第九章第1節(jié)多元函數(shù)的基本概念VIP

1、1推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: : 善于類比善于類比, , 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 2第九章第九章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多

2、元函數(shù)的極值及其求法3 第九章 第一節(jié)第一節(jié)二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 五、小結(jié)五、小結(jié)一、平面點集一、平面點集 n維維空間空間41.1.鄰域鄰域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx 一、平面點集一、平面點集 n維維空間空間 )(0oppu00 pp說明：說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑若不需要強調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成. )(0pu點點p p0 0的的去心鄰域去心鄰域記為記為5(1) (1) 內(nèi)點、外點、邊界點內(nèi)點、外點、邊界點

3、設(shè)有點集設(shè)有點集e e及一點及一點p p : : 若存在點若存在點p p的某鄰域的某鄰域 u u( (p p) ) e e , , 若存在點若存在點p p的某鄰域的某鄰域 u u( (p p) )e e = = , , 若對點若對點p p的任一鄰域的任一鄰域u u( (p p) )既含既含e e中的內(nèi)點也含中的內(nèi)點也含e ee則稱則稱p p為為e e的的內(nèi)點；內(nèi)點；則稱則稱p p為為e e的的外點外點 ; ;則稱則稱p p為為e e的的邊界點邊界點 . .的外點的外點 , ,顯然顯然, ,e e 的內(nèi)點必屬于的內(nèi)點必屬于e e , , e e 的外點必不屬于的外點必不屬于e e , , e e

4、 的的邊界點可能屬于邊界點可能屬于e e, , 也可能不屬于也可能不屬于e e . . 2. 2. 區(qū)域區(qū)域6若對任意給定的若對任意給定的 , ,點點p p 的去心的去心) ,(pue鄰域鄰域內(nèi)總有內(nèi)總有e e 中的點中的點 , , 則則稱點稱點p p是是e e 的的聚點聚點. .2) 2) 聚點可以屬于聚點可以屬于e e , ,也可以不屬于也可以不屬于e e ( (因為聚點可以為因為聚點可以為 e e 的邊界點的邊界點 ) )（2 2）聚點）聚點1)1) 內(nèi)點一定是聚點；內(nèi)點一定是聚點；10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合yx| )y,x(1

5、22 例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合7d d(3) (3) 開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集若點集e e的點都是的點都是內(nèi)點內(nèi)點，則稱，則稱e e為為開集開集； 若點集若點集e e e e , , 則稱則稱e e為為閉集閉集； 若點集若點集d d中任意兩點都可用一完全屬于中任意兩點都可用一完全屬于d d的折線相連，的折線相連， 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域閉區(qū)域. .則稱則稱d d是是連通的；連通的； 連通的開集稱為連通的開集稱為開區(qū)域開區(qū)域，簡稱，簡稱區(qū)域區(qū)域 ；。 。 e e 的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為e

6、e 的的邊界邊界, ,記作記作 e e ; ;8例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域 xyo21xyoxyoxyo219 整個平面整個平面 點集點集 1),(xyx是開集，是開集， 是最大的開域是最大的開域 , , 也是最大的閉域；也是最大的閉域；但非區(qū)域但非區(qū)域 . .11o oxy 對區(qū)域?qū)^(qū)域d d, ,若存在正數(shù)若存在正數(shù)k k, ,使一切點使一切點p p d d與某定點與某定點 a a 的距離的距離 apapk k , ,則稱則稱d d為為有界域有界域 , , 界域界域 . .否則稱為否則

7、稱為無無103. 3. n n 維空間維空間n n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體稱為的全體稱為n n維空間維空間, ,rnn n 維空間中的每一個元素維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為空間中的kx數(shù)稱為該點的第稱為該點的第k k個個坐標坐標 . .記作記作即即rrrrnnkxxxxkn,2, 1,r),(21一個一個點點, , 111). n維空間的記號為維空間的記號為;nr2). n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 ),(21nxxxp),(21nyyyq.)()()(|2222211nnxyxyxypq 3). n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空

8、間中鄰域、區(qū)域等概念 nrpppppu ,|),(00 內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點為設(shè)兩點為12二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式,2hrv ,(為常數(shù)）為常數(shù)）rvtrp )2(cbap cba 0, 0),( hrhr 0, 0),(ttvtv cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpapps hr13定義定義1. 1. 設(shè)非空點集設(shè)非空點集,rnd dppfu , )(或或數(shù)集

9、數(shù)集 dp,pfuu )(稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的值域值域 . .2r),(),( dyxyxfz3r),(),( dzyxzyxfu映射映射r:df稱為定義稱為定義),(21nxxxfu 在在 上的上的 元函數(shù)元函數(shù) , , 記作記作dn點集點集 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域 ; ; d特別地特別地 , ,當當 時時, ,有二元函數(shù)有二元函數(shù)2 n當當 時時, , 有三元函數(shù)有三元函數(shù)3 n14:說明說明;會求函數(shù)的定義域會求函數(shù)的定義域xyz 0 xyd:xyoyxz111 yxd:xy15例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222y

