《物理學(xué)基本教程》課后答案_第四章__剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、第五章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)5-13 如圖5-13(a)所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01，半徑為7 cm，物體質(zhì)量為5 kg，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)k=200 N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)，求：(1)當(dāng)繩拉直彈簧無(wú)伸長(zhǎng)時(shí)，使物體由靜止而下落的最大距離；(2)物體速度達(dá)最大值的位置及最大速率 k FT2 FT1 J a FT1 m mg(a) (b)圖5-13分析 下面的5-17題中將證明，如果繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體除受到軸的支承力外僅受重力作用，則由剛體和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒如果將滑輪、地球和物體與彈簧組成一個(gè)彈性系統(tǒng)和重力系統(tǒng)合成的系統(tǒng)，當(dāng)無(wú)重力和彈性力以外的力作功的情況下，整

2、個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，可以應(yīng)用機(jī)械能守恒定律下面的解則僅應(yīng)用功能原理和力矩所作的功與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算解 (1) 物體由靜止而下落到最低點(diǎn)時(shí)，速度為零，位移為，在此期間重力所作的功完全轉(zhuǎn)換為彈簧彈性勢(shì)能的增量，即(2)物體與滑輪受力如圖5-13(b)所示，設(shè)物體的最大速率為，此時(shí)的位移為，加速度，滑輪的角加速度，分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得此時(shí)，F(xiàn)T1= FT2，又因?qū)τ谳p彈簧有，則得在此過(guò)程中，重力所作之功等于彈性勢(shì)能的增量、物體動(dòng)能和滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量的和，即因，得5-7 如圖5-7（a）所示的系統(tǒng)中，m1 = 50 kg，m2 = 40 kg，圓盤(pán)形滑輪質(zhì)量m = 16 kg

3、，半徑R = 0.1 m，若斜面是光滑的，傾角為30°，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)滑輪軸上的摩擦，(1)求繩中張力；(2)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，m1距地面高度為1 m，需多少時(shí)間m1到達(dá)地面？ m FN FT2 a FT1 FT1 m2 m1 FN2 FT2 a m2g m1g（a） （b）圖5-7分析 由于存在物體運(yùn)動(dòng)和滑輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而且必須考慮圓盤(pán)形滑輪的質(zhì)量，這是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)的綜合問(wèn)題，應(yīng)該采用隔離物體法，分別對(duì)運(yùn)動(dòng)物體作受力分析，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪作所受力矩的分析，然后分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律解 (1)各物體與滑輪受力情況如圖5-7（b）所示，其中FT1= FT1，F(xiàn)T2

4、= FT2，軸對(duì)滑輪的支承力FN不產(chǎn)生力矩，選取物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得 由于物體的加速度等于滑輪邊緣的線(xiàn)速度，則，與以上各式聯(lián)立解得(2) m1到達(dá)地面的時(shí)間為、5-1一個(gè)勻質(zhì)圓盤(pán)由靜止開(kāi)始以恒定角加速度繞過(guò)中心而垂直于盤(pán)面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)在某一時(shí)刻，轉(zhuǎn)速為10 r/s，再轉(zhuǎn)60轉(zhuǎn)后，轉(zhuǎn)速變?yōu)?5 r/s，試計(jì)算：(1)角加速度；(2)由靜止達(dá)到10 r/s所需時(shí)間；(3)由靜止到10 r/s時(shí)圓盤(pán)所轉(zhuǎn)的圈數(shù)分析 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體中所有質(zhì)點(diǎn)都繞軸線(xiàn)作圓周運(yùn)動(dòng)，并具有相同的角位移、角速度和角加速度，因此描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量與作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的相似當(dāng)角加速度恒定時(shí)

5、，繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體用角量表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的公式類(lèi)似解 (1) 根據(jù)題意，轉(zhuǎn)速由變?yōu)槠陂g的角位移，則角加速度為(2) 從靜止到轉(zhuǎn)速為所需時(shí)間為(3) t時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)的圈數(shù)為5-2唱片在轉(zhuǎn)盤(pán)上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為78 r/min，由開(kāi)始到結(jié)束唱針距轉(zhuǎn)軸分別為15 cm和7.5 cm，(1)求這兩處的線(xiàn)速度和法向加速度；(2)在電動(dòng)機(jī)斷電以后，轉(zhuǎn)盤(pán)在15 s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求它的角加速度及轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)分析 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體中所有質(zhì)點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度，但是線(xiàn)速度、切向加速度和法向加速度等線(xiàn)量則與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān)角量與線(xiàn)量的關(guān)系與質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的相似解 (1) 轉(zhuǎn)盤(pán)角速度為，唱片

