分子的擴(kuò)散傳遞

1、上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-262.2.1 傳質(zhì)微分方程2.2.2 無(wú)化學(xué)反應(yīng)的一維穩(wěn)態(tài)分子擴(kuò)散1上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26分子擴(kuò)散是指在靜止的系統(tǒng)中由于濃度梯度的存在而發(fā)生的傳遞現(xiàn)象，分子擴(kuò)散過(guò)程與濃度分布和濃度梯度密切相關(guān)。分子擴(kuò)散可以是一維的，也可以是二維和三維的。根據(jù)擴(kuò)散過(guò)程是否隨時(shí)間而改變，又可分為穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)的分子擴(kuò)散。工程中存在的分子擴(kuò)散現(xiàn)象，有許多可以近似地簡(jiǎn)化為濃度僅沿一個(gè)方向變化和不隨時(shí)間改變的一維穩(wěn)態(tài)分子擴(kuò)散過(guò)程。據(jù)此，本節(jié)主要介紹一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散過(guò)程。2上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一

2、內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 在動(dòng)量和熱量傳遞中，運(yùn)用劃分控制體模型的方法建立微分方程。在傳質(zhì)問(wèn)題上，可應(yīng)用同樣的方法來(lái)建立傳質(zhì)微分方程。3上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26一、傳質(zhì)微分方程一、傳質(zhì)微分方程 在沿 方向擴(kuò)散的位置上取一個(gè)微元控制面，控制面厚度為 ?？刂泼嬖?方向和 方向上為無(wú)限大。即擴(kuò)散僅在 方向上進(jìn)行。含有組分A的混合物通過(guò)該控制面，如圖2-1所示。圖圖2.1 一維傳質(zhì)控制體模型一維傳質(zhì)控制體模型上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 在分析控制面中組分A的質(zhì)量守恒時(shí)，必須計(jì)及

3、化學(xué)反應(yīng)這一項(xiàng)，還必須考慮擴(kuò)散隨時(shí)間變化而發(fā)生變化。因此，質(zhì)量守恒的般關(guān)系式用文字表述為： 流入控制體的質(zhì)量+因化學(xué)反應(yīng)而生成組分A的生成率=流出控制體的質(zhì)量+組分A在控制體內(nèi)質(zhì)量局部變化率（2.2-1） 依據(jù)式（2.2-1），我們僅考慮一維方向上的質(zhì)量平衡A AAA AAA Auu dy rdxdyu dydxdydxdyx5上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 令 ，上式整理成（2.2-2） 對(duì)于三維質(zhì)量傳遞，方程為 （2.2-3） 這即是組分A的連續(xù)性方程。,m AAAu,0m AAArx,0Am Am Am AArxyz6上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容

4、下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 式（2.2-3）可寫(xiě)成算符形式：（2.2-4） 同樣方法可導(dǎo)得組分B的連續(xù)性方程，即 （2.2-5）或 （2.2-6） 式中 是組分B在控制體內(nèi)化學(xué)反應(yīng)的速率,0AmAAr ,0Bm Bm Bm BBrxyz,0BBBmr7上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 將式（2.2-4）和式（2.2-6）相加得 （2.2-7） 對(duì)于雙組分混合物，和 將這些關(guān)系式代入式（2.2-7）得,0ABm Am BABrr,m Am BAABBuuuABABrr 8上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回

5、2021-11-26 （2.2-8） 這即是混合物的連續(xù)性方程。 也可用摩爾單位來(lái)描述連續(xù)性方程，若 和 分別表示每單位體積組分A和組分B的摩爾生成率，則對(duì)于組分A，與式（2.2-4）等價(jià)的方程形式為 （2.2-9） 對(duì)于組分B （2.2-10）0u ,0An AAcR ,0Bn BBcR9上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 對(duì)于混合物 （2.2-11） 對(duì)于雙組分混合物和,0ABn An BABccRR,n An BAABBMc uc ucuABccc10上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 因此，連續(xù)性方程可

6、寫(xiě)為 （2.2-12） 同樣，由于有 ，上式變成0MABccuRR0MccuABRR 11上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 在不同的擴(kuò)散條件下，擴(kuò)散方程可以蛻變成不同形式。以摩爾通量方程為例，考察式（2.1-59），按坐標(biāo)選擇習(xí)慣，對(duì)一維擴(kuò)散坐標(biāo)方程中坐標(biāo)變量更換為 ，即 此式右端第二項(xiàng)為整體流動(dòng)形成的擴(kuò)散項(xiàng) ，并考慮總摩爾濃度 不變，上式變成（2.2-13）,An A xABAn A xn B xdycDydx ,An AABAdcDc udx 12上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 將式（2.2-9）改寫(xiě)

