2022年隨機(jī)微分方程

1、隨機(jī)微分方程在水庫(kù)防洪中的應(yīng)用本學(xué)期有幸跟著袁老師學(xué)習(xí)隨機(jī)微分方程這門(mén)課程，收獲甚豐，感受頗多。在此之前， 我從未接觸過(guò)任何關(guān)于隨機(jī)的概念，在聽(tīng)完袁老師的課程， 特別是袁老師在中間穿插的講訴隨機(jī)微分方程在某些領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用案例，讓我感覺(jué)在水利工程中確實(shí)有很多問(wèn)題都應(yīng)該通過(guò)隨機(jī)這個(gè)概念來(lái)解決。在閱讀過(guò)相關(guān)的一些文獻(xiàn)過(guò)后，發(fā)現(xiàn)在水庫(kù)的防洪中隨機(jī)微分方程可以利用的價(jià)值特別高。水庫(kù)的防洪是水利工程流域管理的重要內(nèi)容，其中各環(huán)節(jié)都存在諸多的不確定性。包括水雨情信息采集中由于設(shè)備故障、通訊不暢、 誤碼和量程不足等原因?qū)е碌男畔o(wú)法獲取或無(wú)法及時(shí)傳達(dá)、 信息錯(cuò)誤，實(shí)時(shí)洪水預(yù)報(bào)中水文氣象條件、模型結(jié)構(gòu)、模型參

2、數(shù)等導(dǎo)致的預(yù)報(bào)誤差， 調(diào)洪演算中的水庫(kù)泄流和庫(kù)容曲線等水力不確定性等。 由于各環(huán)節(jié)的多種不確定性因素，隨機(jī)性便很自然地被引入到防洪過(guò)程的分析，近年來(lái)，這方面的很多研究工作都認(rèn)為洪水過(guò)程是一隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程，隨機(jī)微分方程被引入和運(yùn)用, 為解決這一難題提供了有效的數(shù)學(xué)工具，以概率論和微分方程為基礎(chǔ)的隨機(jī)微分方程模型, 可以對(duì)調(diào)洪過(guò)程中的隨機(jī)現(xiàn)象和規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和分析 , 可以正確地綜合各種隨機(jī)輸人過(guò)程和隨機(jī)初始條件對(duì)泄洪風(fēng)險(xiǎn)率的影響 , 為經(jīng)濟(jì)合理地選擇大壩泄洪建筑物規(guī)模和調(diào)度運(yùn)行方式, 提供科學(xué)的依據(jù)。傳統(tǒng)的確定性調(diào)洪演算方法， 根據(jù)的是簡(jiǎn)單的水庫(kù)蓄量平衡關(guān)系，建立有如下的微分方程：（1）若令/()

3、ddhg h , 并加入初始條件 , 則有：（2）式中， h(t) 為庫(kù)水位， h0為初始庫(kù)水位， q(t) 為調(diào)洪過(guò)程任一時(shí)刻的來(lái)洪流量， q(h,c) 為相應(yīng)時(shí)刻的泄洪流量，在泄洪建筑物規(guī)模確定的情況下，可表述為h和流量系數(shù)等水力參數(shù) c的函數(shù)， w(h)為水庫(kù)的庫(kù)容量。上述的各函數(shù)均精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -為確定性的變量。因

4、此，我們無(wú)法通過(guò)式(2) 來(lái)考慮調(diào)洪的隨機(jī)過(guò)程中各種不確定性因素的影響 , 計(jì)算求解的也只能是庫(kù)水位的確定性函數(shù)h(t) 。為了從傳統(tǒng)的確定性觀點(diǎn)轉(zhuǎn)到隨機(jī)的觀點(diǎn)來(lái)分析水庫(kù)的調(diào)洪過(guò)程, 必須建立包含有隨機(jī)元素的隨機(jī)微分方程。為此，必須首先對(duì)調(diào)洪過(guò)程的隨機(jī)特性進(jìn)行考察。在整個(gè)調(diào)洪過(guò)程中，水庫(kù)蓄洪量w(t) 的隨機(jī)變化最為關(guān)鍵 , 它制約著庫(kù)水位的隨機(jī)消長(zhǎng)，同時(shí)又受制于洪水輸人、輸出隨機(jī)過(guò)程的作用，具體可從三方面進(jìn)行分析：首先是人庫(kù)洪水的隨機(jī)過(guò)程q(t) ：水文資料、設(shè)計(jì)洪水過(guò)程線推求方法等多種因素的不確定性，決定了入庫(kù)洪水必然是一連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程?？梢哉J(rèn)為, 設(shè)計(jì)給出的洪水過(guò)程線即為這一隨機(jī)過(guò)程的均

