考研數(shù)學(xué)D考研基礎(chǔ)班PPT課件

1、( , )dDf x y 定積分定積分:.),(lim10iiniif 二重積分二重積分: :三重積分三重積分: :( )dbaf xx iinixf )(lim10 ( , , )d d df x y zx y z iiiniivf ),(lim10 設(shè)設(shè) 是是平平面面或或空空間間的的一一個(gè)個(gè)可可度度量量的的幾幾何何體體，f為為定定義義在在 上上的的函函數(shù)數(shù), ,T對(duì)對(duì) 作作分分割割1maxd( )ii n 稱(chēng)稱(chēng) ,in 它它把把 分分成成 個(gè)個(gè)可可度度量量的的小小幾幾何何體體T為為分分割割 的的細(xì)細(xì)度度, ,iiP 且且在在上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)01lim( ),niiif PJ 極極限限若

2、若有有iJTP且且 的的值值與與分分割割 及及介介點(diǎn)點(diǎn) 的的取取法法無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), ,.fJf則則稱(chēng)稱(chēng) 在在 上上可可積積極極限限 為為 在在上上的的積積分分. .01lim( )( )dniiif PF P 記記作作：第1頁(yè)/共48頁(yè) x當(dāng)當(dāng) 是是 軸軸上上的的時(shí)時(shí), ,上上式式就就直直線(xiàn)線(xiàn)段段是是定定積積分分; ;01lim( )niiifx ( )d ;baf xx 當(dāng)當(dāng) 是是時(shí)時(shí), ,上上式式就就是是二二平平面面區(qū)區(qū)域域重重積積分分；01lim( ,)niiiif ( , )d ;Df x y 當(dāng)當(dāng) 是是時(shí)時(shí), ,上上式式就就是是三三空空間間區(qū)區(qū)域域重重積積分分；01lim( ,)niii

3、iifV ( , , )df x y z v 平平面面曲曲線(xiàn)線(xiàn)或或當(dāng)當(dāng) 為為空空間間曲曲線(xiàn)線(xiàn)時(shí)時(shí)，第第一一型型（對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的）上上式式為為曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分；01lim( )( )dniiif PF P 空空間間當(dāng)當(dāng) 為為曲曲面面時(shí)時(shí)，第第一一型型（對(duì)對(duì)面面積積的的）上上式式為為曲曲面面積積分分；第2頁(yè)/共48頁(yè)（一）（一）曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)（二）曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法（二）曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法（三）格林公式及其應(yīng)用（三）格林公式及其應(yīng)用 一、一、 曲線(xiàn)積分的計(jì)算法曲線(xiàn)積分的計(jì)算法（四）線(xiàn)積分的應(yīng)用（四）線(xiàn)積分的應(yīng)用第3頁(yè)/共48頁(yè)（一）（一）曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)曲線(xiàn)積分的概

4、念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線(xiàn)L是分段光滑的， 且有有限長(zhǎng)度，函數(shù)z=f(x,y)在L上有界，在曲線(xiàn)L上依次插入分點(diǎn)nMMM,100(M及nM為L(zhǎng)的兩個(gè)端點(diǎn)),把L分成n個(gè)小弧段，iiMM1 記小弧段iiMM1 的長(zhǎng)度為,is ,max1nss 并在iiMM1 上任取一點(diǎn)).,(iiiN 如果極限iiinisf ),(lim10 存在，oxyABL),(ii 1 nMiM1 iM1M2Mis 第4頁(yè)/共48頁(yè)iiinisf ),(lim10 存在，如果極限則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線(xiàn)L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分，記作.d),( Lsyxf即 Lsyxfd),(iiinisf ),(

5、lim10 積分變量積分弧段被積表達(dá)式弧長(zhǎng)元素積分和式曲線(xiàn)形構(gòu)件的質(zhì)量 ( , )d .LMx ys 也稱(chēng)第一類(lèi)曲線(xiàn)積分.第5頁(yè)/共48頁(yè)注意： (1)曲線(xiàn)積分也是一個(gè)確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x,y)及積分弧段L有關(guān).d),( Lsyxf(2) f(x,y)在閉曲線(xiàn)L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分記為.d),(d),(d),(2121 LLLLsyxfsyxfsyxf(3)若L分段光滑的)(21LLL 則有(4)存在條件：當(dāng)f(x,y)在光滑曲線(xiàn)弧L上連續(xù)時(shí)， Lsyxfd),(對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分存在.第6頁(yè)/共48頁(yè)(5)物理意義：( , )dLMx ys 是線(xiàn)密度在L上的線(xiàn)積分.d),( Lsyx

