【精品】黃土高原地區(qū)水土保持壩14

1、第八章 不定積分8.1 不定積分的概念和基本積分公式例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如如果果在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)，定義定義1：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf的的即即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xf就就稱稱為為)(xf導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間i內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函

2、數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c那那么么在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf，使使ix ，都有，都有)()(xfxf . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xf)(xg)(xf則則cxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c

3、證證 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c 根據(jù)定義，如果 f(x) 是 f(x) 的一個原函數(shù)，則dxxf)(f(x)c， 其中 c 是任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)。二、不定積分二、不定積分 定義定義2 函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作 dxxf)(。 任意常任意常數(shù)數(shù)積分積分號號被積函被積函數(shù)數(shù)cxfdxxf )()(被積表達被積表達式式積分變積分變量量不定積分的相關(guān)名稱：不定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達式， x 叫做積分變量。 如果 f(x)是 f(x

4、)的一個原函數(shù)，則dxxf)(f(x)c。 當(dāng) x0 時，(ln x)x1，x1，cxdxxln 1(x0)； x0 時，ln(x)x0 時，ln(x)xx1) 1(1xx1) 1(1，xx1) 1(1，cxdxx)ln( 1(x0 時，(ln x) 解：解：-1 o 1 x y y=x2 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。cxxdx22c1 y=x2+c1 c2 y=x2+c2 c3 y=x2+c3 函數(shù)f(x)的積分曲線也有無限多條。函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率。三、不定積分的幾何意義三、不定積分的幾何意義 例例4求過點(1

5、, 3)，且其切線斜率為2x的曲線方程。 解：解：設(shè)所求的曲線方程為 yf(x)，則 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一個原函數(shù)。 因為所求曲線通過點(1, 3)， 故 31c，c2。 于是所求曲線方程為 yx22。2 1 o 1 2 x2 1 1 2 yyx2+2 yx2(1, 3) 因為cxxdx22， 所以y=f(x)x2c。實例實例 xx 11.11cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 四

6、、四、 基本積分公式基本積分公式基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx簡寫為簡寫為.ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotc

7、sc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 例例 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）cxdxx 11 2772xc72x3xc。 dx x 3dx131x 31c x 31c 221xc。 dx 25xdxdx1251251xc 34 xdx134134xc134134xc33x c。 例 1 31xdx 例例1例 2 x2xdx 例例2例 3 3xxdx例例3dxxgxf)()(dxxgdxx

8、f)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxdxx21255dxxdxx21255 cxx232732572cxxxx310723dxxx)5(2dxxx)5(2125 dxxdxx21255dxxdxx21255 cxx232732572cxxxx310723。 例 4 dxxx)5(2dxxx)5(2125例例4dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxxx)133(2 dxxdxxdxxdx21133 221x3x3ln|x|x1c。 dxxx23) 1(dxxxxx223133 5 dxxx23) 1(dxxxxx223133例例5 (4

9、) axdx aaxlnc， (6) cosxdx sinxc， dx2sectgxc， (ex3cosx)dx ex3sinxc。 2x exdx (2e)x dx(2e)x dx)2ln()2(eexc)2ln()2(eexc2ln12xxec。 tg2xdx (sec2x1)dx tgxxc。 (sec2x1)dx tgxxc。 2xdxx)cos1 (21cxx)sin(21dxx)cos1 (21cxx)sin(21。 dxxx2cos2sin122dxx2sin14 4ctg xc。 6 (ex3cosx)dx ex3sinxc。 例例67 2x exdx 例例78 tg2xdx

10、例例89 sin 22xdx例例910 dxxx2cos2sin122dxx2sin14例例10 (3) x1dx ln|x|c， (11) 211xdx arctgxc。 dxxdxx1112 dxxx)111(2231dxxdxx1112arctgxln|x|c。 dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1(dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1( dxxx)111(2231x3xarctgxc。 dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)111(2dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)

11、111(2 11 dxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx)111(2例例1112 dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1(例例12 y)257(xdxxx507 c 。 解：解：因為總成本是總成本變化率y的原函數(shù)，所以 已知當(dāng) x0 時，y1000， 例例13某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成本 y 的變化率是日產(chǎn)量 x 的函數(shù) yx257 ，已知固定成本為1000元，求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。因此有 c =1000，于是總成本 y 與日產(chǎn)量 x 的函數(shù)為 yxx507 1000。 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxx

12、f證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）五 、 不定積分的性質(zhì)例例1414 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程

13、為. 6costan xxy基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxf 不定積分的概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系小結(jié)f4c1z)w&s!pymujrgocl9h6e3b+y(v%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvksgpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-w*t$qynvksgpdlai7f3c0z)v&s#pxmuirfock9h5e2b+x(u%rzow

14、kthqembj8g4d1a-w*t!qynvjsgpdlai6f3c0y)v&s#pxluirfnck9h5e2a+x(u$rzowkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodl9i6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e2a+x!qynvjsgpdlai6f3c0y)v&s#pxluirfnck9h5e2a+x(u$rzowkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodlai6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e2a+x*u$rznwkthpemaj7g4c1z-w&t!pymvjrgodl9i6e3b0y

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23、kshpdmaj7f4c1z)w&s!pymujrgocl9h6e3b*u$rznwkthpemaj7g4c1z-w&t!pymvjrgodl9i6e3b0y(v%s#oxltiqfnbk8h5d2a-x*u$qznwkshpdmaj7f4c1z)w&s!pymujrgocl9i6e3b+y(v%r#oxltiqenbk8g5d2a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuirfock9h6e2b+x

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25、0y(v%s#oxluiqfnbk8h5d2a+x*u$qznwkshpemaj7f4c1z)w&t!pymujrgocl9i6e3b0y(v%r#oxltiqfnbk8g5d2a-x*u$qznvkshpdmaj7f4c0z)w&s!pymujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qznvksgpdmai7f4c0z)v&s!pxmujrfock9h6e2b+y(u%rzowlthqenbj8g4d1a-w*t$qynvjsgpdlai7f3c0y)v&s#pxmuirfnck9h5e2b+x(u%rzowkthqemb

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