5、值線，在過(guò)程的任一時(shí)刻q(t) 的概率密度符合正態(tài)分布。其次是出庫(kù)泄量的隨機(jī)過(guò)程q(h,c) ：在泄洪建筑物規(guī)模確定的情況下，受h、c的不確定性影響 , 出庫(kù)泄量亦可表述為一隨機(jī)過(guò)程。但在調(diào)洪過(guò)程的隨機(jī)分析中，只有 c獨(dú)立影響 q的隨機(jī)變化。 c的離散程度相對(duì)較小，因此q的獨(dú)立隨機(jī)變化亦相對(duì)較小。最后是水位庫(kù)容的隨機(jī)過(guò)程w(t) ：現(xiàn)場(chǎng)量測(cè)和繪圖計(jì)算的誤差、運(yùn)行多年的泥沙淤積等，都會(huì)引起水位庫(kù)容關(guān)系的不確定性。其均值線與原設(shè)計(jì)給定的w-h曲線一致 , 在任一庫(kù)水位 h上的w(h) 的概率密度亦可符合正態(tài)分布。以上三方面隨機(jī)因素的綜合作用，決定了在整個(gè)調(diào)洪過(guò)程中水庫(kù)蓄洪量w(t) 也必然是一隨機(jī)

6、過(guò)程。很明顯，這一過(guò)程是markov過(guò)程, 也是一個(gè)狀態(tài)連續(xù)的平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。直觀上看，w(t) 是符合 wiener過(guò)程定義條件的，起始時(shí)刻位于原點(diǎn)，在不同的時(shí)間間隔中w 的隨機(jī)變化是獨(dú)立的；在一定的時(shí)間間隔中，w 圍繞其均值過(guò)程線作隨機(jī)游走，其概率分布服從正態(tài)分布。在扣除了w(t)的均值偏移后，就存在一無(wú)偏的wiener過(guò)程b(t), 其均值為 0。即：（3）式中的oq 和oq 分別為來(lái)流和泄洪的均值過(guò)程線。對(duì)式（3）微分，并除以g(h)：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -精品

7、學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -（4）從形式上看，式（ 4）僅比普通的微分方程式式（2）多了一項(xiàng)( )/( )dbtg hdt，但增加了這一項(xiàng)，就表示方程中引入了隨機(jī)變量，于是h(t) 不再是普通的確定性函數(shù)，而是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程了，這樣就把隨機(jī)微分方程引入了調(diào)洪過(guò)程的分析。再將式（4）簡(jiǎn)化：（5）這是一個(gè)典型的 ito 方程，它帶有著一個(gè)隨機(jī)作用項(xiàng)（輸人項(xiàng)），并可具有隨機(jī)初始條件，其解過(guò)程為markov過(guò)程。如前所說(shuō)，式（ 4）中的 b(t) 是一個(gè)wiener過(guò)程， db(t)/dt是

8、一個(gè)正態(tài)白噪聲。 b(t) 的一維概率密度函數(shù) f(b) 為：（6）此式表明， b(t) 的均值 eb(t)=0，方差 db(t)=2t 。其中2為常數(shù)，成為隨機(jī)過(guò)程的強(qiáng)度。它取決于w(t) 的離散程度，亦即取決于入庫(kù)洪水、庫(kù)泄量和庫(kù)容量自身的變異性。通過(guò)實(shí)際調(diào)查和資料分析，給出以上三個(gè)隨機(jī)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差q(t) 、q(t) 和w(t) 。并且考慮到這三個(gè)隨機(jī)輸入過(guò)程其實(shí)是互不相關(guān)的，則可輸出過(guò)程的方差db(t)為：（7）取若干個(gè)不同的 ti，以計(jì)算確定均值的2作為式（ 6）的過(guò)程強(qiáng)度參數(shù)，2t 反應(yīng)了q 、q和w 對(duì)b(t) 的綜合作用。式（4）的初始條件 h0，可以是確定性的，也可以是隨機(jī)性