6、fA柱柱面面面面積積(6)幾何意義：即：高在底L上的線(xiàn)積分.(7)推廣:函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線(xiàn)弧 上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分為 szyxfd),(01lim(,).niiiiifs .d Lls特別地：,d abxba ,d D .d Vv 聯(lián)想：),(yxfz zxoyALABab Lsyxfd),(iiinisf ),(lim10 第7頁(yè)/共48頁(yè)（2）性質(zhì) (1) ( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yg x ysf x y sg x y s (2)( , )d( , )d().LLkf x y skf x y sk 是是常常數(shù)數(shù)12 (3)( , )d( ,

7、 )d( , )d .LLLf x y sf x y sf x y s 12().LLL (4)無(wú)向性：對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向無(wú)關(guān).即( , )d( , )dABBAf x y sf x y s 思考: 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分要求 ds 0 , 但定積分中dx 可能為負(fù).回憶定積分： ( )d( )dbaabf x xf x x 故第一類(lèi)曲線(xiàn)積分與定積分是有區(qū)別的.第8頁(yè)/共48頁(yè)（1）定義定義設(shè)L為xoy面上從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條分段光滑的有向曲線(xiàn)， 函數(shù)),(),(yxQyxP、在L上有界. 沿L的方向依次取分點(diǎn),10BMMMAn 把L分成n個(gè)有

8、向小弧段iiMM1 ，), 2 , 1(ni 設(shè)iiMM1 , jyixii 并記 為所有小弧段長(zhǎng)度的最大值.在iiMM1 上任意取一點(diǎn)),(ii 如果極限iiniixP ),(lim10 存在，那么這個(gè)極限稱(chēng)為函數(shù)),(yxP在有向弧段L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線(xiàn)積分， 記作.d),( xyxPL 第9頁(yè)/共48頁(yè)類(lèi)似地， 如果極限iiniiyQ ),(lim10 存在，那么這個(gè)極限稱(chēng)為函數(shù)),(yxQ在有向弧段L上對(duì)坐標(biāo) y記作.d ),( yyxQL 的曲線(xiàn)積分，即 xyxPLd ),( ，iiniixP ),(lim10 yyxQLd ),( iiniiyQ ),(lim10 其中),(),(y

9、xQyxP、稱(chēng)為被積函數(shù)，yyxQxyxPd ),(d ),(、稱(chēng)為被積表達(dá)式，(1) L稱(chēng)為積分路徑.說(shuō)明：(2)與第一類(lèi)曲線(xiàn)積分記號(hào)的區(qū)別.iiyx ,可正可負(fù).這里的第10頁(yè)/共48頁(yè)(3)組合形式( , )d( , )dLLP x yxQ x yy Wddd.rxiyj 由實(shí)例和定義知:變力 沿A B所作的功為：F( , )d( , )dABP x yxQ x yy dABFr LyyxQxyxPd),(d),(4)特殊路徑情況,bax由,ba L若則 LLyyxQxyxPd),(d),( , )( , )FP x y iQ x y j 為為向向量量值值函函數(shù)數(shù)， 記作01lim(,)

10、niiiiPx 01lim(,)niiiiQy ( ,0)d0baP xx ( ,0)d .baP xx . ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW cosWFAB .F AB ix iy ),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF 第11頁(yè)/共48頁(yè)),(),(yxQyxP當(dāng)在光滑曲線(xiàn)弧L上連續(xù)時(shí)，第二類(lèi)曲線(xiàn)積分 存在. LyyxQxyxPd),(d),(.),(limd),(10 iiiniixPxzyxP ( , , )d( , , )d( , , )dP x y zxQ x y zyR x y zz .),(limd),(10 iiiniiyQyzyx

