高考數(shù)學(xué)理科必考題型：第41練概率的兩類模型含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第41練概率的兩類模型內(nèi)容精要概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考題在高考中，概率部分的命題主要有三個(gè)方面的特點(diǎn)：一是以古典概型的概率公式為考查對(duì)象，二是以幾何概型的概率公式為考查對(duì)象，三是古典概型與其他知識(shí)相交匯，題目多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)題型一古典概型問題例1某班級(jí)的某一小組有6位學(xué)生，其中4位男生，2位女生，現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組，求下列事件的概率：(1)選取的2位學(xué)生都是男生；(2)選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生破題切入點(diǎn)先求出任取2位學(xué)生的基本事件的總數(shù)，然后分別求出所求的兩個(gè)事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率公

2、式求解解(1)設(shè)4位男生的編號(hào)分別為1,2,3,4,2位女生的編號(hào)分別為5,6.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生的所有可能結(jié)果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生，所取的2位全是男生的方法數(shù)，即從4位男生中任取2個(gè)的方法數(shù)，共有6種，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)所以選取的2位學(xué)生全是男生的概率為p1.(2)從6位學(xué)生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(

3、1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種所以選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生的概率為p2.題型二幾何概型問題例2(20xx·四川)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是()a. b.c. d.破題切入點(diǎn)由幾何概型的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求解答案c解析設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x、y，x、y相互獨(dú)立，由題意可知，如圖所示兩串彩燈第一

4、次亮的時(shí)間相差不超過2秒的概率為p(|xy|2).題型三古典概型與幾何概型的綜合問題例3已知關(guān)于x的一元二次方程9x26axb240，a，br.(1)若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間0,3內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有實(shí)數(shù)根的概率破題切入點(diǎn)本題中含有兩個(gè)參數(shù)，顯然要將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次方程有解的條件問題第(1)問利用列舉法將基本事件羅列出來，再結(jié)合題意求解第(2)問將a，b滿足的不等式轉(zhuǎn)化為可行域平面區(qū)域問題，從而利用幾何概型的概率公式求解解設(shè)事件a為“方程9

5、x26axb240有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；事件b為“方程9x26axb240有實(shí)數(shù)根”(1)由題意，知基本事件共9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值由36a236(b24)36a236b236×4>0，得a2b2>4.事件a要求a，b滿足條件a2b2>4，可知包含6個(gè)基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，所以方程有兩個(gè)不相同實(shí)根的概率p(a).(2)由題意，方程有實(shí)根的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，故所求概率為：p(b)

6、1.總結(jié)提高(1)求解古典概型問題的三個(gè)步驟判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求事件a.分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求事件a所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.利用古典概型的概率公式p(a)求出事件a的概率若直接求解比較困難，則可以利用間接的方法，如逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率(2)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決(3)幾何概型的概率求解，一般要將問題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、面積或體積等幾何問題在

7、轉(zhuǎn)化中，面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識(shí)，也就是用二元一次不等式(或其他簡(jiǎn)單不等式)組表示區(qū)域幾何概型的試驗(yàn)中事件a的概率p(a)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān)1從標(biāo)有1,2,3，7的7個(gè)小球中取出一球，記下它上面的數(shù)字，放回后再取出一球，記下它上面的數(shù)字，然后把兩數(shù)相加得和，則取得的兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率是()a. b. c. d.答案a2已知實(shí)數(shù)a，b滿足x1，x2是關(guān)于x的方程x22xba30的兩個(gè)實(shí)根，則不等式0<x1<1<x2成立的概率是()a. b. c. d.答案a解析由題意，關(guān)于x的方程x

8、22xba30對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)f(x)x22xba3滿足f(0)>0，f(1)<0，即建立平面直角坐標(biāo)系如圖滿足題意的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，故所求概率p.3(20xx·陜西)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()a. b. c. d.答案c解析取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種，概率為.故選c.4有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)o為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)p，則點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1的概率為()a. b. c. d.答案b解析設(shè)點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離小于等于1的概率為p1

