數(shù)學(xué)矩陣運(yùn)算PPT課件

1、111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABabababm nijAa ijBbABAB定義1 設(shè)有兩個(gè) 矩陣 和 ，那么矩陣 與矩陣 的和記作 規(guī)定為只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算1. 矩陣的加法一、矩陣運(yùn)算第1頁(yè)/共63頁(yè)運(yùn)算規(guī)律 （設(shè) ， ， 都是 矩陣）ABCm n.ABBA()().ABCABC()0.AA 其中 ， 稱(chēng)為矩陣 的負(fù)矩陣. ijAa AA.ABAB （1）（2）（3）由此可規(guī)定矩陣的減法為第2頁(yè)/共63頁(yè)定義2 數(shù) 與矩陣 的乘積記作 或AAA111212122212nnmmmnaaaaa

2、aAAaaa2. 數(shù)與矩陣相乘規(guī)定為第3頁(yè)/共63頁(yè)運(yùn)算規(guī)律(設(shè) ， 都是 矩陣， 是數(shù))A Bm n, .AA .AAA.ABAB1.AA（1）（2）（3）（4）（5）0A00.A 當(dāng)且僅當(dāng) 或第4頁(yè)/共63頁(yè)規(guī)定:矩陣 與矩陣 的乘積是一個(gè) 矩陣ABm n ijm nCc1 122ijijijissjca ba ba b3. 矩陣的乘法ijm sAa ijs nBb定義3 設(shè) ，其中.CAB并把此乘積記作1(1,2,;1,2,)sikkjka bimjn第5頁(yè)/共63頁(yè) 矩陣的第 行第 列的元 就是 的第 行與 的第 列的乘積ijijcAiBjABABABABAB注意：只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左

3、矩陣） 的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣） 的行數(shù)時(shí)，乘積 才是有意義的；并且 的行數(shù)等于第一個(gè)矩陣 的行數(shù)， 的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣 的列數(shù) 第6頁(yè)/共63頁(yè)例1,.AB BA124563AB 456B 123A 求解1 41 51 62 42 52 63 43 53 6第7頁(yè)/共63頁(yè)45681012121518145624 1 5 26 33BA 32.ABBA顯然第8頁(yè)/共63頁(yè)123301A401211122B401123211301122AB求 ，并問(wèn) 是否有意義？ABBA解5891125顯然 無(wú)意義 BA例例2 2第9頁(yè)/共63頁(yè)2412A2436B242416321236816AB例

4、3BA,AB求解242400361200BA.ABBA顯然第10頁(yè)/共63頁(yè)總之，一般說(shuō)來(lái)，ABBA1101A1210 xxBxABBA不過(guò)，在有些情況下，也可能有例如：即矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律11210 xxxABBAx不難驗(yàn)證：第11頁(yè)/共63頁(yè).AB CA BC(.ABA BAB為數(shù)）,A BCABAC.BC ABACAA B一般地，如果矩陣 ， 的乘積與次序無(wú)關(guān)ABBAA B即 ，稱(chēng)矩陣 ， 可交換結(jié)合律和分配律：（1）（2）（3）第12頁(yè)/共63頁(yè)111 11221221 122221 122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxax上式稱(chēng)為從變量

5、， ， ， 到變量 ， ， ， 的線性變換. 1x2xnx1y2ymy12,nx xx的線性函數(shù)，即例4 設(shè)變量 均可表示成變量12,my yyija(1,2,;1,2, ).im jn其中 為常數(shù)第13頁(yè)/共63頁(yè)ijAa1nxxx1myyy令利用矩陣的乘法，則上述線性變換可寫(xiě)成矩陣形式:.yAx利用矩陣的乘法和矩陣乘法的結(jié)合律，可以方便地連續(xù)施行線性變換第14頁(yè)/共63頁(yè)例5 已知兩個(gè)線性變換 11321233123223245xyyxyyyxyyy 112213323323yzzyzzyzz 123,x x x123,z zz求到的線性變換.第15頁(yè)/共63頁(yè)201232415A 解 上

6、述兩個(gè)線性變換的系數(shù)矩陣分別為 123,xxxx123,yyyy310201013B記123,zzzz第16頁(yè)/共63頁(yè),.xAyyBz()() .xA BzAB z112233201310232201415013xzxzxz 則上述兩個(gè)線性變換可分別寫(xiě)成為 : 于是即第17頁(yè)/共63頁(yè)1236131249101 16zzz1123212331236312491016 xzzzxzzzxzzz即123,z zz這就是由到123,x xx的線性變換.第18頁(yè)/共63頁(yè)由于矩陣的乘法適合結(jié)合律，所以方陣的冪滿(mǎn)足：設(shè) 是 階方陣，定義An1,AA211,AA A,11kkAA A顯然， 就是 個(gè) 連