6、上和處的線(xiàn)速度和法向加速度分別為(2) 電動(dòng)機(jī)斷電后，角加速度為轉(zhuǎn)的圈數(shù)為 B A r1 r2圖5-35-3如圖5-3所示，半徑r1 = 30 cm的A輪通過(guò)皮帶被半徑為r2 = 75 cm的B輪帶動(dòng)，B輪以 rad/s的勻角加速度由靜止起動(dòng)，輪與皮帶間無(wú)滑動(dòng)發(fā)生，試求A輪達(dá)到3000 r/min所需要的時(shí)間分析 輪與皮帶間無(wú)滑動(dòng)，則同一時(shí)刻，兩輪邊緣的線(xiàn)速度相同，均等于皮帶的傳送速度；兩輪邊緣的切向加速度也相同，均等于皮帶的加速度解 設(shè)A、B輪的角加速度分別為、，由于兩輪邊緣與皮帶連動(dòng)，切向加速度相同，即則 A輪角速度達(dá)到所需要的時(shí)間為5-4在邊長(zhǎng)為b的正方形的頂點(diǎn)上，分別有質(zhì)量為m的四個(gè)質(zhì)

7、點(diǎn)，求此系統(tǒng)繞下列轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)通過(guò)其中一質(zhì)點(diǎn)A，平行于對(duì)角線(xiàn)BD的轉(zhuǎn)軸，如圖5-4所示(2)通過(guò)A垂直于質(zhì)點(diǎn)所在平面的轉(zhuǎn)軸 A1 D A C a A2 B圖5-4分析 由若干質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加每一質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于它的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)軸的垂直距離平方的乘積解 (1)因質(zhì)點(diǎn)B和D到轉(zhuǎn)軸的垂直距離A2B和A1D為，質(zhì)點(diǎn)C到轉(zhuǎn)軸的垂直距離AC為，而質(zhì)點(diǎn)A位于轉(zhuǎn)軸上，則系統(tǒng)對(duì)通過(guò)A點(diǎn)平行于BD的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2) 因質(zhì)點(diǎn)B和D到轉(zhuǎn)軸的垂直距離AB和AD為，質(zhì)點(diǎn)C到轉(zhuǎn)軸的垂直距離AC為，而質(zhì)點(diǎn)A位于轉(zhuǎn)軸上，則系統(tǒng)對(duì)通過(guò)A垂于質(zhì)點(diǎn)所在平面轉(zhuǎn)軸

8、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 R R 圖5-55-5求半徑為R，質(zhì)量為m的均勻半圓環(huán)相對(duì)于圖5-5中所示軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分析 如果剛體的質(zhì)量連續(xù)分布在一細(xì)線(xiàn)上，可用質(zhì)量線(xiàn)密度描述其分布情況，如果分布是均勻的，則質(zhì)量線(xiàn)密度為常量在剛體上取一小段線(xiàn)元，質(zhì)量為，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其中該線(xiàn)元到轉(zhuǎn)軸的距離與線(xiàn)元在剛體上的位置有關(guān)整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是剛體上所有線(xiàn)元轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的總和，即所取線(xiàn)元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)剛體分布的整個(gè)區(qū)域積分的結(jié)果解 均勻半圓環(huán)的質(zhì)量線(xiàn)密度為，在半圓環(huán)上取一小段圓弧作為線(xiàn)元，質(zhì)量為此線(xiàn)元到轉(zhuǎn)軸的距離為，對(duì)軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則整個(gè)半圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 FN Mf FT1 FT2(a) (b)圖5-65-6 一

9、輕繩跨過(guò)滑輪懸有質(zhì)量不等的二物體A、B，如圖5-6(a)所示，滑輪半徑為20 cm，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于，滑輪與軸間的摩擦力矩為，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，若滑輪的角加速度為，求滑輪兩邊繩中張力之差分析 由于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵從轉(zhuǎn)動(dòng)定律，因此對(duì)于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪來(lái)說(shuō)，僅當(dāng)其質(zhì)量可以忽略，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零，滑輪加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)跨越滑輪的輕繩兩邊的張力才相等這就是在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中通常采用的簡(jiǎn)化假設(shè)在掌握了轉(zhuǎn)動(dòng)定律后，不應(yīng)該再忽略滑輪質(zhì)量，通常將滑輪考慮為質(zhì)量均勻分布的圓盤(pán)，則跨越滑輪的輕繩兩邊的張力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩是滑輪產(chǎn)生角加速度的原因解 滑輪所受力和力矩如圖5-6(b)所示，其中跨越滑輪的輕繩兩邊的張力分

