濃度之間的大豆干物重均達(dá)到極顯著差異。外，其它濃度之間的大豆干物重均達(dá)到極顯著差異。5 5種激種激素濃度中，以素濃度中，以m m1 1和和m m2 2的處理效果較好。的處理效果較好。濃度濃度平均數(shù)平均數(shù)差異顯著性差異顯著性0.050.050.010.01m

59、m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 513.6713.6712.3312.339.679.673.673.673.003.00a aa ab bc cc ca aa ab bc cc c無重復(fù)觀測值的二因素方差分析，所估計(jì)的誤無重復(fù)觀測值的二因素方差分析，所估計(jì)的誤差實(shí)際上是這兩個(gè)因素的差實(shí)際上是這兩個(gè)因素的相互作用相互作用，這是在兩個(gè)因，這是在兩個(gè)因素素不存在不存在互作，或互作很小的情況下進(jìn)行估計(jì)的?；プ?，或互作很小的情況下進(jìn)行估計(jì)的。但是，如果但是，如果存在存在兩個(gè)因素的互作，方差分析中兩個(gè)因素的互作，方差分析中就不能用互作來估計(jì)誤差，必須在就不能用互作來估計(jì)誤差，必須在

60、有重復(fù)觀測值有重復(fù)觀測值的的情況下對試驗(yàn)誤差進(jìn)行估計(jì)。情況下對試驗(yàn)誤差進(jìn)行估計(jì)。第四節(jié)第四節(jié) 有重復(fù)觀測值有重復(fù)觀測值 的二因素方差分析的二因素方差分析具有重復(fù)觀測值的二因素方差分析具有重復(fù)觀測值的二因素方差分析具有重復(fù)觀測值的二因素試驗(yàn)的具有重復(fù)觀測值的二因素試驗(yàn)的典型設(shè)計(jì)典型設(shè)計(jì)是：是：假定假定a因素有因素有a水平，水平，b因素有因素有b水平，則每一次重水平，則每一次重復(fù)都包括復(fù)都包括ab次實(shí)驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)次實(shí)驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)重復(fù)重復(fù)n次次，資料模式在，資料模式在p112。二因素具有重復(fù)觀測值的方差分析用下面二因素具有重復(fù)觀測值的方差分析用下面線性模型線性模型來描述：來描述：xijk = +i +