9、，由幾何概型，則p1，故點(diǎn)p到點(diǎn)o的距離大于1的概率p1.5在區(qū)間0,2上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，則xy0,2的概率是()a. b.c. d.答案c解析顯然在區(qū)間0,2上任取兩數(shù)其積一定不小于零，故問題等價(jià)于在0,2上隨機(jī)取數(shù)x，y使xy2的概率由xy2，即y，所求的概率是.6.如圖，設(shè)d是圖中邊長(zhǎng)為4的正方形區(qū)域，e是d內(nèi)函數(shù)yx2圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域(陰影部分)向d中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入e中的概率為()a. b. c. d.答案c解析s陰影2x2dx2×x3|2×，p.7一個(gè)箱子中有9張標(biāo)有1,2,3,4,5,6,7,8,9的卡片，從中依次取兩張，在第一張是奇數(shù)的條件下

10、，第二張也是奇數(shù)的概率是_答案解析方法一設(shè)“第一張是奇數(shù)”記為事件a，“第二張是奇數(shù)”記為事件b，p(a)，p(ab)，所以p(b|a).方法二設(shè)“第一張是奇數(shù)”記為事件a，“第二張是奇數(shù)”記為事件b，則n(a)5×840，n(ab)5×420.p(b|a).8(20xx·課標(biāo)全國(guó))從n個(gè)正整數(shù)1,2，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n_.答案8解析由題意知，取出的兩個(gè)數(shù)只可能是1與4,2與3這兩種情況，在n個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的總情況應(yīng)該是c2÷28，n8.9(20xx·江蘇)現(xiàn)有某類病毒記作xmyn，其中正

11、整數(shù)m，n(m7，n9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_答案解析p.10在日前舉行的全國(guó)大學(xué)生智能汽車總決賽中，某高校學(xué)生開發(fā)的智能汽車在一個(gè)標(biāo)注了平面直角坐標(biāo)系的平面上從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，每次只能移動(dòng)一個(gè)單位，沿x軸正方向移動(dòng)的概率是，沿y軸正方向移動(dòng)的概率為，則該機(jī)器人移動(dòng)6次恰好移動(dòng)到點(diǎn)(3,3)的概率為_答案解析若該機(jī)器人移動(dòng)6次恰好到點(diǎn)(3,3)，則機(jī)器人在移動(dòng)過程中沿x軸正方向移動(dòng)3次、沿y軸正方向移動(dòng)3次，因此機(jī)器人移動(dòng)6次后恰好位于點(diǎn)(3,3)的概率為pc3320×.11已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x、y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的

12、點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足a·b1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足a·b<0的概率解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×636(個(gè))；由a·b1有2xy1，所以滿足a·b1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)；故滿足a·b1的概率為.(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y)|1x6,1y6；滿足a·b<0的基本事件的結(jié)果為a(x，y)|1x6,1y6且2xy

13、<0；畫出圖形如圖，矩形的面積為s矩形25，陰影部分的面積為s陰影25×2×421，故滿足a·b<0的概率為.12某同學(xué)參加省學(xué)業(yè)水平測(cè)試，物理、化學(xué)、生物成績(jī)獲得等級(jí)a和獲得等級(jí)不是a的機(jī)會(huì)相等，且三個(gè)學(xué)科成績(jī)獲得等級(jí)a的事件分別記為w1，w2，w3，獲得等級(jí)不是a的事件分別記為，.(1)試列舉該同學(xué)在這次水平測(cè)試中物理、化學(xué)、生物成績(jī)是否為a的所有可能結(jié)果(如三科成績(jī)均為a記為(w1，w2，w3)；(2)求該同學(xué)參加這次水平測(cè)試獲得兩個(gè)a的概率；(3)試設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)情況的事件，使該事件的概率大于85%，并說明理由解(1)該同學(xué)在這次水平測(cè)試中物理、化學(xué)、生物成績(jī)是否為a的可能結(jié)果有8種，分別為(w1，w2，w3)，(，w2，w3)，(w1，w3)，(w1，w2，)，(，w3)，(，w2，)，(w1，)，(，)(2)由(1)，知有兩個(gè)a的情況為(，w2，w3)，(w1，w3)，(w1，w2，)，共3種，從而所求概率為p.(3)方法一該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)不全為a的事件概率大于85%.理由如下：該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)不全為