9、的，這是由起調(diào)時(shí)刻庫(kù)水位的控制條件所決定的，間接蘊(yùn)含著洪水過(guò)程開(kāi)始時(shí)間的影響，通常不可避免地帶有著不確定性。對(duì)于水庫(kù)調(diào)洪過(guò)程中的泄洪風(fēng)險(xiǎn)極限狀態(tài)，應(yīng)規(guī)定明確的極限標(biāo)志和限值。通常，這一極限狀態(tài)可直接地以庫(kù)水位h(t) 不超過(guò)壩頂高程 z為標(biāo)志，即滿精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -足極限狀態(tài)方程：（8）由此確定的泄洪風(fēng)險(xiǎn)率 pf可表述為：在

10、一定的洪水重現(xiàn)期和泄洪建筑物設(shè)計(jì)規(guī)模條件下，在各種可能的水庫(kù)自然、工程和運(yùn)行條件下，發(fā)生洪水漫越壩頂事件的機(jī)率：（9）為了更方便地表達(dá) pfhz，可采用可靠指標(biāo)來(lái)代替pf。和 pf成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：（10）式中，-1（）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。以洪水漫頂?shù)母怕?pf來(lái)具體度量水庫(kù)的泄洪風(fēng)險(xiǎn)率，其物理概念更為明確、清晰，能夠較好地反映問(wèn)題的本質(zhì)。式（15）所示，影響泄洪風(fēng)險(xiǎn)率的主要隨機(jī)因子是 z和h：其中壩頂高程 z的不確定性較易分析。施工量測(cè)的誤差以及水庫(kù)風(fēng)浪的影響，導(dǎo)致了 z的隨機(jī)性。一般認(rèn)為它服從正態(tài)分布, 其均值拜z可取為設(shè)計(jì)給定的壩頂高程，標(biāo)準(zhǔn)差z相對(duì)較小。庫(kù)水位 h(t) 是一隨

11、機(jī)過(guò)程。如前所述，在各種隨機(jī)因素的影響下，調(diào)洪過(guò)程不同時(shí)刻的h(t) 可有不同概率分布，通過(guò)下式：即可求解不同時(shí)刻的 f(h,t)和相應(yīng)的h和h。h(t) 的不確定性分析，考慮了過(guò)程的作用并綜合了多種隨機(jī)因素的影響，具有較高的可信程度。泄洪風(fēng)險(xiǎn)的極限狀態(tài)方程式（8）為一線性方程，但其基本變量之一的h(t)并不一定服從正態(tài)分布。為了提高計(jì)算精度，防止誤判，采用jc計(jì)算方法。在這一計(jì)算方法中，通過(guò)迭代求解設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，使其滿足極限狀態(tài)方程式（8） ，并與可能最大失效率相對(duì)應(yīng)。同時(shí)，需將非正態(tài)基本變量h進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化處理，即根據(jù)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處( 初選h=h) 當(dāng)量正態(tài)變量與原非正態(tài)變量的概率精品學(xué)習(xí)資

12、料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -分布函數(shù)值相等以及概率密度函數(shù)值相等的條件，按下式求出當(dāng)量正態(tài)變量h 的h和h。（11）式中，-1（）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)，（）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)。在已知計(jì)算節(jié)點(diǎn)上f(h,t)的情況下， h處的概率密度函數(shù)值 f(h,t) 和概率分布函數(shù)值 f（h,l) ，可分別通過(guò)插值和數(shù)值積分的計(jì)算方法確定，而不必先行確定 h 的概型。在此基礎(chǔ)上，按照jc的計(jì)算方法，可求得調(diào)洪過(guò)程不同時(shí)刻的(t) 和相應(yīng)的 pf(t) 。一般可選取min和相應(yīng)的 pfmax作為方案比較的依據(jù)。以概率論和微分方程為基礎(chǔ)的隨機(jī)微分方程，能夠正確地對(duì)水庫(kù)調(diào)洪過(guò)程中的隨機(jī)現(xiàn)象和規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和分析，能夠全面地綜合各種不確定性因素對(duì)庫(kù)水位隨機(jī)過(guò)程的影響。在分析和論證調(diào)洪過(guò)程中水庫(kù)蓄洪量具有wiener過(guò)程特性的基礎(chǔ)上，建立的帶有