10、別為FT1和FT2，軸的支承力FN不產(chǎn)生力矩，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得 5-7 如圖5-7（a）所示的系統(tǒng)中，m1 = 50 kg，m2 = 40 kg，圓盤(pán)形滑輪質(zhì)量m = 16 kg，半徑R = 0.1 m，若斜面是光滑的，傾角為30°，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)滑輪軸上的摩擦，(1)求繩中張力；(2)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，m1距地面高度為1 m，需多少時(shí)間m1到達(dá)地面？ m FN FT2 a FT1 FT1 m2 m1 FN2 FT2 a m2g m1g（a） （b）圖5-7分析 由于存在物體運(yùn)動(dòng)和滑輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而且必須考慮圓盤(pán)形滑輪的質(zhì)量，這是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)的綜合問(wèn)題，應(yīng)該采用隔離物

11、體法，分別對(duì)運(yùn)動(dòng)物體作受力分析，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪作所受力矩的分析，然后分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律解 (1)各物體與滑輪受力情況如圖5-7（b）所示，其中FT1= FT1，F(xiàn)T2= FT2，軸對(duì)滑輪的支承力FN不產(chǎn)生力矩，選取物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得 由于物體的加速度等于滑輪邊緣的線(xiàn)速度，則，與以上各式聯(lián)立解得(2) m1到達(dá)地面的時(shí)間為5-8 飛輪質(zhì)量為60 kg，半徑為0.25 m，當(dāng)轉(zhuǎn)速為1000 r/min時(shí)，要在5 s內(nèi)令其制動(dòng)，求制動(dòng)力F，設(shè)閘瓦與飛輪間摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤(pán)計(jì)算，閘桿尺寸如圖5-8所示 0.5 m 0.75

12、m F 閘瓦 O 圖5-8分析 制動(dòng)力F作用在閘桿上，閘桿在制動(dòng)力和飛輪的正壓力的力矩作用下達(dá)到平衡，轉(zhuǎn)動(dòng)軸在墻上，這是剛體在力矩作用下的平衡問(wèn)題由于二力的力臂已知，應(yīng)該求出閘桿與飛輪之間的正壓力飛輪受到閘桿的正壓力、閘瓦與飛輪間摩擦力和軸的支承力作用，其中閘桿的正壓力和軸的支承力的力矩為零，在閘瓦與飛輪間摩擦力的力矩作用下制動(dòng)，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律可以求出摩擦力矩，然后由摩擦力與正壓力關(guān)系可以求出閘桿與飛輪之間的正壓力解 以飛輪為研究對(duì)象，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，制動(dòng)前角速度為，制動(dòng)時(shí)角加速度為制動(dòng)時(shí)閘瓦對(duì)飛輪的壓力為FN，閘瓦與飛輪間的摩擦力，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得則 以閘桿為研究對(duì)象在制動(dòng)力F和飛輪對(duì)閘瓦的

13、壓力-FN的力矩作用下閘桿保持平衡，兩力矩的作用力臂分別為和，則有5-9 一風(fēng)扇轉(zhuǎn)速為900 r/min，當(dāng)馬達(dá)關(guān)閉后，風(fēng)扇均勻減速，止動(dòng)前它轉(zhuǎn)過(guò)了75轉(zhuǎn)，在此過(guò)程中制動(dòng)力作的功為44.4 J，求風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦力矩分析 合外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量制動(dòng)過(guò)程中風(fēng)扇只受摩擦力矩作用，而且由于風(fēng)扇均勻減速，表明摩擦力矩為恒定值，與風(fēng)扇角位移的乘積就是所作的功解 設(shè)制動(dòng)摩擦力矩為M，風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，止動(dòng)前風(fēng)扇的角位移，摩擦力矩所作的功為摩擦力矩所作的功應(yīng)等于風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，即則 5-10 如圖5-10（a）所示，質(zhì)量為24 kg的鼓形輪，可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一繩纏繞于輪上，另