11、Q .),(limd),(10 iiiniizRzzyxR 空間有向曲線(xiàn)弧第12頁(yè)/共48頁(yè)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的性質(zhì) 1()性性質(zhì)質(zhì) 線(xiàn)線(xiàn)性性性性質(zhì)質(zhì), 設(shè)設(shè) 、 是是常常數(shù)數(shù) 則則12 ( , )( , ) dLF x yF x yr 12 ( , ) d( , ) d .LLF x yrF x yr 性性質(zhì)質(zhì)2 2( (可可加加性性) )L如如果果有有向向曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧 可可分分成成兩兩段段光光滑滑的的有有12,LL向向曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧 和和則則12 ( , ) d( , ) d( , ) d .LLLF x yrF x yrF x yr 性性質(zhì)質(zhì)3 3( (有有向向性性)

12、)LLL 設(shè)設(shè) 是是有有向向光光滑滑曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧, , 是是 的的反反曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧，則 ( ,) d( ,) d .LLF x yrF x yr 即對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān)有關(guān). abbaxxfxxf d)(d)(回憶定積分： ( , ), ( , )d(d ,d ),( , )d( , )ddLLLFP x y Q x yrxyP x yxQ x yyFr 有有線(xiàn)線(xiàn)曲曲線(xiàn)線(xiàn)元元故定積分是第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的特例. .( , )d( , )dLP x yxQ x yy 01lim( ,)niiiiPx 01lim( ,)niiiiQy 第13頁(yè)/共48頁(yè)性性質(zhì)質(zhì)4 4 dABxLx 在在

13、軸軸上上的的投投影影( (可可正正可可負(fù)負(fù)) ) dAByLy 在在 軸軸上上的的投投影影( (可可正正可可負(fù)負(fù)) ) ( , )dLP x yx 01lim(,)niiiiPx ( , )dLQ x y y 01lim(,)niiiiQy 性性質(zhì)質(zhì)5 5( (垂垂直直性性) )( ,)0Lxx yx L L若若軸軸P Pd d( ,)0LyQ x yy L L若若軸軸d dix iy ),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF BAxx = =BAyy = =第14頁(yè)/共48頁(yè)例1. ,1f x y 設(shè)曲線(xiàn)L：過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)M和第四象限內(nèi)的點(diǎn)N， 為L(zhǎng)上 d,fx y

14、y （B） d,f x y s （C） ,d,dxyfx yxfx yy （D） ,fx y（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）, ,df x yx （A）則下列小于零的是（ ）從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧， oxy MNB第15頁(yè)/共48頁(yè)（二）曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法（二）曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線(xiàn)積分1.計(jì)算第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的基本方法計(jì)算第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的基本方法)( 01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs 1. :( ),( ) L xtytt 22 ( , )d ( ), ( )( )( )d Lf x ysfttttt 2. :( ) L yxaxb 2 ( ,

15、 )d , ( ) 1( )dbLaf x ysf xxxx )(ba 3. :( ) L xycyd 2 ( , )d ( ), 1( )ddLcf x ysfyyyy )(dc 第16頁(yè)/共48頁(yè)u對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算步驟：(1)積積分分畫(huà)畫(huà)出出弧弧段段的的圖圖形形；(2)將將積積分分弧弧段段用用參參數(shù)數(shù)方方程程表表示示；(3)用用“”的的方方線(xiàn)線(xiàn)積積分分法法把把化化為為三三代代一一定定定定積積分分. .:( ),( ) ()L xtytt 如如： ( , )dLf x ys ( )xt “一一代代”；( )yt “二二代代”；22d( )( )dsttt “三三代代”；,. “一一定定

16、限限”: :小小的的 是是下下限限 大大的的 是是上上限限化為： 22 ( ),( )( )( )d .fttttt 第17頁(yè)/共48頁(yè)222xya 0 x 0 yLOA OBAB (1) :0,0OA yxa ，21dOAIx s 23011 0d3axxa ，(2) :0,0OB xya ，22dOBIy s 2 01 0dayy 31.3a22(3) :,0AB yaxxa 23dABIa s 212.4aa 333312311121()33232IIIIaaaa 22222()d ,0,0LIxysL xya xy 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為所所圍圍區(qū)區(qū)域域.的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界第18頁(yè)/