7、成一維形式 (2.2-14) 將式（2.2-13）代入式(2.2-14)，得 整理后得(2.2-15),0An AAcRx220AAAABcccDuxx22AAAABcccuDxx13上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 它類比于傳熱微分方程(2.2-16) 這兩個(gè)方程是熱量傳遞與質(zhì)量傳遞相似的基礎(chǔ)。因此基于式(2.2-14)， 1假定 和 為常數(shù)， ，則可簡(jiǎn)化為式(2.2-15)22pTTTc uaxxABD0AR 14上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 2假定 和 為常數(shù)； ； ，則可簡(jiǎn)化成 (2.2-17)

8、 這即是斐克第二擴(kuò)散定律的表達(dá)式。這方程是在假設(shè) 的情況下導(dǎo)得的，所以，此式僅適用于固體及靜止液體中擴(kuò)散。ABDc0u 0AR 22AAA BccDx15上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 3假定 和 為常數(shù)； =0； ，又是穩(wěn)態(tài)過(guò)程， ，則可簡(jiǎn)化成 (2.2-18) 式（2.2-18）即是用摩爾濃度表示的拉普拉斯方程。 在不同坐標(biāo)系中，擴(kuò)散方程的形式因坐標(biāo)變量不同而異。例如，斐克第二擴(kuò)散定律在直角坐標(biāo)系中的形式為220Adcd x16上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 (2.2-19) 在圓柱坐標(biāo)系中的形式為

9、 (2.2-20) 在球坐標(biāo)系中的形式為 (2.2-21)222222AAAAABccccDtxyz222222211AAAAAABcccccDtrrrrz222222111sinsinsinAAAAABccccDrtrrrrr17上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 一個(gè)傳質(zhì)過(guò)程可通過(guò)解某一個(gè)傳質(zhì)微分方程來(lái)說(shuō)明，在解微分方程的過(guò)程中要運(yùn)用邊界條件，對(duì)不穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，還會(huì)涉及到初始條件，以此確定積分常數(shù)，在傳質(zhì)中所應(yīng)用的初始條件或邊界條件類似于熱量傳遞中所利用的那些初始條件或邊界條件。 傳質(zhì)過(guò)程中的初始條件可用摩爾濃度或質(zhì)量濃度來(lái)表示。例如，在 時(shí)， ，或者

10、，在 時(shí)， 。00AA00AAcc18上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 與動(dòng)量方程和能量方程一樣，擴(kuò)散微分方程也有三類邊界條件。 1規(guī)定了表面處的濃度。這個(gè)濃度可用摩爾濃度表示 ；也可用摩爾分?jǐn)?shù)表示 ；或者用質(zhì)量濃度表示 ；也可用質(zhì)量分?jǐn)?shù)表示 。 對(duì)由理想氣體組成的混合系，摩爾濃度與組分的分壓力有關(guān)，這時(shí)，濃度可用分壓來(lái)表示， 。,AAxcc,AAxyy,AAx,AAxww,AAAxppyp19上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 2規(guī)定了表面的質(zhì)量通量。例如， ， ?；蛘?，對(duì)質(zhì)量擴(kuò)散形式， 3規(guī)定了邊界上介質(zhì)

11、和周圍流體間的傳質(zhì)系數(shù) 和主流體的濃度 , 。例如，已知 ，式中 為主流體濃度； 為貼壁處的流體濃度； 為傳質(zhì)系數(shù)。,AAxJJ, ,n An AxAAABxxdwjDdz ck,Ac,1,n AcAAkcc,Ac,1Acck20上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26一、通過(guò)靜止空氣膜的擴(kuò)散一、通過(guò)靜止空氣膜的擴(kuò)散 這是工程上經(jīng)常遇到的一種典型的傳質(zhì)過(guò)程，如空氣加濕過(guò)程中，水蒸氣必須穿過(guò)聚集在水和空氣交界面上的靜止空氣層才能擴(kuò)散到空氣中去。在去濕過(guò)程中，濕空氣中的水分也只有穿過(guò)此空氣層才能進(jìn)入到水中。21上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回