14、一端通過(guò)質(zhì)量為5 kg的圓盤(pán)形滑輪懸有10 kg的物體，當(dāng)重物由靜止開(kāi)始下降了0.5 m時(shí)，求：(1)物體的速度；(2)繩中張力設(shè)繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng) FT1 FT1 FT2 r m1 m2 a R FT2 mg（a） （b）圖5-10分析 這也是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)的綜合問(wèn)題，鼓形輪和滑輪都視為圓盤(pán)形定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，應(yīng)該采用隔離物體法，分別對(duì)運(yùn)動(dòng)物體作受力分析，對(duì)剛體作所受力矩的分析，然后分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律解 各物體受力情況如圖5-10（b）所示，其中FT1= FT1，F(xiàn)T2= FT2，鼓形輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，圓盤(pán)形滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得(1)

15、繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，物體的加速度等于鼓形輪和滑輪邊緣的切向加速度，即重物由靜止開(kāi)始下降了h = 0.5 m時(shí)，速度，由以上各式得(2)繩中張力為5-11一蒸汽機(jī)的圓盤(pán)形飛輪質(zhì)量為200 kg，半徑為1 m，當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)速為120 r/min時(shí)關(guān)閉蒸汽閥門(mén)，若飛輪在5 min內(nèi)停下來(lái)，求在此期間飛輪軸上的平均摩擦力矩及此力矩所作的功分析 制動(dòng)過(guò)程中飛輪只受摩擦力矩作用，該摩擦力矩不一定為恒定值，但是由于只需求平均摩擦力矩，因此可以假設(shè)飛輪均勻減速，由已知條件求出平均角加速度，再應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求出平均摩擦力矩解 飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，關(guān)閉蒸汽閥門(mén)后t = 5 min內(nèi)的平均角加速度為，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，平均摩擦

16、力矩在此期間平均摩擦力矩所作的功等于飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量負(fù)號(hào)表示平均摩擦力矩作負(fù)功，方向與飛輪旋轉(zhuǎn)方向相反5-12 長(zhǎng)為85 cm的均勻細(xì)桿，放在傾角為45°的光滑斜面上，可以繞過(guò)上端點(diǎn)的軸在斜面上轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖5-12(a)所示，要使此桿實(shí)現(xiàn)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)一周，至少應(yīng)給予它的下端多大的初速度？ mg v0 (a) (b)圖5-12分析 細(xì)桿在斜面上轉(zhuǎn)動(dòng)，斜面的支承力與轉(zhuǎn)軸平行，轉(zhuǎn)軸的支承力通過(guò)轉(zhuǎn)軸，它們的力矩都為零，只有重力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)分量的力矩作功解 如圖5-12(b)所示，桿所受重力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量為，當(dāng)桿與初始位置的夾角為時(shí)，重力分量對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為，此時(shí)若桿有角位移，則重力矩所作的元功

17、為桿從最低位置到最高位置重力矩所作的功為重力矩所作的功等于此期間桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量其中，則5-13 如圖5-13(a)所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01，半徑為7 cm，物體質(zhì)量為5 kg，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)k=200 N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)，求：(1)當(dāng)繩拉直彈簧無(wú)伸長(zhǎng)時(shí)，使物體由靜止而下落的最大距離；(2)物體速度達(dá)最大值的位置及最大速率 k FT2 FT1 J a FT1 m mg(a) (b)圖5-13分析 下面的5-17題中將證明，如果繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體除受到軸的支承力外僅受重力作用，則由剛體和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒如果將滑輪、地球和物體與彈簧組成一

18、個(gè)彈性系統(tǒng)和重力系統(tǒng)合成的系統(tǒng)，當(dāng)無(wú)重力和彈性力以外的力作功的情況下，整個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，可以應(yīng)用機(jī)械能守恒定律下面的解則僅應(yīng)用功能原理和力矩所作的功與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算解 (1) 物體由靜止而下落到最低點(diǎn)時(shí)，速度為零，位移為，在此期間重力所作的功完全轉(zhuǎn)換為彈簧彈性勢(shì)能的增量，即(2)物體與滑輪受力如圖5-13(b)所示，設(shè)物體的最大速率為，此時(shí)的位移為，加速度，滑輪的角加速度，分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得此時(shí)，F(xiàn)T1= FT2，又因?qū)τ谳p彈簧有，則得在此過(guò)程中，重力所作之功等于彈性勢(shì)能的增量、物體動(dòng)能和滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量的和，即因，得5-14 圓盤(pán)形飛輪A質(zhì)量為m，半徑為r，