17、共48頁(yè)xy42 ox1-22yd , LIy s 計(jì)計(jì)算算例2.24 ,(1,2)(1, 2)Lyx ：從從到到的的一一段段弧弧； :2L yx 21 : , 22,4L xyy 22 21 ( ) d2yIyy 0注意到：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù). .計(jì)算第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的簡(jiǎn)化方法：計(jì)算第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的簡(jiǎn)化方法：1.利用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的幾何意義利用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的幾何意義.2.利用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性利用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性.3.利用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的利用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的積分弧段的方程積分弧段的方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)化簡(jiǎn)被積函數(shù).第19頁(yè)/共48頁(yè)注：第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性：注：第一

18、類(lèi)曲線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性：1.Ly若若 關(guān)關(guān)于于 軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則 ( , )dLf x ys (, )( , )fx yf x y ，0，(, )( , )fx yf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oyx2.Lx若若 關(guān)關(guān)于于 軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則LL1Oxy ( , )dLf x ys ( ,)( , )f xyf x y ，0，( ,)( , )f xyf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oxy3.L若若 關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則 ( , )dLf x ys (,)( , )fxyf x y ，0，(,)( , )fxyf x y ，1 2( ,

19、 )dLf x ys ，4.Lyx 若若 關(guān)關(guān)于于直直線(xiàn)線(xiàn)軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則 ( , )dLf x ys ( , )d .Lf y xs 第20頁(yè)/共48頁(yè)22222,(+)d ,0.xyzaIxyzsxyz 求求其其中中 為為圓圓周周例3.解:由由對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性知知：222ddd .xsyszs 2221()d3Ixyzs 故故2d3as 32.3a (2d ,)as 球球面面大大圓圓周周長(zhǎng)長(zhǎng)對(duì)于用一般方程表示的空間曲線(xiàn),曲線(xiàn)積分常需要把的方程化為參數(shù)方程，這個(gè)過(guò)程一般是比較困難的， 在特殊情況下可用特殊方法處理.要計(jì)算函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)的1dd()d03y sz sxyzs 第21頁(yè)/共48頁(yè)推廣推

20、廣: 設(shè)空間曲線(xiàn)弧的設(shè)空間曲線(xiàn)弧的參數(shù)方程參數(shù)方程為為則:( ),( ),( )()xtytztt ( , , )df x y zs ( ), ( ), ( )fttt 222( )( )( ) dtttt d ,Iy s 計(jì)計(jì)算算其其中中 為為空空間間點(diǎn)點(diǎn)( (1 1, ,0 0, ,0 0) )與與( (0 0, ,1 1, ,1 1) )的的直直線(xiàn)線(xiàn)段段. .例4.解:1111xyz 直直線(xiàn)線(xiàn) : :1, 01xtyttzt 直直線(xiàn)線(xiàn) 的的參參數(shù)數(shù)方方程程: : 1 0I 1 1 1dtt 1 03dt t 3.2 xyzO( (0 0, ,1 1, ,1 1) )1第22頁(yè)/共48頁(yè)

21、例5. 計(jì)算22d ,Lxys 其中L為圓周22.xya x 提示: 原式 =dLaxs 22a 說(shuō)明: 1.若用參數(shù)方程計(jì)算,:L(02) xaoyr2(1cos )ax 2sinay 則22ddsxy d2a 2.若用參數(shù)方程：:L2cosxa cossinya 22ddsxy da ()22 cossinxryr dLaxs 原原式式202(1cos )d2aaa 2222cosdaa dLaxs 原原式式22a 第23頁(yè)/共48頁(yè)2.計(jì)算第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的基本方法計(jì)算第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的基本方法)( 定理( ),( )ttLxyt : :的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為， ( , )d( , )dL

22、P x y x Q x y y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )dPtttQtttt 特殊情況：(1)曲線(xiàn)弧L的方程為：，)(xyy x自a到b, )(: xyyxxL則(2)曲線(xiàn)弧L的方程為：，)(yxx y自 c到d,則(3)推廣 ：則 )(: yyyxxL dd , ( ) , ( ) ( )d .bLaP x Q yP x y xQ x y x y xx dd ( ), ( ) ( ), d .dLcP x Q yP x y y x yQ x y yy ( )( ),( )xtyt zt ，t 自自到到， ddd ( ), ( ), ( ) ( )LP xQ yR z