12、返回2021-11-26 現(xiàn)取一容器，如圖2-2所示。容器內(nèi)灌了部分純液體A，且保持恒溫恒壓，氣體B對(duì)液體A無(wú)化學(xué)作用，且掠過(guò)開(kāi)口管端，在此忽略不計(jì)它在液體A中的溶解性，液體A蒸發(fā)并擴(kuò)散進(jìn)入氣相?，F(xiàn)在來(lái)分析一下 平面，由于氣體不溶于液體A，并且認(rèn)為 為零，組分B是不流動(dòng)氣體。 按式（2.1-33），組分A在 方向上擴(kuò)散的摩爾通量為,B zN,An AABAn An BdycDydz 22上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 由于組分B靜止，故 ，上式可整理為 （2.2-22） 邊界條件：在 處， ； 在 處， 。 由于 ，所以，擴(kuò)散沿程上 為常數(shù)，分離變

13、量并積分后解得,0n B,1A BAnAAc Dd yyd z 1zz1AAyy2zz2AAyy2211,1AAzyAn AABzyAdydzcDy23上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26(2.2-23) 由于 ； ； ，代入式（2.2-23）得（2.2-24）2,2111ln1A BAnAAc Dyzzy111AByy 221AByy 1221AABByyyy21,1212212121,ln1BABBABn A zAAAABBB mycDycDyyyyzzyyzzy24上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 令 為

14、組分B的對(duì)數(shù)平均摩爾分?jǐn)?shù)，即(2.2-25) 此式也可用組分A來(lái)表示 （2.2-26）21,21lnBBBmBByyyyy 2112,22111111lnln11AAAAB mAAAAyyyyyyyyy25上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 對(duì)于理想氣體， 又 所以，式（2.2-25）可表示成 （2.2-27） 這便是斯蒂芬（stephan）定律的表達(dá)式。AApyp12,21,ABAAn A zB mDpppRTzzpnpcVRT26上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 例題2.2-2 在一圓盤(pán)中盛有溫度為20的

15、水層，盤(pán)子上方的干空氣的總壓力1bar，溫度為20。假設(shè)蒸發(fā)是在15mm的氣層中以純分子擴(kuò)散形式進(jìn)行，并以一平方米的盤(pán)面積作為計(jì)算單位，每平方米水被蒸發(fā)的質(zhì)量m=3kg，試計(jì)算水分完全蒸發(fā)所需要的時(shí)間（小時(shí)）。 解 這是不通過(guò)靜止空氣的擴(kuò)散問(wèn)題。從附錄1查得 ，所以，2250.2634/ABCDcms3222202510.2568/ABCABCTDDcmsT27上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 每平方米水被蒸發(fā)的摩爾數(shù) ，單位時(shí)間內(nèi)單位面積上的擴(kuò)散速率 式中 ；3kg0.167kmol18kg/kmolmnM, ,12,ABn A zAAB mDpp

16、pRTzp10.0234 barAp20Ap11-0.0234 =0.9766 barBp21barBp28上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 所以， 又 ， 因此，521,52511 0.9766100.9981 10lnln0.9766 10BBB mBBpppbarpp8314 /RJkmol K0.015zm425252, ,520.2588 10/1 10/0.0234 10/8314/2930.0150.988 10/n A zmsN mN mN mkmol KKmN m621.66 10kmol/ m s29上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)

17、容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 水分蒸發(fā)所需要的時(shí)間為2620.167/27.951.66 10/3600 /kmol mhkmolmss h30上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26二、通過(guò)不流動(dòng)氣膜的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散二、通過(guò)不流動(dòng)氣膜的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散 許多實(shí)際過(guò)程中，其中有一邊界是隨時(shí)間而移動(dòng)的，但經(jīng)過(guò)某一段時(shí)間后擴(kuò)散路 程變化很小，則可利用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)概念處理擴(kuò)散模型，如圖2-3所示。在這種條件下，仍可用式（2.2-24）來(lái)計(jì)算它的擴(kuò)散通量。現(xiàn)在來(lái)分析一下流體流過(guò)表面時(shí)的情況.現(xiàn)有兩個(gè)水平面，一個(gè)是在 時(shí)刻，另一個(gè)是在 時(shí)刻的，若在較長(zhǎng)的時(shí)間間隔內(nèi)液