7、乘kAAkklk lA AA()( ,klklAAk l為正整數(shù))4. 方陣的冪k其中 為正整數(shù)A只有 是方陣時(shí)，它的冪才有意義（1）（2）第19頁(yè)/共63頁(yè)由于矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律，所以對(duì)于同階方陣 和 ，一般說(shuō)來(lái)AB()kkkABA BAABBAB但是，如果方陣與可交換，即則()kkkABA B第20頁(yè)/共63頁(yè)1011( )mmmmf Aa Aa AaAa E仍為一個(gè) 階方陣，稱(chēng) 為方陣 的多項(xiàng)式n fAA100010001n nEn階單位矩陣1011( )mmmmf xa xa xaxa設(shè)mAn為 次多項(xiàng)式， 為 階方陣，則 其中第21頁(yè)/共63頁(yè)例6 設(shè)2( )21,nf xxx1

8、1,01A .fA2( )2nf AAAE2111112,010101AAA11101nnA求解因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法，設(shè)第22頁(yè)/共63頁(yè)111110101nnnAAA12410( )010201nf A則故101n4404n第23頁(yè)/共63頁(yè)稱(chēng)為 階單位矩陣nE簡(jiǎn)記作100010001n形如的 階方陣nE記作二. 特殊矩陣1.單位矩陣第24頁(yè)/共63頁(yè)特點(diǎn)：從左上角到右下角的直線（即主對(duì)角線）上的元素都是1，其他元素都是0，即單位矩陣 E的第i行第j列的元素1,0,ijijij當(dāng)當(dāng)結(jié)論：,.mm nm nm nnm nE AAAEA第25頁(yè)/共63頁(yè)12000000n的 階方陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣n12

9、diag(,)n 形如記作特點(diǎn)：主對(duì)角線上以外的元素全是零2.對(duì)角矩陣第26頁(yè)/共63頁(yè)性質(zhì)：（1）（2）（3）1212diag(,)diag( ,)nna aab bb12diag(,)nka aa1212diag(,) diag( ,)nna aab bb1122diag(,)nnab abab12diag(,)nka kaka1212diag( ,) diag(,)nnb bba aa1 122diag(,)nna b a ba b第27頁(yè)/共63頁(yè)（4）12diag(,)mna aa其中m為正整數(shù).12diag(,)mmmnaaa特別地，主對(duì)角線上元素都相等的對(duì)角矩陣稱(chēng)為數(shù)量矩陣dia

10、g( , , )a aa0000diag( , , )00aaa aaaEa即記作第28頁(yè)/共63頁(yè) 設(shè) 為任一 階方陣， 為任一 階數(shù)量矩陣AnaEn()()()aE Aa EAa AE即 階數(shù)量矩陣與任一 階方陣 相乘可交換nnA則()()aA EA aE1a 當(dāng) 時(shí)，數(shù)量矩陣即為單位矩陣 第29頁(yè)/共63頁(yè)000100000100000AEB010001000B例1 設(shè)1001 ,00AnA計(jì)算（n為正整數(shù)）解其中第30頁(yè)/共63頁(yè)2010010001001001000000000000B320BB B顯然()nnAEBE因數(shù)量矩陣 與B可交換，所以利用二項(xiàng)式定理得到11222333()

11、()()()nnnnnnnnECEBCEBCEBB第31頁(yè)/共63頁(yè)122(1)2nnnn nEnBB110000000000000nnnnnnn2(1)002000000nn n121(1)2000nnnnnnn nnn第32頁(yè)/共63頁(yè)11121222000nnnnaaaaaa形如的矩陣稱(chēng)為上三角矩陣特點(diǎn)：主對(duì)角線的左下方的元素全為零3.三角矩陣第33頁(yè)/共63頁(yè)1112111121222222000000nnnnnnnnaaabbbaabbab11 112222000nnnna ba ba b其中*表示主對(duì)角線上方的元素，即兩個(gè)同階的上三角矩陣的乘積仍為上三角矩陣直接驗(yàn)證可知 第34頁(yè)/

12、共63頁(yè)類(lèi)似地，我們同樣可以定義下三角矩陣，也就是：主對(duì)角線右上方的元素全為零矩陣，它具有與上三角矩陣類(lèi)似性質(zhì)第35頁(yè)/共63頁(yè)T13121,2434515AATT();AATTT();ABABTT(),AA為任意數(shù);TTT().ABB A例如 ：性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）4.轉(zhuǎn)置矩陣第36頁(yè)/共63頁(yè)證 性質(zhì)（1）（3）是顯然的，這里僅給 出（4）的證明.設(shè) ,ijijm ss nAaBb(),().TTijm nijn mABCcB ADd1.sjijkkikca b記于是按矩陣乘法的定義，有 TB而的第i1(,),isibb行為的第TAj1(,) ,Tjjsaa列為第37頁(yè)/共63頁(yè)

13、(1,2,;1,2,)ijjidcinjm所以TDC即TTT() .B AAB亦即由（4），根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可證TTTT111()kkkAAA AA11ssijkijkjkkikkdb aa b因此第38頁(yè)/共63頁(yè)那么 稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣；A則稱(chēng) 為反對(duì)稱(chēng)矩陣AijAan設(shè) 為 階方陣，TAA 如果特點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)矩陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等( ,1,2,);ijjiaai jn即有( ,1,2,),ijjiaai jn 反對(duì)稱(chēng)矩陣有該矩陣主對(duì)角線上的元素全為0.TAA如果5.對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣第39頁(yè)/共63頁(yè)111211222212nnnnnnaaaaaaaaa12112212000nnnn