23、Ptttt ( ), ( ), ( )( ) ( ), ( ), ( )( )dQttttRttttt 第24頁(yè)/共48頁(yè)u對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算步驟：(1)畫(huà)畫(huà)出出的的圖圖形形, ,標(biāo)標(biāo)明明積積分分路路徑徑積積分分路路徑徑的的方方向向；(2)將將積積分分路路徑徑用用參參數(shù)數(shù)方方程程表表示示；(3)用用“”的的方方法法把把線(xiàn)線(xiàn)積積分分二二代代第第二二類(lèi)類(lèi)化化一一定定為為定定積積分分. .(: ),( )xtyttL 如如：從從 變變到到，( )xt “一一代代”；( )yt “二二代代”；,.tt “一一定定限限”: :起起點(diǎn)點(diǎn)下下限限 終終點(diǎn)點(diǎn)上上限限化為：yyxQxyxPLd),(d ),

24、( ,d,d( )( )( )()( )tttttPQt ( )( )( )( ) ,d( )( )tttttQttP 第25頁(yè)/共48頁(yè) ( , )dLf x ys 1.第第一一類(lèi)類(lèi)曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分：22 ( ), ( )( )( )d fttttt 大大小小 ( , , )df x y zs 222 ( ), ( ), ( )( )( )( )d fttttttt 大大小小2.第第二二類(lèi)類(lèi)曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分： ( , )d( , )dLP x yxQ x yy ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )dPtttQtttt 終終點(diǎn)點(diǎn)起起點(diǎn)點(diǎn) ( ), ( ), ( )( ) ( ),

25、 ( ), ( )( )dQttttRttttt ( , , )d( , , )d( , , )dP x y z x Q x y z y R x y z z ( ), ( ), ( ) ( )Ptttt 終終點(diǎn)點(diǎn)起起點(diǎn)點(diǎn)( ),( )( ),( )( ),Lxtytxtytzt的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為；的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為, ,比較比較直接法或參數(shù)方程法直接法或參數(shù)方程法第26頁(yè)/共48頁(yè)例6. 計(jì)算,dLxyx其中L 為沿拋物線(xiàn)xy 2解法1:化為對(duì)x的定積分，則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyy

26、yyxyxLd)(d2112xyxy 解法2:化為對(duì)y的定積分，則11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx 第27頁(yè)/共48頁(yè)例7.計(jì)算,2dd 22 Lyxyyxx其中L為圓周122 yx沿逆時(shí)針?lè)较?解一:,sincos yxL： Lyxyyxx 222dd222cossindcos2sin =0.解二:在L上，122 yx則.1222222yxyx 于是 Lyxyyxx 222dd Lxxx 22d Lyyy 21d0.xxfBAxxd)( BAxx 0.( )dABf xx , 從從變變到到

27、- -則則這里( ),Pf x 0Q ，故0,Py 0Qx ，由格林公式設(shè)L圍成區(qū)域D，( )d0.Lf x x 第28頁(yè)/共48頁(yè)ozyx例例8.解解:()d()d()d ,Izyxxzyxyz 求求其其中中221:,.2xyzxyz 從從 軸軸正正向向看看為為順順時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?取取的的參參數(shù)數(shù)方方程程cos ,sin ,2cossin( :20)xt yt zttt 02I (2 cos )( sin )tt ( 22cossin )costtt (cossin )(cossin )dttttt 20 2(4cos1)dtt 220(1 4cos)dtt 220(1 4cos)dtt

28、2 . 第29頁(yè)/共48頁(yè)3.兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系 (cos ,cos(), x yLL 設(shè)設(shè)為為光光滑滑有有向向與與曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧 上上點(diǎn)點(diǎn)處處方方向向一一致致的的單單位位切切向向量量, ,則則 ( , )d( , )d( , )cos( , )cosdsLLP x y x Q x y yP x yQ x y ( ),( )Ttt xyodsdxdyx(cos,cos,cos ) 類(lèi)類(lèi)似似地地, ,設(shè)設(shè)為為光光滑滑 單單位位與與方方切切的的一一向向致致向向量量, ,則則 dddcoscoscosdsP xQ yR zPQR ( , , )x y z 有有向向曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧上上點(diǎn)點(diǎn)處處第30頁(yè)/