18、面的距離變化較小，則在這個(gè)期間中任意瞬時(shí)的摩爾通量為 31上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 式中 是 時(shí)間內(nèi)擴(kuò)散路程的長(zhǎng)度。 摩爾通量 與液體離開(kāi)液面的數(shù)量有關(guān)， （2.2-31） 式中 為液相組中組分A的摩爾濃度。經(jīng)計(jì)算得 （2.2-32）12,ABAAn A zB mcDyyzy21zzz,A Ln AAdzMd,ALAM022,122A LB mAABAAzzyMDc yy32上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 例題2.2-333上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-2

19、6三、等摩爾反方向擴(kuò)散三、等摩爾反方向擴(kuò)散 在工程中經(jīng)常遇到另一種典型擴(kuò)散現(xiàn)象，即兩組分作等摩爾反方向的擴(kuò)散。當(dāng)兩個(gè)組分的分子汽化潛熱相近時(shí)，一摩爾組分A擴(kuò)散到液體表面且冷凝，其放出的熱量剛好使一摩爾組分B汽化，離開(kāi)液體表面擴(kuò)散到氣相進(jìn)行等摩爾反方向擴(kuò)散，即 在常溫、常壓下，雙組分系統(tǒng)中摩爾通量 為 ,n An B ,n A, ,An A zABAn An BdcDydz 34上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 將 代入上式得 （2.2-33） 利用邊界條件在 時(shí)， 時(shí)， 求得 （2.2-34）,n An B ,An A zABdcDdz 1zz1AA

20、cc2zz2AAcc,1221ABn AAADcczz35上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 由于 所以 （2.2-35） 式（2.2-34和式（2.2-35）即是穩(wěn)態(tài)的等摩爾反方向擴(kuò)散方程。 等摩爾反方向擴(kuò)散過(guò)程的濃度分布可從式（2.2-33）代入 方向的傳質(zhì)微分方程式中導(dǎo)得。AAAnpcVRT,1221ABn AAADppRT zz36上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 因?yàn)?所以 根據(jù)邊界條件：在 時(shí)， ； 時(shí)， ， 求得濃度分布為 （2.2-36）,0n Addz220Adcd z1zz1AAcc2zz

21、2AAcc111212AAAAcczzcczz37上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 例題2.2- 4 氣體A和B在容器中進(jìn)行穩(wěn)態(tài)的等摩爾反方向擴(kuò)散，擴(kuò)散的路徑為 ，如圖2-4所示。點(diǎn)1處的分壓力分別為 和 ，點(diǎn)2處的分壓力分別為 和 ，且保持恒定，試推導(dǎo)濃度分布的關(guān)系式。 解 對(duì)于 和 為常數(shù)，又無(wú)化學(xué)反應(yīng)（RA=0），作穩(wěn)態(tài) 的等摩爾反方向擴(kuò)散滿足拉普拉斯方程cm1Ap1Bp2Ap2BpcABD0Ac20Ac38上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 又僅沿 方向進(jìn)行擴(kuò)散，所以 （a） 積分式（a）得 式中 為

22、常數(shù)。再次積分得220Adcdz1Adckdz1k12Ack zk39上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 在z =0處， 。因此， 。 在 ， 和 。 所以，代入上式得 可見(jiàn)在此條件下濃度分布呈線性分布。,1AAcc21Akcz2AAcc211AAcck211AAAAcczcc40上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 例題2.2-5 根據(jù)例題2.2-4的條件，若是氣相A向靜止的氣相B進(jìn)行擴(kuò)散。試導(dǎo)出濃度分布的關(guān)系式。 解 根據(jù)已知條件得知 方向的擴(kuò)散為 （a） 由于 ，所以， （b）,0nAzdd z, , ,

23、,An A zABAn A zn B zdycDydz ,0B zN,1ABAn A zAcDdyydz 41上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 將式（b）代入式（a），又令 和 為常數(shù)，則 （c） 積分一次得 式中 為常數(shù)，再次積分得01AAdydydz11AAdykydz1k12ln 1Ayk zk42上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26 在 z=0 處， ， 在 處， ， 求得 和 值，代入上式得 因此， 與 之間不是直線分布。1AAyyz2AAyy1k2k21111lnln11AAAAyyzyyAyz43上一內(nèi)容上一內(nèi)容下一內(nèi)容下一內(nèi)容回主目錄回主目錄返回返回2021-11-26設(shè)通過(guò)AB面的擴(kuò)散質(zhì)量為m，則擴(kuò)散速度為 ，它與濃度梯度和AB截面積A成正比。ddmt 如圖所示，