14、aaaaaa反對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣形式：第40頁(yè)/共63頁(yè)例2是對(duì)稱(chēng)矩陣. 證明 因 是 階矩陣，且 TBBmTTTTTT()()BBBBBB故 是 階對(duì)稱(chēng)矩陣TBBmTB B同理， 是 階對(duì)稱(chēng)矩陣mBm nTBBTB B是一個(gè)矩陣，則 和 都設(shè)第41頁(yè)/共63頁(yè)例3 設(shè)列矩陣 T12(,)nxx xxT1x x滿(mǎn)足EnT2,HExx為階單位矩陣，證明HT.HHE是對(duì)稱(chēng)矩陣，且T22212nx xxxx證 首先請(qǐng)注意TTTTTT(2)2()HExxExx是一階方陣，即一個(gè)數(shù)，H所以 是對(duì)稱(chēng)矩陣.T2ExxHTxxn是階方陣而第42頁(yè)/共63頁(yè)T2T2(2)HHHExx基本性質(zhì)：,A B（1）若都是

15、對(duì)稱(chēng)矩陣，則對(duì)稱(chēng)矩陣（其中 為任意常數(shù)）.,ABA都是,A B（2）若都是對(duì)稱(chēng)矩陣，則AB為對(duì)稱(chēng)矩陣的.ABBA充要條件是TTT44()()ExxxxxxTTT44 ()Exxx x x xTT44ExxxxE第43頁(yè)/共63頁(yè)定理 設(shè) ， 是兩個(gè) 階方陣，則A BnABA B1212kkA AAA AAn1,kAA推論設(shè) 均為 階方陣，則6.方陣乘積的行列式第44頁(yè)/共63頁(yè)112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA稱(chēng)為矩陣 的伴隨矩陣試證A（2）當(dāng) 時(shí)，0A 1.nAAnijAaijA例4 階方陣 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的如下的矩陣;AAA AA E（1）第45頁(yè)/共

16、63頁(yè)1122ijijijinjnijba Aa Aa AAAAAAA EA*ijAAb證 （1）設(shè) ，則于是,( ,1,2, )0,Ajii jnji第46頁(yè)/共63頁(yè)1()nkikjkA AA anA AAAAAAA EA類(lèi)似地，（2）由（1）且根據(jù)本節(jié)定理1可知0A 1.nAA由于 ，故 第47頁(yè)/共63頁(yè)在數(shù)的乘法中，如果常數(shù) ，則0a 存在 的逆 ： ，使a1a11aa111a aaa這使得求解一元線性方程 變得非常簡(jiǎn)單axb對(duì) 階方陣 ，是否也存在著“逆”An即是否存在一個(gè) 階方陣 使BnABBAE三三. . 逆矩陣逆矩陣第48頁(yè)/共63頁(yè)如果有一個(gè) 階方陣定義 對(duì)于 階方陣nnA

17、B(1)ABBAE則稱(chēng) 是可逆的，并把矩陣 稱(chēng)為 的逆矩陣ABA如果方陣 可逆，則它的逆矩陣是唯一的A1BA使A B注意：在定義中， 、 的地位是平等的B即如果（1）成立，則 也可逆，并且第49頁(yè)/共63頁(yè)11212111diag(,)diag(,)nn 1212111diag(,) diag(,)nn 例1 設(shè)12diag(,) ,nA 120,n 1.A且求解 因?yàn)樗?212111diag(,) diag(,)nnE 第50頁(yè)/共63頁(yè)1*1AAAA0A 定理 方陣 可逆的充分必要條件是A且當(dāng) 可逆時(shí)，*A其中 為矩陣的伴隨矩陣.注：當(dāng) 時(shí)，稱(chēng) 為非奇異矩陣，0A A否則稱(chēng)為奇異矩陣p可

18、逆矩陣就是非奇異矩陣同時(shí)，定理也提供了一種求逆矩陣的方法伴隨矩陣法第51頁(yè)/共63頁(yè)因?yàn)?可逆，即存在 ，A1A1.AAE故111,A AAAE所以0.A 由本章第二節(jié)例知，*AAA A.A E因?yàn)?,A 故有11AAA AEAA所以，按逆矩陣的定義，即有11.AAA證 必要性.使充分性.第52頁(yè)/共63頁(yè)例2 設(shè) ，試問(wèn)：, , ,a b c dabAcd滿(mǎn)足A什么條件時(shí)，方陣 可逆？A可逆.這時(shí)111.dbAAcaAadbc0abAadbccd解 當(dāng)時(shí)，A1.A當(dāng) 可逆時(shí)，求第53頁(yè)/共63頁(yè)1.BA則nA1A（1）若 階方陣 可逆，則 也可逆11().AA且A0A（2）若 可逆，數(shù) ，則 可逆111().AA且nBA()ABEBAE或推論 若 階方陣 、 滿(mǎn)足運(yùn)算