29、共48頁(yè)（三）格林公式及其應(yīng)用（三）格林公式及其應(yīng)用 LDyQxPyxyPxQdddd )(1)格林公式是牛頓萊布尼茲公式的推廣，其中L是D的正向邊界曲線(xiàn)（有向性）. D是有界閉區(qū)域（封在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（連續(xù)性）.上的二重積分二重積分與區(qū)域邊界上的線(xiàn)積分線(xiàn)積分的聯(lián)系.注意：(2) 公式的記憶方法：溝通了區(qū)域( , ), ( , )P x y Q x y d d Dxy x yPQ dd .LP xQ y (3)對(duì)復(fù)連通區(qū)域D 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全全部部邊界的曲線(xiàn)積分 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來(lái)說(shuō)都是正向都是正向 閉性），第31頁(yè)/共48頁(yè)(4)如果閉曲線(xiàn)L-是D的正向邊界曲線(xiàn)L的反

30、方向,則有：()d dddDDQPx yP xQ yxy ddLP xQ y ()d dDQPx yxy (5) 格林公式適用于平面曲線(xiàn)上的第二類(lèi)線(xiàn)積分的計(jì)算平面曲線(xiàn)上的第二類(lèi)線(xiàn)積分的計(jì)算.(6)如果L不是閉曲線(xiàn)或函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D的個(gè)別點(diǎn)上一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)， 格林公式不能直接使用，此時(shí)往往需添加輔助線(xiàn)， 然后再作計(jì)算.第32頁(yè)/共48頁(yè)(2) 簡(jiǎn)化計(jì)算曲線(xiàn)積分(1) 利用曲線(xiàn)積分計(jì)算平面圖形的面積閉區(qū)域D的面積.dd21 LxyyxA)d(d ddDDQPyxx yPQ yx (3)平面上曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件(4)二元函數(shù)的全微分求積()d dd

31、dDDQPx yP xQ yxy 第33頁(yè)/共48頁(yè)與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件 LyQxP dd，xQyP 等價(jià)命題(1)在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，(2)在G內(nèi)存在u(x,y),，yQxPuddd 使(3)在G內(nèi)， CyQxP , 0dd(4)閉曲線(xiàn).GC 在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題等價(jià).說(shuō)明：1.四個(gè)等價(jià)命題第34頁(yè)/共48頁(yè)2.多元函數(shù)的原函數(shù)：,P Q若若滿(mǎn)滿(mǎn)足足定定理理的的條條件件, ,則則由由上上述述證證明明中中已已經(jīng)經(jīng)看看到到: :000( , )(,)( , )ddM x yMxyu x yP xQ y 二二元元函函數(shù)數(shù)d ( , )

32、( , )d( , )du x yP x yxQ x yy 具具有有性性質(zhì)質(zhì): :( , )( , )d( , )d.u x yP x yxQ x yy 所所以以我我們們稱(chēng)稱(chēng)為為的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)由此,可以求某個(gè)全微分的原函數(shù)，( , )d ( , )ddu x yu x yP x Q y 3 3. .如如何何求求使使？),(0yxC ( , )M x y xyo000(,)Mxy 0ddM CMP x Q y 00( , )(,)d( ,dx yx yuPyx Q yx 0 0 ( ,)dxxP x yx 0 ( , )dyyQ x y y 0(, )D xy0( , )d(, )d(

33、)M DMP x y xyQyu xxy 或或0 0 (, )dyyQ x y y 0 ( , )dxxP x y x 00( , )(,)ddx yxyP xQ y ，第35頁(yè)/共48頁(yè)xQyP xQyP 0dd LyQxPI 00( , )(,)dd ()x yxyIP xQ y 更更換換路路徑徑 ddLIP xQ y 1.1.直直接接法法計(jì)計(jì)算算方方法法 2.2.格格林林公公式式法法3.3.與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)法法的的1 1. .滿(mǎn)滿(mǎn)足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件，則則可可直直接接用用格格林林公公式式. .2 2. .不不滿(mǎn)滿(mǎn)足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件，則則添添加加曲曲線(xiàn)線(xiàn)挖挖去去洞洞眼