19、最初以角速度0轉(zhuǎn)動(dòng)，與A共軸的圓盤(pán)形飛輪B質(zhì)量為4m，半徑為2r，最初靜止，如圖5-14所示，兩飛輪嚙合后，以同一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求及嚙合過(guò)程中機(jī)械能的損失 A B 2r r 圖5-1分析 當(dāng)物體系統(tǒng)所受的合外力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，在此過(guò)程中，由于相互作用的內(nèi)力作功，機(jī)械能一般不守恒解 以?xún)娠w輪組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)無(wú)外力矩作用，角動(dòng)量守恒，有得 初始機(jī)械能為嚙合后機(jī)械能為則機(jī)械能損失為5-15 一人站在一勻質(zhì)圓板狀水平轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣，轉(zhuǎn)臺(tái)的軸承處的摩擦可忽略不計(jì)，人的質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)臺(tái)的質(zhì)量為10 m，半徑為R最初整個(gè)系統(tǒng)是靜止的，這人把一質(zhì)量為m的石子水平地沿轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣的切線(xiàn)

20、方向投出，石子的速率為v（相對(duì)于地面）求石子投出后轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度與人的線(xiàn)速度分析 應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律，必須考慮定律的適用條件，即合外力矩為零此外還應(yīng)該注意到，定律表達(dá)式中的角動(dòng)量和角速度都必須是對(duì)同一慣性參考系選取的，而轉(zhuǎn)動(dòng)參考系不是慣性參考系解 以人、轉(zhuǎn)臺(tái)和石子組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于系統(tǒng)無(wú)外力矩作用，角動(dòng)量守恒，設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)角速度的轉(zhuǎn)向與投出的石子速度v方向一致，初始時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量為零，得人和轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，代入上式后得人的線(xiàn)速度 其中負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)臺(tái)角速度轉(zhuǎn)向和人的線(xiàn)速度方向與假設(shè)方向相反5-16 一人站立在轉(zhuǎn)臺(tái)上，兩臂平舉，兩手各握一個(gè)m = 4 kg的啞鈴，啞鈴距轉(zhuǎn)臺(tái)軸r0 = 0.8 m，起

21、初，轉(zhuǎn)臺(tái)以0 = 2 rad/s的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，然后此人放下兩臂，使啞鈴與軸相距r = 0.2 m，設(shè)人與轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，且J = 5，轉(zhuǎn)臺(tái)與軸間摩擦忽略不計(jì)，求轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變?yōu)槎啻?？整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能改變了多少？分析 角動(dòng)量守恒定律是從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體導(dǎo)出的，卻不但適用與剛體，而且適用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的任意物體和物體系統(tǒng)解 以人、轉(zhuǎn)臺(tái)和啞鈴組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于系統(tǒng)無(wú)外力矩作用，角動(dòng)量守恒，有動(dòng)能的增量為5-17 證明剛體中任意兩質(zhì)點(diǎn)相互作用力所作之功的和為零如果繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體除受到軸的支承力外僅受重力作用，試證明它的機(jī)械能守恒 O F r -F 圖5-17分析 在剛體動(dòng)力學(xué)中有很多涉及重力矩作

22、功的問(wèn)題，如果能證明當(dāng)只有重力矩作功時(shí)剛體和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，就能應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，而且還可以用剛體的質(zhì)心的勢(shì)能代替整個(gè)剛體中所有質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能的總和，使求解過(guò)程大大簡(jiǎn)化證 剛體中任意兩質(zhì)點(diǎn)相互作用力沿轉(zhuǎn)軸方向的分量對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用，而在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)的分量F和-F大小相等，方向相反，作用在一條直線(xiàn)上，如圖5-17所示設(shè)F與轉(zhuǎn)軸的垂直距離為，則當(dāng)剛體有微小角位移時(shí)，力F所作的功為，而其反作用力-F所作的功為，二者之和為零，即剛體中任意兩質(zhì)點(diǎn)相互作用力所作之功的和為零繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體除受到軸的支承力外僅受重力作用，剛體中任意質(zhì)點(diǎn)則受到內(nèi)力和重力作用，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)橐呀?jīng)證明了任意兩質(zhì)點(diǎn)相互作用內(nèi)力所作之功的和為零，則剛體中各質(zhì)點(diǎn)相互作用力所作的總功為零，而且軸的支承力也不作功，就只有重力作功，因此機(jī)械能守恒 v m mg圖5-185-18 一塊長(zhǎng)，質(zhì)量為3.0 kg的均勻薄木板豎直懸掛，可繞通過(guò)其上端的水平軸無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)，