10、xyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxd 16二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.的圖形的圖形二元函數(shù)二元函數(shù)),(yxfz 17xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:18圖形圖形)(221yxzxyzo221yxzxyz19三三、多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限,r),(ndppf 點點 , , ),(0pudp , -)( apf( (也稱為也稱為n n重極限重極限) )當當n n =

11、2=2時時, , 記記20200)()(yyxxpp 二元函數(shù)的極限可寫作：二元函數(shù)的極限可寫作：ayxf ),(lim0 apfpp )(lim0p p0 0 是是d d 的聚的聚對一對一記作記作，時的極限時的極限當當0)(pppfayxfyyxx ),(lim00都有都有對任意正數(shù)對任意正數(shù) , ,總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,切切)(語言語言 定義定義2.2. 設(shè)設(shè) 元函數(shù)元函數(shù)n若存在常數(shù)若存在常數(shù) , ,a則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù)a20例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 取

12、取當當 時，時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立 01sin)(2222yxyx要使要使,22 yx只要只要21說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxxapfppapfpp)(,)(lim)(時時以任意方式趨于以任意方式趨于0030p22;)(法求二元函數(shù)的極限法求二元函數(shù)的極限用一元函數(shù)求極限的方用一元函數(shù)求極限的方411300 xyxyyxlim例例xyxyxyyx)(lim11002yxxyxx21140)(lim例例y

13、xxxyxx)(lim110e23例例5 5 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 24apfapfpppp)(lim,)(,)(005不能斷定不能斷定時時只取某些特殊路徑趨于只取某些特殊路徑趨于如果點如果點:由此知由此知.,則則函函數(shù)數(shù)極極限限不不存存在在若若存存在在兩兩路路徑徑極極限限不不同同在的方法在的方法判別多元

14、函數(shù)極限不存判別多元函數(shù)極限不存25.lim不存在不存在證明證明例例2222006yxyxyx000yoxyxp此時此時軸趨于軸趨于沿沿當點當點解解),(),(:222200yxyxyxlim220 xxx lim1000 xoyyxp此時此時軸趨于軸趨于沿沿當點當點),(),(222200yxyxyxlim220yyylim1極限不存在極限不存在26例例7 7 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在27（2）

15、 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxp處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：288例例?)ln(lim是否存在是否存在yxxyxyx100:解解xxy 取取yxxyxyx)ln(lim100yxyxyx200lim xxxx320lim)(lim 320 xxx33031 ,.極限不存在極限不存在29四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 3 . .設(shè)設(shè)n n元函數(shù)元函數(shù))(pf定義在定義在d d上上, ,)(

16、)(lim00pfpfpp 0)(ppf在點在點,0dp 聚點聚點如果存在如果存在否則稱為否則稱為不連續(xù)不連續(xù), ,0p此時此時稱為稱為間斷點間斷點 . .則稱則稱n n元函數(shù)元函數(shù)連續(xù)連續(xù), , 二元函數(shù)在點二元函數(shù)在點p p0 0處連續(xù)性的表達方法處連續(xù)性的表達方法: : 00,lim. 100yxfyxfyxyx 2. 2. 全增量全增量 0, 000,yxfyyxxfzx 0lim00, zyxyx則則)(00yyyxxx 30:說明說明下三條同時成立下三條同時成立點連續(xù)點連續(xù)在在 ),(),()1(000yxpyxfz點有定義。點有定義。在在),(),()1000yxpyxfz 存在

17、存在),(lim)200yxfyyxx),(),(lim)30000yxfyxfyyxx 一不成立一不成立上三條至少有上三條至少有點不連續(xù)點不連續(xù)在在 ),(),()2(000yxpyxfz31.),(,),()3(內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)是是稱稱內(nèi)各點都連續(xù)內(nèi)各點都連續(xù)在在如果如果dyxfzdyxfz 曲面。曲面。一個無孔洞、無裂縫的一個無孔洞、無裂縫的二元連續(xù)函數(shù)的圖形是二元連續(xù)函數(shù)的圖形是)4()(122yxz 如如32例例9 9討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解,)0 ,

18、 0(),(點有定義點有定義在在yxf),(lim00yxfyx223300limyxyxyx )sin(coslim330sincos rrryrx0 )0 , 0(),(lim00fyxfyx 即連續(xù)即連續(xù)33例例1010 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)34閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d

19、d上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在d d上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在d d上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理35 多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表

20、示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域)1cos( xyz如如1322yxxyz36四四. .小結(jié)小結(jié)1. 1. 區(qū)域區(qū)域 鄰域鄰域 : :, ),(0pu),(0pu 區(qū)域區(qū)域連通的開集連通的開集 空間空間nr2. 2. 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念n n 元函數(shù)元函數(shù)),(21nxxxf 常用常用二元函數(shù)二元函數(shù) ( (圖形一般為空間曲面圖形一般為空間曲面) )三元函數(shù)三元函數(shù)dp )(pfu nr 37apfpp )(lim0,0 ,0 時，時，當當00 pp有有)( apf3. 3. 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限4. 4. 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性1) 1) 函數(shù)函數(shù)