34、眼. . ddddL llIP xQ yP xQ y 則則第36頁(yè)/共48頁(yè)L為由點(diǎn)為由點(diǎn)(a,0) 到到(0,0)的上半圓周的上半圓周xyo)0 ,(aA如圖，如圖，D (sin)d(cos)dxxLIeymyxeymy 計(jì)計(jì)算算, ,其其中中22,0.xyax y ( , )sin,xP x yeymy ( , )cos,xQ x yeym cosxPeymy ，cosxQeyx ，()d dDQPx yxy I 208ma 2.8ma 0,:0OAyxa： ddddL OAOAIP xQ yP xQ y 則則 ddOAP xQ y ddOAP xQ y 00 d() 0axxem 0,(

35、)d dDQPx yxy d dDmx y 28ma 添加輔助線(xiàn)：添加輔助線(xiàn)：第37頁(yè)/共48頁(yè)1 1. .補(bǔ)補(bǔ)充充曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的原原則則： xy1 1. .盡盡可可能能與與 、 軸軸平平行行；.DD 2 2. .與與原原來(lái)來(lái)的的圖圖形形圍圍在在一一起起為為或或2.2.注意格林公式成立的條件. .說(shuō)明：有向性； 連續(xù)性； 封閉性.()d dddDDQPx yP xQ yxy 第38頁(yè)/共48頁(yè)例2.的分段光滑的連續(xù)閉曲線(xiàn)， L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?22 ddLx yy xxy 計(jì)計(jì)算算，xyoLD解:記L所圍的閉區(qū)域?yàn)镈，令2222,yxxQyxyP 220,xy 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2222 2,()Q

36、yxPxxyy 由格林公式知，(1)(0, 0),D 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)22 ddLx yy xxy ()d dDQPx yxy 0.其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)第39頁(yè)/共48頁(yè)作位于D內(nèi)圓周L1Dal(2)(0,0),D 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)222:l xya ，1,DLl記記 由由 與與圍圍成成應(yīng)用格林公式,得22 ddL lx yy xxy 1()d d0,DQPx yxy 即2222 dddd0,Llx yy xx yy xxyxy 2222 ddddLlx yy xx yy xxyxy 22222cossindaaa 2 0 2 . 220,xy 1 1. .當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2222 2()QyxPxxyy dd

37、ddL llIP xQ yP xQ y 2.2.第40頁(yè)/共48頁(yè)解解:xyo11Asin2xy L計(jì)算計(jì)算為由點(diǎn)為由點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)A(1,1)的曲線(xiàn)的曲線(xiàn)， LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中其中L，xyxP22 因?yàn)橐驗(yàn)椋?2yxQ ，xyP2 ，xxQ2 則則PQyx 即即.面面上上與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)故故曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分在在 xoyxoyxoy在在 平面上成立平面上成立.xoy第41頁(yè)/共48頁(yè)120dxx 2315 選擇如圖所示的路徑選擇如圖所示的路徑xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 1

38、2224(2)d()dLLxxyxxyyL選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標(biāo)軸平行的新路徑（1）新路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)不變（2）新路徑G 224(2)d()dLIxxyxxyy 第42頁(yè)/共48頁(yè)例4. 驗(yàn)證： 在整個(gè)xoy平面內(nèi)，yyxxxydd22 是某個(gè)函數(shù)的全微分， 并求出它的一個(gè)原函數(shù).解: 這里，2xyP ;2xyyP ，yxQ2 ,2xyxQ 則在整個(gè)xoy平面內(nèi)有：.PQyx 于是在整個(gè)xoy平面 (它是一個(gè)單連通區(qū)域)內(nèi)，yyxxxydd22 是某個(gè)函數(shù)的全微分， 由公式;d),()d,(),( 0 00 yyxxyyxQxyxPyxu( , )u x y .2122yx xyo),(yxx xxxd02 0 yyyx 0 2d線(xiàn)積分法線(xiàn)積分法第43頁(yè)/共48頁(yè)例4. 驗(yàn)證：在整個(gè)xoy平面內(nèi)，yyxxxydd22 是某個(gè)函另解:2,uxyx 2duxy x 221( ),2x yy 2,ux yy 而而221(